ABSTRACT
The Basic Document, Structural Safety, Steel of the Spanish Technical Building Code provides mathematical expressions to obtain the lateral buckling resistance of hot-rolled steel beams. These expressions include a coefficient, C1, that accounts for variation of the bending moment along the beam. However, this document only provides values for linear diagrams of bending moments.
The instruction for Structural Steel, a copy of the latest version of Eurocode 3, does not include any method to obtain the elastic critical moment. On the contrary, a table with correction factors applicable to different types of bending moments diagrams is included.
In this document both procedures have been combined and results have been compared to those obtained using other versions of the Eurocode 3. Finally, tables have been provided to ease the design of hot-rolled steel beams while preventing the lateral buckling.
Keywords:Lateral buckling; Steel Beams; Spanish steel code; CTE DB SE-A; Spanish code EAE; Eurocode 3
Arianna Guardiola-Víllora (Corresponding author)
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras,
Universitat Politècnica de València, cno de Vera s/n, 46022 Valencia, Spain
https://orcid.org/0000-0003-3234-0547
Agustin Perez-Garcia
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras,
Universitat Politècnica de València, Valencia, Spain
https://orcid.org/0000-0002-2271-6646
Alvaro PerezGuardiola
James Watt School of Engineering
University of Glasgow, Glasgow, United Kingdom
https://orcid.org/0000-0001-8804-3707
1. Introducción
En el año 2006 se aprueba el Código Técnico de la Edificación [1] que establece las exigencias básicas (prestaciones) que deben cumplir los edificios en relación con los requisitos básicos de seguridad y habitabilidad establecidos en la Ley de Ordenación de la Edificación [2]. Estas exigencias básicas se desarrollan tanto en la parte 1 como en los distintos Documentos Básicos (DB) del Código Técnico de la Edificación (CTE). La aplicación de los DB garantiza el cumplimiento de dichas prestaciones.
El Documento Básico, Seguridad Estructural, Acero [3] incluye los procedimientos para verificar la seguridad estructural de los elementos metálicos de una edificación construidos con acero.
Entre las verificaciones de resistencia incluidas en el Documento Básico, Seguridad Estructural, Acero (DB SE-A) se encuentra, artículo 6.3.3.2, la correspondiente al cálculo de la resistencia frente a pandeo lateral, Mb,Rd, de los elementos solicitados a flexión. Dicha resistencia depende de la esbeltez adimensional frente al pandeo lateral, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\overline{\lambda }}_{Lt}} , cuyo valor se obtiene a partir del momento crítico elástico de pandeo lateral, Mcr.
El artículo 6.3.3.2 propone una ecuación para determinar dicho momento crítico en aquellos casos en los que la carga actúe a lo largo del eje de la barra y los apoyos en los extremos impidan la rotación debida a la torsión. De acuerdo con las expresiones contenidas en dicho artículo, el valor de Mcr se obtiene teniendo en cuenta, entre otros factores, el módulo de torsión uniforme de la sección transversal, It, y el coeficiente C1. Este último coeficiente depende de las condiciones de apoyo y de la ley de momentos flectores que solicita a la barra. Los valores del coeficiente C1incluidos en el DB SE-A se refieren sólo a tramos de barra a lo largo de los cuales el momento flector es constante o varía linealmente, pero no contempla otros tipos de variación (p. ej. parabólica) ni tampoco proporciona el valor de C1para los casos de carga transversal directamente aplicada sobre la barra.
En el año 2011 se aprueba la Instrucción de Acero Estructural [4] cuyo objeto es establecer los requisitos relativos a seguridad estructural, seguridad en caso de incendio y protección del medio ambiente que deben cumplir las estructuras de acero, incluyendo los procedimientos que garantizan su cumplimiento.
En el título 4º Dimensionamiento y comprobación, capítulo IX Estados Límite Últimos de la Instrucción de Acero Estructural (EAE) se incluyen las condiciones para comprobar el pandeo lateral de elementos de sección constante (artículo 35.2.1).
En la EAE, la expresión para calcular la resistencia de cálculo frente al pandeo lateral es la misma que la del DB SE-A, es decir, el valor de Mb,Rd depende del momento crítico elástico, Mcr, que, según se indica en la EAE, “se obtendrá considerando las características de la sección transversal bruta, teniendo en cuenta el estado de carga, la distribución real de momentos flectores y los arriostramientos laterales”, pero, a diferencia del DB SE-A, no aporta ninguna ecuación para calcular su valor. Sin embargo, sí que propone una serie de valores para el factor de corrección, kc, que permite tener en cuenta distintas distribuciones de momentos flectores entre los puntos arriostrados lateralmente, incluyendo, entre otros, algunos casos de carga transversal directamente aplicada sobre la barra (tabla 35.2.2.1.b de la EAE).
Tanto el procedimiento de cálculo de la EAE como los valores de kc son iguales al procedimiento incluido en el artículo 6.3.2. de la norma UNE EN 1993-1-1 Eurocódigo 3. Versión oficial, en español, publicada por AENOR en abril de 2013 [5]. Esta versión del Eurocódigo 3 (EC3-2013) tampoco incluye entre su articulado fórmula o procedimiento alguno para calcular el momento crítico elástico de pandeo lateral (para su obtención establece las mismas consideraciones que la EAE).
Por otro lado, la versión para el Reino Unido del Eurocódigo 3 publicado por la European Convention for Constructional Steelwork [6], a la que nos referiremos como EC3-UK para distinguirla del EC3-2013, incluye una expresión para el cálculo del momento crítico para el caso estándar: barra biarticulada con sección doblemente simétrica y solicitada por un momento flector constante. Este momento crítico estándar, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{E}} , depende tanto del módulode torsión It como del módulo de alabeo Iw. Adicionalmente, para tener en cuenta distintos estados de carga, hace referencia, entre otras, a las ecuaciones propuestas por Clark & Hill [7] y Galéa [8] aplicables a barras con secciones simétricas respecto del eje débil, solicitadas a flexión simple en el eje fuerte y teniendo en cuenta distintas situaciones de enlace y estados de carga. En estas expresiones el valor del momento crítico se obtiene considerando, además de los módulos de torsión y alabeo, It e Iw, los coeficientes C1, C2 y C3, cuyos valores dependen de las condiciones de apoyo, de la posición de la carga y la distribución de momentos flectores a lo largo de la barra.
