4 VIGAS TRIDIMENSIONALES DE MATERIAL COMPUESTO

4.1 INTRODUCCIÓN

Una viga tridimensional (3D), también llamada pieza, es un sólido prismático alargado sometido a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de torsión. Se pueden encontrar estructuras con vigas 3D en edificios y construcciones industriales, arcos, placas rigidizadas, partes estructurales de vehículos de transporte terrestre, fuselajes de aviones y naves espaciales, cascos de barcos, piezas mecánicas, etc. La Figura 4.1 muestra ejemplos esquemáticos de estructuras formadas por piezas rectas.

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Figura 4.1: Representación esquemática de estructuras de vigas 3D formadas por ensamblaje de piezas rectas sometidas a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de torsión. Los puntos señalan la unión entre piezas

En este capítulo estudiaremos el cálculo por el MEF de vigas 3D de sección arbitraria y material compuesto. Muchos de los conceptos son extensiones de los estudiados para vigas planas en los Capítulos 1–3 y se añaden algunos temas avanzados. En aras de la exhaustividad, se explican los principales conceptos teóricos de la teoría de vigas 3D, aunque de forma concisa. Se recomienda a los lectores que no estén familiarizados con el análisis de vigas 3D, el estudio de libros clásicos de Resistencia de Materiales y Análisis Estructural [Li,OR,SJ,Ti2,3].

En la primera parte del capítulo se aborda el estudio de una viga 3D de material compuesto mediante una extensión de las teorías de vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko estudiadas en los Capítulos 1 y 2. Se describe la formulación de elementos de viga 3D de dos nodos rectos y curvos. Se supone que la relación constitutiva entre las tres tensiones y deformaciones significativas tiene forma diagonal. Esto restringe la aplicabilidad de la formulación a un rango específico (aunque amplio) de materiales compuestos. La torsión libre (torsión de Saint-Venant) se estudia primero. Esta teoría supone que las tensiones y deformaciones inducidas por el alabeo de la sección son nulas. Esta hipótesis es exacta cuando el momento torsor es constante a lo largo de la longitud de la viga y el alabeo no está restringido en ningún punto. La teoría de Saint-Venant es también una buena aproximación cuando el torsor no es uniforme en vigas de secciones macizas (rectangular, cuadrada, circular, etc.), en secciones formadas por piezas rectangulares delgadas (sección angular, sección en T, etc) y en secciones huecas celulares (tubos, cajones con ancho/largo , etc.). Se explica también una particularización del elemento de viga 3D de dos nodos basado en la teoría de Saint-Venant para emparrillados planos.

Para otros tipos de secciones bajo torsión no uniforme, o torsión uniforme restringida, deben tenerse en cuenta las tensiones y deformaciones de alabeo [MB,OR,Vl]. Se presenta con detalle una teoría de torsión para vigas de pared delgada abierta que exhiben fuertes efectos de alabeo. También se describe brevemente una versión refinada de esta teoría que tiene en cuenta las deformaciones tangenciales inducidas por la torsión.

Al final del capítulo, presentamos un procedimiento para desarrollar elementos de viga 3D mediante una degeneración de elementos de sólido 3D. Esta formulación es aplicable a vigas de material compuesto y es una alternativa a los métodos tradicionales para desarrollar elementos de viga usando teorías ``clásicas de vigas. En el Capítulo 10 se aplican los elementos de viga 3D para su uso como rigidizadores de placas.

4.2 DEFINICIONES BÁSICAS PARA UNA VIGA 3D DE MATERIAL COMPUESTO

4.2.1 Ejes locales y globales

Una viga 3D es un sólido prismático de longitud y área transversal , orientado en la dirección longitudinal , cuyas dimensiones en el plano , ortogonal a , son relativamente pequeñas comparadas con la longitud . El punto O obtenido por intersección del eje de la viga con la sección transversal se supone situado en el eje neutro. Por lo tanto, el eje se denomina en adelante eje de la viga o eje neutro indistintamente.

La geometría de la viga se define en un sistema de coordenadas global (Figura 4.2).

En lo que sigue supondremos que el eje de la viga es recto y las propiedades de los materiales y las geométricas constantes a lo largo del eje .

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Figura 4.2: Viga 3D homogénea. Sistemas de referencia global () y local (). Ejes neutro y elástico. Desplazamientos y giros globales
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Figura 4.3: Centros de gravedad y de cortante (G y C) y posición del eje neutro (O) en una sección con material compuesto

La definición del eje de la viga como el eje neutro desacopla los efectos de flexión y axial (Apartado 3.6). Los efectos de flexión y de torsión también están desacoplados cuando las fuerzas externas en las direcciones y actúan sobre el centro de cortantes (denominado también centro de esfuerzos cortantes o centro de torsión) . La línea recta que conecta los puntos de todas las secciones es el eje elástico . En nuestros desarrollos supondremos que los ejes neutro y elástico son paralelos, aunque no coincidentes (Figura 4.2).