Finalmente, el anejo F de la norma UNE ENV 1993-1-1 Eurocódigo 3. Versión oficial, en español de la Norma Europea Experimental publicada por AENOR en 1996 [9], a la que nos referiremos como EC3-1996, reproduce las expresiones propuestas por Clark & Hill y Galéa aunque con ligeras modificaciones en los valores de los coeficientes C1, C2 y C3.
En resumen, el DB SE-A del CTE proporciona fórmulas para calcular el momento crítico y la resistencia de cálculo a pandeo lateral de una viga solicitada a flexión. También facilita los valores de un coeficiente, C1, que tiene en cuenta la distribución de momentos flectores, pero sólo contempla los casos de barras sometidas a momento flector constante o a distribuciones que sólo varíen linealmente. Por otro lado, la EAE y el EC3-2013, no incluyen expresión alguna para calcular el momento crítico elástico de pandeo lateral, Mcr, pero sí que proporcionan los valores de un factor corrector, kc , que permite abordar las distribucionesde momentos flectores más frecuentes, incluidas las generadas por cargas transversales directamente aplicadas sobre la barra.
Finalmente, la versión para el Reino Unido del Eurocódigo 3 (EC3-UK) incluye una fórmula para obtener el momento crítico elástico estándar, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{E}} , y también caracteriza los diferentes estados de carga y sustentación utilizando los coeficientes C1, C2 y C3, con valores similares a los propuestos por el EC3-1996.
Con objeto salvar las limitaciones detectadas en las mencionadas normas y para facilitar la comprobación a pandeo lateral en el mayor número posible de casos, se ha analizado la posible aplicación combinada de tales normas para calcular la resistencia a pandeo lateral, Mb,Rd, en el caso de barras de acero construidas con perfiles laminados de la serie IPE de acero S275.
Como paso previo se han determinado los módulos de torsión, It , y de alabeo, Iw para tales perfiles. Así mismo, se ha realizado un análisis de sensibilidad y se ha evaluado el impacto que tiene cada componente en los resultados obtenidos.
2. Análisis comparado de la normativa
Los artículos 6.3.3.2 del DB SE-A, el 35.2.1. de la EAE, y el 6.3.2.1 del EC3-2013 establecen que el valor de cálculo de la resistencia frente a pandeo lateral, Mb,Rd, se podrá determinar de acuerdo con la ecuación (1).
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(1) |
Donde Wyes el módulo resistente de la sección que adopta el valor del módulo plástico Wpl,y para secciones clase 1 y 2 y el elástico Wel,y para secciones clase 3; fy es el límite elástico del acero, y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\gamma }_{M1}}
el coeficiente parcial de seguridad relativo a los fenómenos de inestabilidad, de valor 1.05.
El factor de reducción de pandeo lateral, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}} , se calcula a partir de la expresión de la ecuación (2).
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(2) |
El valor de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\phi }_{LT}}
se obtiene de la expresión (3).
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(3) |
En el caso de los perfiles laminados con sección en doble T, el coeficiente de imperfección, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\alpha }_{LT}}
, toma los valores: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\alpha }_{LT}=}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): 0.34
si h/b> 2 y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\alpha }_{LT}=0.21\, si\, h/b\, \leq}
2.
Finalmente, establecen que la esbeltez adimensional frente al pandeo lateral, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\overline{\lambda }}_{LT}} , se determinará según la relación de la ecuación (4), donde Mcr es el momento crítico elástico de pandeo lateral.
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(4) |
En los epígrafes siguientes se muestran los detalles del cálculo de la resistencia frente a pandeo lateral, Mb,Rd, en cada una de las normas referenciadas.
2.1. DB SE Acero del CTE
Según el artículo 6.3.3.3 del DB SE-A, para aquellas situaciones en las que la carga actúa sobre el eje de la barra, y los apoyos extremos tienen impedida la deformación por torsión, el momento crítico elástico de pandeo lateral (al que llamaremos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{CTE})\,}
se podrá determinar según la ecuación (5). En esta expresión MLT,ves la componente del momento crítico que representa la resistencia de la barra a la torsión uniforme (torsión de Saint Venant), mientras que MLT,w representa la resistencia de la barra a la torsión no uniforme (alabeo). El cálculo de ambas componentes se efectúa utilizando las ecuaciones (6) y (7).
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(5) |
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(6) |
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(7) |
Siendo It el módulo de torsión, Iz el momento de inercia de la sección respecto del eje débil, y Wel,y, el módulo resistente elástico de la sección respecto del eje fuerte.
Por otro lado, if,z es el radio de giro, con respecto al eje de menor inercia, de la parte de la sección transversal que comprende el ala comprimida más un tercio de la zona comprimida del alma adyacente al ala comprimida.
E y G son los módulos de elasticidad longitudinal y transversal respectivamente y Lc es la longitud de pandeo lateral (distancia entre los puntos de apoyo que impiden el pandeo lateral).
Finalmente, C1 es un factor que depende de las condiciones de sustentación y de la ley de momentos flectores que solicita a la barra. El DB SE-A sólo propone valores de C1 para aquellos casos de tramos de barra a lo largo de los cuales el momento flector es constante o varía linealmente. En tales casos, C1 varía entre 1.00 (momento flector constante) y 2.75 (diagrama bi-triangular con los mismos valores en ambos extremos, pero de signo contrario).
2.2. Instrucción de Acero Estructural EAE y Eurocódigo 3 (EC3-2013)
La EAE y el EC3-2013 también incluyen las expresiones (1), (2), (3) y (4), pero, a diferencia del DB SE-A, no proporcionan ninguna fórmula que permita calcular el momento crítico elástico de pandeo lateral,Mcr , que aparece en la ecuación (4) ni se menciona cómo tener en cuenta las condiciones de apoyo y la distribución de momentos flectores de la barra a comprobar.
Sin embargo, en el artículo 35.2.2.1 “Curvas de pandeo lateral para perfiles laminados o secciones soldadas equivalentes” de la EAE, se propone utilizar,de manera alternativa para esos tipos de sección, la ecuación (1), pero con un valor modificado del coeficiente de reducción por pandeo lateral, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}} , que ambas normas denominan Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT,mod}}
y que ya incluiría las condiciones de sustentación y el efecto de la distribución de momentos flectores. Estas normas no mencionan el factor C1 , sino que proponen la utilización de otro factor de corrección, kc . Bajo este epígrafe, y antes de explicar cómo tener en cuenta el factor kc,la EAE incluye las fórmulas(8) y (9) alternativas a las ecuaciones (2) y (3).
Lógicamente, los valores de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}} , y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\phi }_{LT}} obtenidos con las fórmulas(2) y (3) son diferentes de los obtenidos con las ecuaciones (8) y (9) ya estos que dependen del coeficienteβ y de la esbeltez adimensional inicial Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\overline{\lambda }}_{LT,0}} . Los valores recomendados son: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\overline{\lambda }}_{LT,0}=} Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): 0.4
y β = 0.75.
El coeficiente reductor por pandeo lateral modificado, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT,mod}} , que se calcula con la expresión (10), tiene en cuenta no sólo los valores de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}} , y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\phi }_{LT\, }} , sino también el parámetro f quese obtiene dela ecuación (11) y que tiene en cuenta la distribución de momentos flectores a través del factor de corrección, kc , de la Tabla 1.
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(8) |
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(9) |
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(10) |
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(11) |
Ni la EAE ni el EC3-2013 aclaran si el factor de corrección se puede aplicar al caso general calculando un coeficiente reductor por pandeo lateral modificado, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT,mod}}
, obtenido a partir de las ecuaciones (2), (3), (10) y (11). El hecho de que la introducción de kc se encuentre dentro del artículo 35.2.2.1 parece indicar lo contrario.
| Diagrama de flectores | kc |
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2.3. Eurocódigo 3. UNE-ENV 1993-1-1. EC3-1996
El anexo F del EC3-1993 incluye una expresión que permite calcular el momento crítico elástico en el caso de secciones simétricas respecto del eje de menor inercia con distintas condiciones de carga, coacciones en los extremos y posición de la carga respecto del centro de esfuerzos cortantes de la sección.
Dicha expresión, particularizada para secciones con doble simetría y cargas transversales aplicadas en el centro de esfuerzos cortantes, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{EC3}} , se concreta en la de la ecuación (12).
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(12) |
Siendo L distancia entre los puntos de apoyo que impiden el pandeo lateral, (equivalente a Lc en la expresión del DB SE-A) e Iwel módulo de alabeo. Por otro lado, k y kw son los coeficientes de longitud eficaz que dependen de las condiciones de enlace de las secciones extremas.
El coeficiente k se refiere a la posible rotación alrededor del eje débil (z) y kw a la posible restricción al alabeo de las secciones extremas. Sus valores varían entre 0.5 (giro/alabeo impedido en ambos extremos), 0.7 (giro/alabeo impedido en un extremo y libre en el otro) y 1.0 (giro/alabeo libre en ambos extremos). Teniendo en cuenta que en la mayor parte de las situaciones reales tan solo se consigue restringir parcialmente la rotación y el alabeo, es aconsejable adoptar, del lado de la seguridad, el valor unidad para ambos coeficientes.
Finalmente, C1 es el coeficiente que tiene en cuenta la forma del diagrama de momentos flectores. En el caso barras con rotación libre en ambos extremos y variación lineal de momentos flectores a lo largo de toda la barra, los valores de C1 coinciden con los del DB SE-A. Además, la Tabla 2 (que se corresponde con la tabla F.1.2 del EC3-1996) proporciona valores adicionales de C1 para algunos casos donde las cargas transversales están directamente aplicadas sobre la barra.
| Condiciones de carga y diagrama de flectores | k | C1 |
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1
0.5 |
1.132
0.972 |
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1
0.5 |
1.285
0.712 |
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1
0.5 |
1.365
1.070 |
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1
0.5 |
1.565
0.938 |
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1
0.5 |
1.046
1.010 |
2.4. Eurocódigo 3. UNE EN1993-1-1. EC3 -UK
La edición para Reino Unido del Eurocódigo 3 (EC3 UK) proporciona la expresión (13) para el cálculo del momento crítico elástico estándar, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{E}} , aplicable a la barra biarticulada, sección doblemente simétrica y momento flector constante.
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(13) |
En dicha expresión el momento crítico elástico depende del momento de inercia de la sección respecto al eje débil Iz, de los módulos de torsión It y alabeo Iw, y de los módulos de elasticidad longitudinal y transversal del acero, E y G respectivamente. L es la distancia entre los puntos de la viga arriostrados lateralmente, equivalente a Lcy L en las ecuaciones (6),(7) y (12). Para otros estados de carga, los autores del EC3-UK recomiendan, entre otras, el uso de las fórmulas propuestas por Clark & Hill y Galéa aplicable a la mayor parte de casos prácticos.
La expresión recomendada para el cálculo del momento crítico elástico correspondiente a una viga de sección con doble simetría y cargas transversales aplicadas en el centro de esfuerzos cortantes, coincide con la expresión (12) del EC3-1996 con ligeras modificaciones en los valores del coeficiente C1.
2.5. Módulos de torsión y alabeo
En el cálculo del Mcr intervienen, entre otras propiedades geométricas y mecánicas, los módulos de torsión y de alabeo de la sección transversal de la barra. Los valores de dichos módulos deberían estar incluidos en las tablas de propiedades geométricas y mecánicas de los perfiles de acero. Sin embargo, la norma española UNE 36526 (Productos de acero, Perfiles en I con alas paralelas (IPE) de acero laminado en caliente de noviembre de 2018 [10], no los incluye.
No obstante, es posible encontrar valores para los módulos de torsión y alabeo en la literatura técnica – Argüelles [11] y Monfort [12] – o en las tablas de propiedades geométricas y mecánicas proporcionadas por los productores de perfiles de acero.
Alternativamente pueden utilizarse las expresiones matemáticas de las ecuaciones (14) y (15) para obtener el valor de los módulos de torsión y alabeo de los perfiles doble T. y (15).