El punto sobre el eje neutro coincide con el centro de gravedad de la sección para secciones homogéneas (Figura 4.2 y Apartado 3.6).

Para secciones macizas homogéneas, secciones de pared delgada cerradas y secciones de pared delgada abiertas con simetría doble, los puntos , y coinciden (Figuras 4.2 y 4.6).

Para vigas de material compuesto, el centro de gravedad (G), el centro de cortantes (C) y el eje neutro (O) no suelen coincidir (Figura 4.3).

4.2.2 Comportamiento constitutivo

Las tres tensiones locales en una sección () (Figura 4.4) se relacionan con las deformaciones conjugadas () mediante la ecuación constitutiva

(4.1)
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Figura 4.4: Tensiones en una viga 3D

La matriz constitutiva de dimensión se deduce de la ecuación constitutiva general de la elasticidad 3D [On4] haciendo cero las deformaciones que se desprecian en la teoría de vigas 3D (es decir, ). Para un material heterogéneo, es una matriz llena (simétrica). Para las teorías de vigas estudiadas en este capítulo supondremos que el material es ortótropo con la orientación de uno de los ejes principales del material coincidente con el eje de la viga. Bajo esta hipótesis, la matriz tiene una simple (y estándar) forma diagonal

(4.2)

donde es el módulo de Young longitudinal () y y son los módulos de rigidez transversal (; ). Para material isótropo

(4.3)

Los parámetros del material pueden variar en cada punto de la sección, siempre que la anterior hipótesis se mantenga.

La forma simple de de la Ec.(4.2) nos permitirá hacer uso de conceptos de la teoría clásica de vigas que probablemente sean familiares para muchos lectores.

Sección de materiales compuesto laminados

Para una sección de material compuesto laminado (Figura 4.5a) supondremos que los parámetros constitutivos son constantes dentro de cada capa. Los valores de , y para la capa se pueden calcular rotando las ecuaciones constitutivas para el material de la capa (supuesto en estado de tensión plana, es decir, ) de los ejes laminares () a los ejes locales de la viga (), siguiendo un procedimiento similar al explicado en el Apartado 8.3.3. La matriz resultante es una matriz llena que puede diagonalizarse eliminando en primer lugar y , que se suponen nulos, e imponiendo después que las relaciones constitutivas de , y estén desacopladas.

Un procedimiento alternativo es mantener la expresión completa de la matriz y después simplificar su forma generalizada () que relaciona los esfuerzos y las deformaciones generalizadas [Va,VOO].

En nuestros desarrollos aceptaremos que es diagonal, lo cual ocurre invariablemente cuando el ángulo entre el eje longitudinal laminar y el eje es o (Figura 4.5a). A pesar de esta simplificación, este modelo es aplicable a un gran número de vigas de material compuesto laminado.

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Figura 4.5: (a) Ejes laminares () en una sección de material compuesto laminado. (b) Ejes principales de inercia () de una sección

Bajo las hipótesis anteriores es útil definir como el eje neutro, e y como los ejes principales de inercia de la sección.

4.2.3 Parámetros constitutivos resultantes y eje neutro

Elijamos un sistema de coordenadas ortogonal arbitrario vinculado al centro de gravedad , con paralelo a . Una simple traslación de este sistema al eje neutro O (cuya posición es aún desconocida) da el sistema vinculado al punto O (Figura 4.5b). Los parámetros constitutivos resultantes (generalizados) axiales y flectores se definen como

(4.4)
(4.5)

Para vigas 3D de materiales compuestos e isótropos, el eje local del sistema se define como el eje neutro si

(4.6.a)

(4.6.b)

El eje neutro en el sistema de coordenadas satisface

(4.7)

Las Ecs.(4.7) dan la posición del punto neutro en el sistema como (Figura 4.5b)

(4.8)

La posición del eje neutro no cambia si el sistema local se gira alrededor de para dar el sistema de coordenadas local final donde son los ejes principales de inercia.

4.2.4 Ejes principales de inercia

Los ejes principales de inercia que definen el sistema de coordenadas local (en el punto sobre el eje neutro O) se obtienen en función de los parámetros constitutivos en el sistema como sigue.