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(14) |
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(15) |
| Siendo
bel ancho del ala tfel espesor del ala hwel canto del alma twel espesor del alma Izel momento de inercia respecto al eje débil h el canto del perfil |
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En la Tabla 3, se recogen los valores de los módulos de torsión y alabeo de la serie IPE calculados a partir de las ecuaciones (14)y (15).
También se incluyen, para poder comparar, los valores propuestos por Argüelles, que coinciden con los recogidos en la Norma Básica de Edificación de Estructuras de Acero, EA95 [13] derogada y sustituida por el DB SE-A del CTE; los proporcionados por Monfort (sólo incluye valores del módulo de torsión), y los incluidos en las tablas de perfiles I de alas paralelas de la empresa siderúrgica ArcelorMittal [14].
Como se puede observar en la Tabla 3, los valores del módulo de torsión, It , proporcionados por Argüelles, Monfort y ArcelorMittal son similares, mientras que los calculados a partir de la ecuación (14), son bastante menores.
En cuanto al módulo de alabeo, Iw , se da el caso contrario. Los valores mayores corresponden a los calculados a partir de la ecuación (15), mientras que los valores de las otras dos columnas, Argüelles y ArcelorMittal, son prácticamente iguales.
| PERFIL IPE | It
calculado |
It
Argüelles [11] |
It
Monfort [12] |
ItArcelorMittal
[14] |
Iw calculado | Iw
Argüelles [11] |
Iw ArcelorMittal
[14] |
| mm4 x 103 | mm4 x 103 | mm4 x 103 | mm4 x 103 | mm6 x 106 | mm6 x 106 | mm6 x 106 | |
| IPE 80 | 5.59 | 7.21 | 7.0 | 7 | 136 | 118 | 120 |
| IPE 100 | 8.83 | 11.4 | 12.0 | 12 | 398 | 351 | 350 |
| IPE 120 | 13.72 | 17.7 | 17.4 | 17 | 997 | 890 | 890 |
| IPE 140 | 20.35 | 26.3 | 24.5 | 25 | 2200 | 1981 | 1980 |
| IPE 160 | 28.20 | 36.4 | 36.0 | 36 | 4371 | 3959 | 3960 |
| IPE 180 | 39.20 | 50.6 | 47.9 | 48 | 8181 | 7431 | 7430 |
| IPE 200 | 51.65 | 66.7 | 69.8 | 70 | 14200 | 12990 | 13000 |
| IPE 220 | 70.91 | 91.5 | 90.7 | 91 | 24805 | 22670 | 22700 |
| IPE 240 | 92.80 | 120 | 128.8 | 129 | 40896 | 37390 | 37400 |
| IPE 270 | 119.43 | 154 | 159.0 | 159 | 76545 | 70580 | 70600 |
| IPE 300 | 155.74 | 201 | 201.2 | 201 | 135900 | 125900 | 126000 |
| IPE 330 | 205.40 | 265 | 281.5 | 282 | 214533 | 199100 | 199000 |
| IPE 360 | 289.26 | 373 | 373.2 | 373 | 337932 | 313600 | 314000 |
| IPE 400 | 374.33 | 483 | 510.8 | 511 | 527200 | 490000 | 490000 |
| IPE 450 | 510.71 | 659 | 668.7 | 669 | 848475 | 791000 | 791000 |
| IPE 500 | 711.68 | 918 | 892.9 | 893 | 1338750 | 1249000 | 1249000 |
| IPE 550 | 947.43 | 1220 | 1232.0 | 1230 | 2017675 | 1884000 | 1884000 |
| IPE 600 | 1329.70 | 1720 | 1654.0 | 1650 | 3048300 | 2846000 | 2846000 |
2.6. Influencia del procedimiento de cálculo de los módulos de torsión y alabeo
Antes de proceder al cálculo del Mb,Rdcon las ecuaciones incluidas en el epígrafe anterior conviene determinar la influencia que pudiera tener en la evaluación del momento crítico elástico las variaciones en la magnitud de los módulos de torsión y alabeo puestas en evidencia en el apartado anterior.
Con este objeto se han calculado, para los perfiles de la serie IPE y aplicando la ecuación (13), dos valores del momento crítico elástico estándar: Mcr(AM) y Mcr(CAL). En el primer caso se han utilizado los valores de It e Iw proporcionados por ArcelorMittal, y en el segundo caso los obtenidos con las expresiones (14) y (15). En ambos casos, el cálculo se ha realizado para longitudes Lc entre 1 y 10 metros.
La ratio Mcr(AM)/Mcr(CAL)para toda la serie IPE se muestra en las gráficas de la Figura 1. En ellas se observa que:
- El momento crítico estándar obtenido a partir de los valores de It e Iw proporcionados por ArcelorMittal, Mcr(AM), es, en líneas generales, mayor que el calculado, Mcr(CAL), utilizando las expresiones (14) y (15). No obstante, la diferencia es en todos los casos inferior al 16%.
- Dicho incremento es menos acusado en los perfiles mayores (IPE 360 a IPE 600).
- Para valores de Lc pequeños (1, ó 2 m) no sólo no se produce un incremento de Mcr al utilizar los valores de ArcelorMittal, sino que hay una ligera reducción (inferior al 5%).
Considerando que en las ecuaciones (14) y (15) no se tiene en cuenta el área encerrada por los radios de acuerdo ala-alma y quelos valores de It e Iw recogidos en la literatura técnica son similares a los de ArcelorMittal, se utilizarán estos últimos en el cálculo del momento crítico elástico de los siguientes epígrafes.
3. Cálculo de la resistencia a pandeo lateral.
Ec3-1996 vs db se-a:ec3-1996
A continuación, se ha explorado la posibilidad de combinar las siguientes expresiones y normativas:
DB SE-A del Código Técnico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{CTE}}
ecuación (5)
Versión de 1996 del Eurocódigo 3 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{EC3}}
ecuación (12)
Versión inglesa del Eurocódigo 3 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {M}_{cr}^{E}}
ecuación (13)
con objeto de poder calcular la resistencia a pandeo lateral, Mb,Rd, utilizando las expresiones del DB SE-A, pero ampliando su uso a varios casos usuales de distribuciones de momentos flectores generados por cargas transversales directamente aplicadas sobre la barra que han sido omitidas en el DB SE-A.
El análisis se ha realizado particularizando las expresiones anteriores para la serie de perfiles IPE de acero S275, teniendo en cuenta que las secciones son clase 1 en flexión simple, y variando la distancia entre puntos arriostrados transversalmente entre 1 y 10 metros.
3.1. Viga con momento flector constante
El caso analizado se muestra en la Figura 2. Se trata de una barra sometida a una distribución de momentos flectores constante en toda su longitud. En sus extremos no se restringe ni el giro ni el alabeo.
Analizando los resultados obtenidos, se ha podido constatar que, a pesar de que las expresiones (12) y (13) son formalmente diferentes, los valores de la resistencia a pandeo lateral, Mb,Rd, calculada con la fórmula (13) de la versión inglesa del EC3 (Mb,Rd,E) son iguales a los valores obtenidos con la expresión (12) de la versión de 1996 del Eurocódigo 3 (Mb,Rd,EC3).
En este último caso se ha considerado que los valores de los coeficientes a aplicar para tener en cuenta las condiciones de contorno son: kw= k = C1 = 1.
También se han calculado la resistencia a pandeo lateral según el EC3-1996, Mb,Rd,EC3, y esa misma resistencia, Mb,Rd,CTE , utilizando los criterios del DB SE-A (C1 = 1) y la fórmula del momento crítico elásticodada en la ecuación (5). Las ratios entre ambos valores se representan gráficamente en la Figura 3. En estas gráficas se observa que las diferencias entre los valores obtenidos con uno u otro método son inferiores al 6%0. Por lo tanto, en este caso (distribución de flectores constante) y a los efectos prácticos, resulta irrelevante la expresión que se utilice para calcular el momento crítico elástico.
3.2. Viga biarticulada con carga uniformemente
repartida
Las expresiones que propone el DB SE-A para calcular las dos componentes del momento crítico, MLTv y MLTw, incluyen un coeficiente C1 que permite tener en cuenta distintas distribuciones de momento flector, aunque, como ya se ha comentado, sólo proporciona valores para el caso de variaciones lineales.
Por otro lado, la versión de 1996 del EC3 proporciona valores para el coeficiente C1 que, además, incluye casos en los que las distribuciones de momentos flectores son el resultado de aplicar cargas transversales directamente sobre la barra.
Dichos valores se muestran en la Tabla 2 en función del coeficiente k que caracteriza las restricciones a la rotación alrededor del eje débil (z) de las secciones de los extremos de la barra. Cuando está permitida la rotación en ambos extremos el coeficiente k = 1.0.
En este epígrafese pretende conocer si es posible ampliar el abanico de casos en los que se puede aplicar la ecuación (5) proporcionada por el DB SE-A del CTE. Con este objeto se ha calculado la resistencia a pandeo lateral, Mb,Rd,EC3, de la viga de la Figura 4 utilizando la ecuación (12) proporcionada por el EC3-1996 y tomando los valores k = 1.0 y C1 = 1.132 (Tabla 2). Posteriormente se ha calculado la resistencia a pandeo lateral, Mb,Rd,CTE,de la misma viga utilizando la ecuación (5) del DB SE-A y un coeficiente C1 = 1.132.
Las ratios obtenidas en este caso se comparan en la Figura 5 y se observa que se alcanza, prácticamente, la misma resistencia a pandeo lateral con la ecuación (5) que con la ecuación (12). Por tanto, aunque el DB SE-A no proporcione el valor de C1 para el caso de la viga biarticulada con carga uniformemente repartida, parece factible utilizar el coeficiente C1 = 1.132 al comprobar la resistencia a pandeo lateral según la ecuación (5) del CTE.
Por otro lado, la Tabla 2 proporciona un segundo valor de C1cuando el coeficiente k = 0.5. Con objeto de valorar si es factible utilizar este segundo valor del coeficiente C1 para el caso que nos ocupa, serepite el proceso anterior:
- Se calcula Mb,Rd,EC3, utilizando la ecuación (12) propuesta por el EC3-96 y tomando los valores k = 0.5 y C1 = 0.912 (Tabla 2).
- Se obtiene la resistencia a pandeo lateral, Mb,Rd,CTE,de la misma viga utilizando la ecuación (5) del DB SE-A con el mismo valor del coeficiente C1
- La relación entre ambos momentos se representa en la Figura 6.
Como puede observarse en dicha figura, los resultados obtenidos con la expresión del EC3-1996 son bastante mayores que los obtenidos al calcular el momento crítico con la ecuación del DB SE-A.
Dichas diferencias se deben a que las condiciones de enlace de ambas vigas no son semejantes. El coeficiente k = 0.5 de la expresión del EC3-1996 implica una coacción al giro alrededor del eje débil que repercute directamente en una mayor resistencia al pandeo lateral (casi el doble en algunos casos). Sin embargo, las expresiones del DB SE-A no contemplan esa posible coacción, dando lugar a momentos resistentes bastante inferiores.
3.3. Vigas con otras leyes de flectores parabólicas
En este epígrafe se analiza la resistencia frente a pandeo lateral de barras sometidas a una distribución de flectores parabólica en la que los momentos en los extremos son no nulos (Figura 7).
Para ello, se comparan los resultados obtenidos con la ecuación (12) propuesta por el EC3-1996 y la fórmula (5) incluida en el DB SE-A aplicando en ambas el mismo coeficiente C1.
Dado que Tabla 2 proporciona de nuevo dos valores para el coeficiente C1 dependiendo de la sujeción lateral garantizada en los extremos de la viga, se analizan las siguientes opciones:
- Mb,Rd,EC3calculado con C1= 1.285 y k = 1.0 y Mb,Rd,CTEobtenido con C1 = 1.285. Los resultados se comparan en la Figura 8 y se observa que las diferencias entre ambos métodos son despreciables (inferiores al 5%0).