Las coordenadas de un punto arbitrario de la sección se expresan en función de las coordenadas , es decir

(4.9)

donde es el ángulo entre el eje principal y el (Figura 4.5b). Usando las Ecs.(4.4) obtenemos

(4.10)

Los ejes y son ejes principales de inercia si , es decir, si

(4.11)

Los parámetros constitutivos de flexión principales y se obtienen en función de los parámetros constitutivos en el sistema de coordenadas como

(4.12.a)

Usando la Ec.(4.10) se obtiene

(4.12.b)

4.2.5 Resumen de los pasos para definir el sistema de coordenadas local

Los pasos para definir el sistema de coordenadas local , vinculado al punto O sobre el eje neutro (Figura 4.5b), para una viga 3D son:

  1. Encontrar el centro de gravedad de la sección y definir el sistema ortogonal vinculado al punto G, en el que es paralelo a .
  2. Encontrar la posición del punto O sobre el eje neutro que define los sistemas vinculados a dicho punto (Ecs.(4.7)). Calcular los parámetros constitutivos , , y mediante las Ecs.(4.4).
  3. Calcular el ángulo que define la posición del sistema de coordenadas local vinculado al punto O (Ec.(4.11)).
  4. Calcular los parámetros de flexión en los ejes principales de inercia , mediante las Ecs.(4.12).

Para material homogéneo el eje neutro coincide con el centro de gravedad y

(4.13)

Las direcciones principales de inercia se definen en este caso por

(4.14)

y los momentos principales de inercia son

(4.15.a)

con

(4.15.b)

Si o son ejes de simetría, entonces y , .

4.2.6 Cálculo del centro de esfuerzos cortantes

Sea el eje neutro y los ejes principales de inercia de una sección. El campo de tensiones está definido por las tensiones , y (Figura 4.4). Las tensiones tangenciales y definen los esfuerzos cortantes y y el momento torsor (denominado “el torsor” por brevedad)

(4.16)

El torsor con respecto al eje elástico que pasa por el punto de coordenadas es

(4.17)

El punto es el centro de esfuerzos cortantes si los esfuerzos debidos a los efectos de flexión satisfacen

(4.18)

lo que da

(4.19.a)

(4.19.b)

El procedimiento para calcular en una viga de material compuesto es el siguiente:

  • Calcular la distribución de y sobre la sección para un esfuerzo cortante siguiendo el procedimiento explicado en el Apéndice D para el caso general, o el del Apartado 3.7 para flexión cilíndrica.
  • Calcular mediante la Ec.(4.16) y después mediante la Ec.(4.19.a).

    Se repiten los mismos pasos para calcular empleando el cortante . Claramente, el método también es aplicable a vigas homogéneas.

La Figura 4.6 muestra la posición del centro de gravedad O y del centro de esfuerzos cortantes C para algunas secciones. Para otras secciones ver [PCh,Yo].

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Figura 4.6: Posición del centro de gravedad (G), el centro de esfuerzos cortantes (C) y el eje neutro (O) de algunas secciones homogéneas

Por conveniencia, se define un nuevo sistema de referencia local en el centro de esfuerzos cortantes C tal que y son paralelos a y , respectivamente (Figura 4.7).

4.2.7 Propiedades del centro de esfuerzos cortantes

Las propiedades del centro de esfuerzos cortantes son las siguientes:

  • Las fuerzas externas y aplicadas en el centro de esfuerzos cortantes no producen un giro de la sección. Esto quiere decir que las tensiones tangenciales y debidas a y se asocian a una flexión únicamente.
  • Las fuerzas externas y aplicadas en un punto arbitrario se equilibran por tensiones tangenciales debidas a los esfuerzos cortantes y y a un torsor .
  • Por lo anterior, cualquier carga contenida en el plano se puede reducir a dos cargas (, ) actuando en el centro de esfuerzos cortantes y un torsor alrededor del eje elástico . Las dos fuerzas originan desplazamientos en los ejes y y los correspondientes estados de flexión (en los planos y , respectivamente), mientras que el torsor induce un giro de la sección () alrededor del eje elástico (Figura 4.7).
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Figura 4.7: Fuerzas externas , y torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes C
  • La tensiones tangenciales debidas a la flexión en el plano satisfacen

(4.20.a)

las debidas a la flexión en el plano () satisfacen

(4.20.b)

y las debidas al torsor (, ) satisfacen

(4.21)
  • Para torsión uniforme no coaccionada, un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes induce únicamente tensiones tangenciales en la sección. Para un torsor no uniforme o una torsión uniforme coaccionada, se inducen también tensiones axiales de alabeo. En todos los casos, el esfuerzo axil y los momentos flectores inducidos por un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes son cero (Apéndice F).
  • El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza cuando la sección está sometida a un torsor actuando en el punto neutro O. Esta propiedad se deduce del teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti (Figura 4.8), es decir

(4.22)

Si pasa por entonces el giro debido a la fuerza es cero. Por consiguiente, el desplazamiento vertical del centro de esfuerzos cortantes debido a es también cero. Lo mismo ocurre para una fuerza actuando en . Esto explica porqué el centro de esfuerzos cortantes también se llama en ocasiones centro de giro.