- Mb,Rd,EC3 calculado con C1= 0.712 y k = 0.5 y Mb,Rd,CTE obtenido con C1 = 0.712. Los resultados se comparan en la Figura 9.
Estas últimas gráficas, ponen de nuevo en evidencia que las diferencias entre ambos métodos son significativas (casi en doble en algunos casos) consecuencia del desajuste entre ambos modelos respecto al coeficiente de sujeción lateral (coeficiente k)
4. Cálculo de la resistencia a pandeo lateral.
EC3-1996 vs DB SE-A:EAE
Como alternativa a utilizar las expresiones del DB SE-A combinadas con los valores del coeficiente C1de la Tabla 2, para tener en cuentadistribuciones de momentos flectores generados por cargas transversales directamente aplicadas sobre la barra que han sido omitidas en el DB SE-A, en esta sección se analiza el posible uso del factor de corrección kc incluido en la EAE.
Para ello se ha calculado el coeficiente reductor por pandeo lateral modificado, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT,mod}} , válido para perfiles laminados y obtenido a partir de las ecuaciones (8), (9), (10) y (11).
En esta última ecuación se ha utilizado el factor de corrección kc dado en la Tabla 1.
4.1. Viga biarticulada con carga uniformemente
repartida
Es el caso de una viga sometida a una distribución de momentos flectores parabólica (Figura 4). Para esta situación, la Tabla 1 recomienda un valor del factor de corrección kc = 0.94.
En la Figura 10 se representa la relación entre los resultados obtenidos considerando la expresión del EC3-1996 (Mb,Rd,EC3) con los coeficiente C1 = 1.132 y k= 1.0 y los obtenidos a partir de las expresiones del DB SE-A para obtener el momento crítico, teniendo en cuenta las modificaciones propuestas por la EAE para calcular el coeficiente reductor por pandeo lateral Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT,mod}} , para perfiles laminados, incluyendo el factor de corrección kc = 0.94.
En las gráficas de la Figura 10 se observa que en este caso los valores proporcionados por las expresiones del EC3-1996 son, en la mayor parte de las situaciones mayores que los obtenidos con el DB SE-A. Los incrementos se sitúan en un rango que va del 10% al 30%. Por tanto, el uso del coeficiente kc en el caso que nos ocupa da lugar a valores bastante conservadores.
4.2. Vigas con otras leyes de flectores parabólicas
Este caso se muestra en la Figura 7 y corresponde a una distribución de momentos flectores parabólica con momentos no nulos en los extremos. Según la Tabla 1 el valor del factor de corrección es kc = 0.90.
Los resultados obtenidos al comparar el Mb,Rd,EC3calculado con C1 = 1.285 y kz = 1 con el Mb,Rd,CTEmodificado con el factor de corrección kc =0.90 se han representado en la Figura 11. En esta ocasión, los resultados del Mb,Rd,EC3también son bastante mayores, aunque las diferencias son todavía más significativas ya que en algunos casos superan el 40%.
5. Discusión
Los resultados obtenidos del análisis comparado muestran que los valores de la resistencia a pandeo lateral considerando una distribución de momentos flectores constante (Figura 2) calculados con las expresiones del DB SE-A son prácticamente iguales (Figura 3) a los proporcionados por las fórmulas del EC3-UK y EC3-1996, pese a las diferencias formales de las expresiones que permiten calcular el momento crítico elástico.
En el caso de una viga biarticulada con carga uniformemente repartida (Figura 4), las gráficas que recogen los resultados del análisis, basados en las formulaciones proporcionadas por distintas normas y que caracterizan el problema mediante el coeficiente C1, muestran (Figura 5) que los valores de la resistencia de cálculo frente al pandeo lateral son similares, siempre y cuando se utilicen los valores de C1correspondientes al coeficiente k igual a la unidad (rotación alrededor del eje débil permitida en ambos extremos).
Así mismo, en el caso de una carga uniformemente repartida (distribución de momentos flectores parabólica) pero con momentos negativos en los extremos (Figura 7), los resultados siguen mostrando diferencias muy pequeñas cuando, de nuevo, el valor del coeficiente C1 utilizado corresponde al caso de coeficiente k = 1. (Figura 8)
La aplicación de los valores de C1correspondientes a los casos en que k = 0.5 no es recomendable, pues el DB SE-A no contempla condiciones de enlace en los extremos distintas al giro libre alrededor del eje débil (Figuras 6 y 9) en el cálculo del momento crítico elástico de pandeo lateral.
Por otro lado, los cálculos llevados a cabo según el procedimiento del DB SE-A, pero con el factor de corrección kcpropuesto por la EAE y el vigente Eurocódigo 3 (EC3-2013) para tener en cuenta distintas distribuciones de momentos flectores, muestran diferencias significativas respecto a los valores obtenidos con el EC3-1996 de tal modo que, al aplicar el coeficiente kc , los valores de la resistencia a pandeo lateral son más conservadores.
6. Conclusiones
En este trabajo se ha analizado la pertinencia de utilizar las comprobaciones a pandeo lateral incluidas en el DB SE-A y propuestas inicialmente para barras con distribución de momentos flectores lineal, junto con los coeficientes propuestos por varias versiones del Eurocódigo 3 y de la EAE para analizar barras sometidas a otras leyes de momentos flectores más complejas y cercanas a los casos reales habituales.
Los resultados obtenidos muestran que, para el caso de la distribución de flectores parabólica es admisible aplicar en las expresiones del DB SE-A el coeficiente C1 = 1.132 (EC3-1996) cuando los momentos son nulos en los extremos, y el valor de C1 = 1.285 (EC3-1996) cuando hay, además, momentos negativos en los extremos. Para facilitar la aplicación práctica de estas conclusiones se han confeccionado las Tablas 4, 5 y 6 con los valores del coeficiente reductor de la resistencia a pandeo lateral, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}} , para la serie de los perfiles IPE de acero S275.
En estas tablas se puede observar que el coeficiente reductor por pandeo lateral correspondiente al caso de momento constante es inferior al obtenido para la distribución de flectores parabólica, correspondiendo los mayores valores a la distribución parabólica con momentos negativos en los extremos.
En consecuencia, sería admisible utilizar en el dimensionado los valores correspondientes a la distribución de flectores constante, independientemente del estado de carga. Esta opción quedaría del lado de la seguridad.
Finalmente, hay que señalar que la aplicación del factor corrector kc de la EAE en las expresiones del DB SE-A da lugar a resultados todavía más conservadores.
Por último, hay que tener presente que Tablas 4, 5 y 6 se han confeccionado utilizando los valores de los módulos de torsión y alabeo propuestos por ArcelorMitt
Tabla 4. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}}
obtenidos con las ecuaciones del DB SE A para momento constante| C1=1 | Lc = 1 m | Lc =2 m | Lc= 3 m | Lc= 4 m | Lc = 5 m | Lc= 6 m | Lc =7 m | Lc=8 m | Lc=9 m | Lc =10 m |
| IPE 80 | 0.82978 | 0.59285 | 0.43294 | 0.33728 | 0.27567 | 0.23300 | 0.20177 | 0.17793 | 0.15916 | 0.14398 |
| IPE 100 | 0.85649 | 0.62599 | 0.45790 | 0.35626 | 0.29090 | 0.24572 | 0.21270 | 0.18754 | 0.16772 | 0.15172 |
| IPE 120 | 0.87910 | 0.65559 | 0.47809 | 0.37018 | 0.30133 | 0.25405 | 0.21964 | 0.19350 | 0.17296 | 0.15639 |
| IPE 140 | 0.89919 | 0.69055 | 0.50463 | 0.38888 | 0.31541 | 0.26529 | 0.22901 | 0.20154 | 0.18002 | 0.16269 |
| IPE 160 | 0.91651 | 0.73096 | 0.54243 | 0.41790 | 0.33824 | 0.28402 | 0.24489 | 0.21533 | 0.19222 | 0.17365 |
| IPE 180 | 0.92958 | 0.76338 | 0.57483 | 0.44215 | 0.35660 | 0.29859 | 0.25693 | 0.22560 | 0.20118 | 0.18160 |
| IPE 200 | 0.94103 | 0.79710 | 0.61814 | 0.47924 | 0.38679 | 0.32366 | 0.27830 | 0.24422 | 0.21768 | 0.19643 |
| IPE 220 | 0.95100 | 0.82510 | 0.65646 | 0.51200 | 0.41253 | 0.34428 | 0.29535 | 0.25873 | 0.23031 | 0.20761 |
| IPE 240 | 0.95957 | 0.85110 | 0.70088 | 0.55699 | 0.45133 | 0.37717 | 0.32362 | 0.28343 | 0.25224 | 0.22733 |
| IPE 270 | 0.96884 | 0.87537 | 0.74011 | 0.59407 | 0.47946 | 0.39793 | 0.33931 | 0.29571 | 0.26215 | 0.23555 |
| IPE 300 | 0.97628 | 0.89527 | 0.77759 | 0.63675 | 0.51561 | 0.42641 | 0.36186 | 0.31399 | 0.27734 | 0.24847 |
| IPE 330 | 0.96884 | 0.85961 | 0.73082 | 0.60055 | 0.49315 | 0.41277 | 0.35334 | 0.30853 | 0.27383 | 0.24625 |
| IPE 360 | 0.97483 | 0.87326 | 0.75349 | 0.62752 | 0.51868 | 0.43486 | 0.37208 | 0.32453 | 0.28766 | 0.25840 |
| IPE 400 | 0.97962 | 0.88392 | 0.77122 | 0.64919 | 0.53950 | 0.45277 | 0.38703 | 0.33703 | 0.29825 | 0.26750 |
| IPE 450 | 0.98343 | 0.89206 | 0.78423 | 0.66451 | 0.55329 | 0.46351 | 0.39491 | 0.34268 | 0.30228 | 0.27036 |
| IPE 500 | 0.98718 | 0.90025 | 0.79809 | 0.68246 | 0.57131 | 0.47915 | 0.40775 | 0.35309 | 0.31077 | 0.27738 |
| IPE 550 | 0.99067 | 0.90798 | 0.81174 | 0.70164 | 0.59252 | 0.49926 | 0.42559 | 0.36864 | 0.32432 | 0.28927 |
| IPE 600 | 0.99390 | 0.91504 | 0.82410 | 0.71928 | 0.61252 | 0.51854 | 0.44282 | 0.38362 | 0.33731 | 0.30061 |
Tabla 5. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}}
, obtenidos con las ecuaciones del DB SE A para diagrama de flectores parabólico| C1 = 1.132 | Lc = 1 m | Lc =2 m | Lc = 3 m | Lc = 4 m | Lc = 5 m | Lc = 6 m | Lc =7 m | Lc =8 m | Lc =9 m | Lc =10 m |
| IPE 80 | 0.85123 | 0.63885 | 0.47739 | 0.37522 | 0.30799 | 0.26095 | 0.22632 | 0.19981 | 0.17887 | 0.16191 |
| IPE 100 | 0.87415 | 0.67041 | 0.50347 | 0.39573 | 0.32469 | 0.27501 | 0.23847 | 0.21050 | 0.18843 | 0.17056 |
| IPE 120 | 0.89368 | 0.69799 | 0.52436 | 0.41070 | 0.33610 | 0.28419 | 0.24616 | 0.21714 | 0.19427 | 0.17578 |
| IPE 140 | 0.91120 | 0.72985 | 0.55150 | 0.43073 | 0.35146 | 0.29658 | 0.25654 | 0.22608 | 0.20213 | 0.18281 |
| IPE 160 | 0.92645 | 0.76582 | 0.58950 | 0.46155 | 0.37626 | 0.31715 | 0.27409 | 0.24139 | 0.21572 | 0.19503 |
| IPE 180 | 0.93809 | 0.79413 | 0.62139 | 0.48705 | 0.39610 | 0.33310 | 0.28737 | 0.25277 | 0.22568 | 0.20390 |
| IPE 200 | 0.94836 | 0.82321 | 0.66299 | 0.52554 | 0.42849 | 0.36044 | 0.31088 | 0.27335 | 0.24399 | 0.22039 |