El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza bajo un torsor Mx' actuando en el punto O sobre el eje neutro
Figura 4.8: El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza bajo un torsor actuando en el punto O sobre el eje neutro
  • Si la sección es simétrica respecto a , el punto se ubica sobre ese eje y . También si es un punto de doble simetría, los puntos y coinciden. Finalmente si la sección se define como un ensamblaje de paredes delgadas que intersectan en un único punto, el centro de esfuerzos cortantes prácticamente coincide con dicho punto (Figura 4.6).
  • Para material homogéneo la posición de es normalmente una propiedad geométrica de la sección. La posición del centro de esfuerzos cortantes para distintas secciones homogéneas se puede encontrar en muchas publicaciones [PCh,Yo].
  • Una excepción de la anterior afirmación son las vigas de pared delgada muy deformables y con sección abierta. En este caso el centro de esfuerzos cortantes ya no es una propiedad de la sección y depende de las condiciones de contorno y las fuerzas externas (ya que las tensiones tangenciales debidas a la torsión no son nulas en la línea media) [Hy].
  • Para una viga de material compuesto laminado la posición del centro de esfuerzos cortantes depende de la geometría y de las propiedades de cada capa. El Apéndice I describe un procedimiento para calcular la posición de C en secciones abiertas de pared delgada y material compuesto laminado.

4.3 VIGAS 3D DE MATERIAL COMPUESTO DE SAINT-VENANT

Estudiamos en primer lugar el cálculo por el MEF de vigas 3D de material compuesto que satisfacen la hipótesis de torsión libre de Saint-Venant, es decir, la sección de la viga se puede deformar libremente debido al torsor. Como consecuencia, la tensiones (y las deformaciones) axiles debidas a la torsión (efectos de alabeo) son cero, o de poca importancia. Como ya se ha mencionado anteriormente, esta hipótesis la cumplen las secciones macizas, las secciones en T y las secciones cerradas de pared delgada (incluyendo las secciones multicelulares). La formulación también es aplicable a secciones abiertas de pared delgada, si el torsor es uniforme y el alabeo no está coaccionado a lo largo de la viga. En el Apartado 4.10 se presenta una formulación refinada para secciones abiertas de pared delgada que tiene en cuenta los efectos de alabeo. En todos los casos, se admiten las hipótesis de Timoshenko para la flexión, es decir, la secciones planas permanecen planas pero no necesariamente ortogonales al eje de la viga. Esto introduce efectos de deformación de cortante en los modos de flexión, como se describe en el Capítulo 2 para vigas planas.

En el Apartado 4.7 se explica brevemente la formulación de vigas 3D de Saint-Venant siguiendo las hipótesis de Euler-Bernoulli.

4.3.1 Campos de desplazamientos y de deformaciones. Teoría de Timoshenko

Asumiremos que el centro de esfuerzos cortantes C y el eje neutro O no coinciden. Por consiguiente, existirá un acoplamiento entre los efectos axiles, de flexión/cortante y torsor si las variables cinemáticas se eligen en o en .

Se puede, sin embargo, conseguir un desacoplamiento de dichos efectos eligiendo las siguientes variables cinemáticas [BD5]:

  • el desplazamiento axial en el punto neutro (),
  • los desplazamiento y en la dirección de los ejes y , respectivamente, en el centro de esfuerzos cortantes (),
  • el giro de torsión , y
  • los giros y alrededor de los ejes y en O (Figura 4.9).

Nótese que, al contrario que en capítulos anteriores, hemos elegido la representación vectorial para los giros (Figura 4.9).

Se destaca también que como el eje elástico es paralelo al eje neutro, los giros torsores y tienen el mismo valor (Figura 4.9). En lo que sigue mantendremos el giro como variable cinemática, por conveniencia.

Las variables cinemáticas en el punto se expresan en función de sus valores en el punto , antes de su transformación a ejes globales.

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Figura 4.9: Puntos de muestreo para las variables cinemáticas y los esfuerzos asociados

El campo de desplazamientos sobre la sección de la viga debido a los efectos flectores, según la teoría de Timoshenko (Capítulo 2), se escribe como

(4.23)

donde los subíndices y denotan los puntos de muestreo de cada desplazamiento.

El campo de desplazamientos se completa con el movimiento debido a la torsión. En la teoría de Saint-Venant se supone que las secciones de la viga giran libremente alrededor del eje por efecto de un giro torsor que varía linealmente a lo largo de (y también de ). Los desplazamientos en las direcciones y son y , respectivamente, donde y son las coordenadas del centro de esfuerzos cortantes .

El desplazamiento axial introducido por el giro torsor es donde es la función de alabeo y es la tasa de torsión. Se supone también que coincide con la variación del giro torsor a lo largo del eje de la viga, es decir

(4.24)

La Figura 4.10 muestra los desplazamientos de torsión libre de Saint-Venant de un punto arbitrario de la sección.

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Figura 4.10: Representación gráfica de los desplazamientos de torsión libre de Saint-Venant de un punto en los eje locales

La hipótesis (4.24) equivale a despreciar en el análisis los efectos de las deformaciones de cortante inducidas por la torsión. En el Apartado 4.11 se estudia cómo tener en cuenta esas deformaciones en vigas de sección abierta de pared delgada.

El desplazamiento de torsión se superpone al inducido por los movimientos axial y de flexión. El campo de desplazamientos resultante se puede escribir como

(4.25)

El vector de movimientos locales es

(4.26)

El campo de deformaciones (local) se puede deducir de las Ecs.(4.1) y (4.24) como

(4.27)

Las Ecs.(4.25) y (4.27) muestran la superposición de los movimientos y las deformaciones debidos a los efectos axil, flector y torsor.

Como se supone que el giro torsor varía linealmente a lo largo del eje elástico , entonces , y el ángulo de torsión no contribuye a la deformación axil . Este no ocurre así en vigas con secciones de pared delgada abierta (Apartado 4.10).

La Ec.(4.27) se puede reescribir como

(4.28.a)

donde es el vector de deformaciones generalizadas locales dado por

(4.28.b)

y es la matriz de transformación de deformaciones

(4.29)

Recordemos que si el centro de esfuerzos cortantes y el eje neutro coinciden entonces .

4.3.2 Tensiones, esfuerzos y matriz constitutiva generalizada

El vector de esfuerzos se define como

(4.30)

donde es el esfuerzo axil, y son los esfuerzos cortantes según los ejes y , respectivamente, y son los momentos flectores alrededor de y , respectivamente y es el torsor alrededor del eje (Figura 4.9).

La Ec.(4.30) se puede reescribir como

(4.31)

Nótese que

(4.32)

Recuérdese que en un estado de flexión, los esfuerzos cortantes y no son nulos mientras que . Por el contrario, en un estado de torsión pura , mientras que no es nulo (Ecs.(4.20) y (4.21)).

4.3.3 Matriz constitutiva generalizada

El desacoplamiento entre los efectos de flexión y torsión implica que los esfuerzos cortantes y se calculan a partir de las tensiones tangenciales inducidas por la flexión únicamente, mientras que el torsor se calcula a partir de las tensiones tangenciales debidas a la torsión. Teniendo esto en cuenta, la relación entre esfuerzos y las deformaciones generalizadas se puede obtener a partir de la Ec.(4.30), usando las Ecs.(4.1) y (4.27), como

(4.33)

donde

(4.34)

Sustituyendo en (4.33) la expresión de de la Ec.(4.27) y recordando que son los ejes principales de inercia se obtiene

(4.35)

La matriz constitutiva generalizada tiene la siguiente forma diagonal

(4.36.a)

donde y denotan las contribuciones axil, de flexión y de torsión en la matriz con

(4.36.b)

donde y son los coeficientes de corrección del cortante que tienen en cuenta una distribución no uniforme de las tensiones tangenciales. Estos coeficientes se pueden calcular como se describe en el Apartado 3.8 y en el Apéndice D

La forma diagonal de en la Ec.(4.36.a) se obtiene sólo si es el eje neutro e y son ejes principales de inercia. De lo contrario, es una matriz llena (Ejemplo 1).

Las integrales de la Ec.(4.36.b) para vigas de material compuesto se llevan a cabo teniendo en cuenta la distribución de las propiedades del material sobre la sección. Para una viga de material heterogéneo (que satisfaga la Ec.(4.1)) es conveniente dividir la sección en celdas, cada una con propiedades del material diferentes. La integración se lleva a cabo evaluando las integrales de la Ec.(4.36.b) para cada celda y efectuando tras ello la suma correspondiente.

Para vigas de material compuesto laminado con una orientación del material como la mostrada en la Figura 3.3, los parámetros constitutivos generalizados axiles, flectores y de cortante se pueden calcular a partir de las Ecs.(3.12) como

(4.37)

donde y son el espesor y el ancho de la capa , es el número de capas y denota valores para la capa .