| IPE 220 | 0.95739 | 0.84721 | 0.69880 | 0.55897 | 0.45587 | 0.38279 | 0.32956 | 0.28935 | 0.25797 | 0.23282 |
| IPE 240 | 0.96519 | 0.86952 | 0.73914 | 0.60391 | 0.49663 | 0.41821 | 0.36039 | 0.31651 | 0.28220 | 0.25468 |
| IPE 270 | 0.97369 | 0.89045 | 0.77386 | 0.64003 | 0.52577 | 0.44037 | 0.37742 | 0.32995 | 0.29312 | 0.26377 |
| IPE 300 | 0.98055 | 0.90776 | 0.80642 | 0.68050 | 0.56262 | 0.47052 | 0.40177 | 0.34991 | 0.30982 | 0.27804 |
| IPE 330 | 0.97509 | 0.87504 | 0.75937 | 0.63886 | 0.53389 | 0.45179 | 0.38938 | 0.34150 | 0.30402 | 0.27401 |
| IPE 360 | 0.98068 | 0.88737 | 0.77980 | 0.66436 | 0.55935 | 0.47464 | 0.40920 | 0.35867 | 0.31901 | 0.28725 |
| IPE 400 | 0.98515 | 0.89702 | 0.79573 | 0.68462 | 0.57988 | 0.49301 | 0.42492 | 0.37202 | 0.33044 | 0.29715 |
| IPE 450 | 0.98872 | 0.90441 | 0.80739 | 0.69881 | 0.59336 | 0.50395 | 0.43317 | 0.37805 | 0.33478 | 0.30026 |
| IPE 500 | 0.99223 | 0.91187 | 0.81981 | 0.71534 | 0.61084 | 0.51981 | 0.44656 | 0.38911 | 0.34392 | 0.30787 |
| IPE 550 | 0.99550 | 0.91893 | 0.83204 | 0.73289 | 0.63120 | 0.54001 | 0.46508 | 0.40556 | 0.35844 | 0.32074 |
| IPE 600 | 0.99853 | 0.92539 | 0.84313 | 0.74892 | 0.65022 | 0.55922 | 0.48281 | 0.42134 | 0.37233 | 0.33298 |
Tabla 6. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://test.scipedia.com:8081/localhost/v1/":): {\textstyle {\chi }_{LT}}
, obtenidos con las ecuaciones del DB SE-A para diagrama de flectores parabólico y momentos negativos en extremos| C1=1.285 | Lc = 1 m | Lc =2 m | Lc= 3 m | Lc= 4 m | Lc = 5 m | Lc= 6 m | Lc =7 m | Lc=8 m | Lc=9 m | Lc =10 m |
| IPE 80 | 0.87001 | 0.68340 | 0.52469 | 0.41706 | 0.34420 | 0.29253 | 0.25421 | 0.22473 | 0.20137 | 0.18242 |
| IPE 100 | 0.88972 | 0.71247 | 0.55138 | 0.43901 | 0.36242 | 0.30802 | 0.26767 | 0.23663 | 0.21204 | 0.19209 |
| IPE 120 | 0.90665 | 0.73737 | 0.57249 | 0.45493 | 0.37482 | 0.31812 | 0.27619 | 0.24401 | 0.21855 | 0.19793 |
| IPE 140 | 0.92198 | 0.76559 | 0.59955 | 0.47608 | 0.39146 | 0.33171 | 0.28766 | 0.25393 | 0.22731 | 0.20577 |
| IPE 160 | 0.93548 | 0.79688 | 0.63664 | 0.50830 | 0.41818 | 0.35420 | 0.30701 | 0.27090 | 0.24243 | 0.21941 |
| IPE 180 | 0.94588 | 0.82121 | 0.66705 | 0.53462 | 0.43940 | 0.37157 | 0.32161 | 0.28349 | 0.25349 | 0.22928 |
| IPE 200 | 0.95514 | 0.84606 | 0.70570 | 0.57368 | 0.47373 | 0.40116 | 0.34736 | 0.30620 | 0.27379 | 0.24762 |
| IPE 220 | 0.96332 | 0.86657 | 0.73808 | 0.60691 | 0.50240 | 0.42518 | 0.36772 | 0.32379 | 0.28924 | 0.26141 |
| IPE 240 | 0.97045 | 0.88572 | 0.77372 | 0.65046 | 0.54442 | 0.46288 | 0.40111 | 0.35350 | 0.31593 | 0.28561 |
| IPE 270 | 0.97826 | 0.90383 | 0.80381 | 0.68450 | 0.57391 | 0.48621 | 0.41943 | 0.36815 | 0.32792 | 0.29564 |
| IPE 300 | 0.98459 | 0.91896 | 0.83172 | 0.72163 | 0.61050 | 0.51760 | 0.44544 | 0.38979 | 0.34620 | 0.31136 |
| IPE 330 | 0.98105 | 0.88928 | 0.78563 | 0.67576 | 0.57527 | 0.49292 | 0.42825 | 0.37761 | 0.33741 | 0.30493 |
| IPE 360 | 0.98627 | 0.90042 | 0.80392 | 0.69942 | 0.60014 | 0.51616 | 0.44897 | 0.39586 | 0.35354 | 0.31929 |
| IPE 400 | 0.99045 | 0.90918 | 0.81817 | 0.71803 | 0.61995 | 0.53467 | 0.46528 | 0.40999 | 0.36579 | 0.33000 |
| IPE 450 | 0.99378 | 0.91591 | 0.82859 | 0.73098 | 0.63285 | 0.54562 | 0.47380 | 0.41635 | 0.37044 | 0.33336 |
| IPE 500 | 0.99707 | 0.92271 | 0.83969 | 0.74599 | 0.64945 | 0.56137 | 0.48757 | 0.42798 | 0.38018 | 0.34156 |
| IPE 550 | 1.00000 | 0.92916 | 0.85063 | 0.76183 | 0.66861 | 0.58128 | 0.50646 | 0.44518 | 0.39563 | 0.35540 |
| IPE 600 | 1.00000 | 0.93508 | 0.86057 | 0.77626 | 0.68633 | 0.60001 | 0.52441 | 0.46158 | 0.41032 | 0.36851 |
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Published on 07/04/21
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