El cálculo de la rigidez torsional depende de la función de alabeo . Esta función se puede obtener como se explica en el Apartado 4.3.4.

La Tabla 4.1 muestra el valor promedio de para dos secciones de material compuesto laminado obtenido resolviendo las Ecs.(4.45) para obtener la función de alabeo y luego calculando por la Ec.(4.35b). Para ambos cálculos se utilizó el MEF con mallas de triángulos de tres nodos para discretizar la sección [DB5,Bo].

Tabla4_1


Tabla. 4.1 Rigidez torsional para dos vigas laminadas. Los resultados muestran el valor promedio de en la sección obtenido resolviendo las Ecs.(4.36b) y (4.45) con el MEF usando diferentes mallas de triángulos de tres nodos [DB5,Bo]
Material 1 Material 2
Piel Aluminio Aluminio
G=23664 MPa G=23664 MPa
Espuma de poliestireno Araldita
G=7.7 MPa G=1362 MPa


Nº de triángulos de tres nodos por capa 8 32 72 128
Nº de nodos 15 45 91 153
Material 1 ~  N/m 7.23 7.55 7.61 7.62
Material 2  ~  N/m  28.05    26.30    26.00   25.86  

Las expresiones (4.37) se simplifican para material homogéneo a

(4.38.a)

donde y son los momentos principales de inercia, y dependen de la geometría de la sección ( para sección rectangular) y es la inercia torsional dada por

(4.38.b)

donde , .

La Figura 4.11 muestra los valores de para algunas secciones homogéneas [BD5,PCh,Yo].

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Figura 4.11: Inercia torsional y tensión tangencial máxima para algunas secciones homogéneas. El punto muestra la posición de

Las tres tensiones y deformaciones locales en un punto de una sección se pueden calcular a partir de los esfuerzos. Teniendo en cuenta el desacoplamiento entre las tensiones de flexión y torsión, deducimos de las Ecs.(4.28a), (4.35) y (4.1)

(4.39.a)

donde

(4.39.b)

para las tensiones y deformaciones inducidas por los efectos axil y flector, y

(4.39.c)

para las tensiones y deformaciones de cortante inducidas por la torsión libre.

El cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión presenta algunas características particulares, ya que requiere el conocimiento de la función de alabeo. Este tema se trata en los próximos apartados para el caso general y para secciones cerradas de pared delgada. Las secciones abiertas de pared delgada se tratan en el Apartado 4.10.


Ejemplo 4.1:

Obtener la matriz constitutiva generalizada para una posición arbitraria del eje de la viga.

Supongamos que el eje no coincide con el eje neutro y que no son ejes principales de inercia. Sustituyendo las expresión de la tensión axil (Ec.(4.27)) en la integral para el vector de esfuerzos (Ec.(4.33)) da

donde se define en la Ec.(4.34). Con un poco de álgebra se obtiene

con dado por la Ec.(4.28b).

Vemos que es ahora una matriz llena (simétrica). Esto implica que los efectos axiles y flectores están acoplados; es decir, que una fuerza axial induce efectos de flexión y viceversa. Los términos de fuera de la diagonal en desaparecen si es el eje neutro y son los ejes principales de inercia (Apartado 4.2.3).

En la práctica, se puede emplear tanto la forma llena de o la diagonal dada en la Ec.(4.36a) obteniéndose resultados idénticos. La más sencilla forma diagonal requiere del cálculo “a priori” de la posición del eje neutro y los ejes principales de inercia.

Estas consideraciones no afectan al valor de la rigidez torsional .

4.3.4 Cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión y de la función de alabeo

Las tensiones tangenciales debidas a la torsión libre de Saint-Venant se expresan en función de los desplazamientos como (ver Ecs.(4.1) y (4.27))

(4.40)

La ecuación de equilibrio en la dirección (teniendo en cuenta que es cero bajo torsión pura) es (Apéndice B)

(4.41)

donde es la sección de la viga. Sustituyendo las Ecs.(4.40) en (4.41) da

(4.42)

La Ec.(4.42) es una ecuación de Laplace que debe satisfacer la siguiente condición en la frontera de la sección transversal [ZTZ]

(4.43)

Teniendo en cuenta que y y usando las Ecs.(4.40) tenemos

(4.44)

Las Ecs.(4.42) y (4.44) se simplifican para material homogéneo a

(4.45.a)
(4.45.b)

La solución de estas ecuaciones diferenciales proporciona la distribución de para secciones de forma geométrica sencilla y material homogéneo. Para el caso general, las Ecs.(4.45) se resuelven típicamente empleando el MEF o el método de diferencias finitas [BD4,Bo,OR,PCh,Yo,ZTZ].

Las Ecs.(4.45) proporcionan una distribución de sobre la sección que no es única, ya que su solución no se ve afectada por añadir una constante a . Esto no es un problema ya que las tensiones tangenciales dependen de las derivadas de (Ec.(4.40)) y, por consiguiente, los resultados no están influenciados por el valor de dicha constante.

Una vez se ha encontrado la distribución de sobre la sección, se puede calcular la rigidez torsional mediante la Ec.(4.36b). Esto se suele hacer normalmente con la misma malla de elementos finitos, o de diferencias finitas, utilizada para resolver las Ecs.(4.45) [BD4,Bo]. La Tabla 4.1 muestra un ejemplo de este procedimiento para calcular en dos vigas de material compuesto laminado empleando el MEF.

La Figura 4.11 muestra la posición de la tensión tangencial máxima en algunas secciones homogéneas [BD5,PCh,Yo].

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Figura 4.12: Tubo de pared delgada de forma arbitraria

4.3.5 Secciones de pared delgada cerradas

Dada la geometría de las secciones de pared delgada cerradas es conveniente separar las tensiones tangenciales en sus componentes normal y tangencial a la línea media de la pared y , denominadas en adelante y por simplicidad (Figura 4.12). Es también usual suponer que la tensión tangencial normal es nula en todo el espesor de la pared, ya que las caras externas de la viga no tienen tensiones y el espesor de la pared es pequeño. El flujo de las tensiones tangenciales (en adelante flujo de cortante) se define como

(4.46)

De la ecuación de equilibrio local para un elemento diferencial de la viga de pared delgada (Ec.(4.41)) deducimos (suponiendo ) [BC]

(4.47)

Esta distribución de flujo de cortante constante genera un torsor alrededor del punto O sobre el eje neutro (coincidente con el centro de esfuerzos cortantes ) dado por

(4.48)

donde es el área encerrada por la linea central de la pared con perímetro . De las Ecs.(4.46) y (4.48) la tensión tangencial resultante del torsor se encuentra como

(4.49)

Esta ecuación se completa con la variación del giro torsor a la largo de la viga (Ec.(4.24))

(4.50)

La rigidez torsional se puede obtener igualando el trabajo virtual externo complementario [ZTZ,BC] realizado por la tensión tangencial y usando la Ec.(4.49), es decir

(4.51)

De la Ec.(4.51) encontramos, después de simplificar y tener en cuenta que es constante a lo largo de ,

(4.52)

Para una sección cerrada arbitraria de espesor de pared constante

(4.53)

La Ec.(4.53) muestra que la sección de rigidez torsional máxima es el tubo circular de pared delgada. La tensión tangencial se deduce de la Ec.(4.49) como

(4.54)

donde es el radio medio del tubo.

4.3.6 Torsión de secciones multicelulares

En secciones multicelulares, por razones de equilibrio se requiere que el flujo de cortante sea constante en cada pared. Además, en cada nudo de conexión, la suma de flujos que concurren en él debe ser cero [AMR,BC,OR].

Estos requerimientos de continuidad se satisfacen automáticamente si los flujos de cortante se suponen constantes en cada celda. Para la sección de cuatro celdas de la Figura 4.13 los flujos de cortante que circulan alrededor de cada celda se denominan y , y se indica su sentido positivo [BC]. La Figura 4.13 también ilustra los flujos de cortante que concurren en el nudo . La condición de continuidad en el nudo se satisface porque .

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Figura 4.13: Flujos de cortante en una sección multicelular de pared delgada [BC]

La solución del problema requiere el cálculo de los flujos de cortante constantes, uno alrededor de cada celda. El torsor total de la sección es la suma de los torsores de las celdas individuales, , donde indica el número de celda, es decir

(4.55)

donde es el número de celdas y el área encerrada por la celda de perímetro . Esta ecuación por si sola no permite la determinación de los flujos de cortante de las celdas.

Se pueden encontrar ecuaciones adicionales expresando las condiciones de compatibilidad que requieren que la tasa de torsión de las distintas celdas sea idéntica. En respuesta al flujo de cortante que actúa dentro de una celda, se desarrolla en la celda una tasa de torsión . La compatibilidad de las deformaciones de todas las celdas proporciona ecuaciones adicionales

(4.56)

La relación entre la tasa de torsión y el torsor de cada celda se deduce de la Ec.(4.51) como

(4.57)

Las Ecs.(4.56) y (4.57) proporcionan las ecuaciones necesarias para encontrar los flujos de cortante en las celdas de una sección multicelular sometida a torsión.


Ejemplo 4.2:

Sección transversal de dos celdas.

La sección de pared delgada mostrada en la Figura 4.14 (tomada de [BC]) representa una sección muy idealizada de una estructura de perfil aerodinámico. La parte frontal (curva) se llama borde de ataque, el pilar vertical se llama larguero y la parte trasera borde de salida. La Ec.(4.55) da

(4.58)
Sección de pared delgada de dos celdas sometida a torsión [BC]
Figura 4.14: Sección de pared delgada de dos celdas sometida a torsión [BC]

La condición de compatibilidad requiere tasas de torsión idénticas para las dos celdas. La Ec.(4.57) proporciona la tasa de torsión para la celda frontal como

(4.59)

y la tasa de torsión para la celda del borde de salida es

(4.60)

Igualando las dos tasas de torsión se llega a la segunda ecuación de los flujos de cortante

(4.61)

que se simplifica a .

Este resultado, junto con la Ec.(4.58), se usan para obtener y como

Nótese que el flujo de cortante en la celda frontal, , es sólo un 4% mayor que en el borde de salida, . Por consiguiente, el flujo de cortante en el larguero, , que es un valor muy pequeño.

Como la rigidez torsional de la sección cerrada es proporcional al cuadrado del área encerrada, la mayor contribución a la rigidez torsional es de la sección cerrada exterior, que es la unión de las dos celdas. Así, el mayor flujo de cortante circula por el exterior, dejando el larguero prácticamente sin carga.

La rigidez torsional se calcula como el cociente entre el torsor y la tasa de torsión (Ec.(4.50)). Como las tasas de torsión de las dos celdas son iguales, se puede emplear tanto como . Utilizando, por ejemplo, da

(4.62)


4.3.7 Principio de trabajos virtuales

El PTV se escribe como

(4.63)

donde y son fuerzas distribuidas en el eje de la viga y cargas puntuales, respectivamente, y y son el volumen y la la longitud de la viga.

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Figura 4.15: Fuerzas y momentos actuando en una viga 3D

Las componentes del vector de desplazamientos virtuales y los vectores de fuerzas externas y se expresan en el sistema de coordenadas local como (Figura 4.15)

(4.64)

Nótese que las fuerzas distribuidas y puntuales que actúan a lo largo de los ejes y () así como el torsor () actúan en el eje elástico , mientras que las fuerzas axiales () y los momentos flectores () actúan en el eje neutro (Figura 4.15).

El trabajo virtual interno se puede escribir en función de los esfuerzos y las deformaciones virtuales generalizadas. Empleando notación matricial podemos escribir el primer miembro de la Ec.(4.63) usando las Ecs.(4.28a) y (4.32) como

(4.65)

La primera integral del primer miembro de la ecuación anterior se puede expresar, usando la Ec.(4.31), como

(4.66)

La última integral del segundo miembro de la Ec.(4.65) vale cero como se muestra a continuación. Recordando que es constante e integrando por partes tenemos

(4.67)

La integral de superficie del segundo miembro de la Ec.(4.67) es cero ya que en los contornos de la viga, en ausencia de otras fuerzas de superficie (Apéndice B). Por otra parte, la tensión axil originada por la de torsión es nula, y de las ecuaciones de equilibrio de la elasticidad 3D (Apéndice B) se tiene

(4.68)

y, por tanto, se deduce de la Ec.(4.67) que en un estado de torsión.

Para las tensiones tangenciales originadas por la flexión, de la anterior ecuación de equilibrio se deduce

(4.69.a)

y, por tanto

(4.69.b)

De las Ecs.(4.69) y (4.27) se llega a

(4.70)

Sustituyendo (4.70) en (4.69b) se obtiene

(4.71)

Esta integral se anula si

(4.72)

Estas condiciones se cumplen siempre y pueden demostrarse teniendo en cuenta que el esfuerzo axil y los momentos flectores inducidos por un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes son cero (Apartado 4.2.7). En conclusión, el PTV se puede escribir como

(4.73)

4.4 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS RECTOS. ELEMENTO DE VIGA DE TIMOSHENKO 3D DE DOS NODOS

4.4.1 Definición del eje neutro y la obtención de las matrices del elemento

La línea de referencia de la viga (eje neutro) se discretiza en elementos finitos rectos 1D de continuidad y longitud , como el elemento de viga de dos nodos de la Figura 4.16. Las coordenadas de un punto en la línea de referencia se obtienen por interpolación isoparamétrica [On4]

(4.74)

siendo