4 VIGAS TRIDIMENSIONALES DE MATERIAL COMPUESTO



=4 VIGAS TRIDIMENSIONALES DE MATERIAL COMPUESTO=

==4.1 INTRODUCCIÓN==

<big>Una viga tridimensional (3D), también llamada ''pieza'', es un sólido prismático alargado sometido a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de torsión. Se pueden encontrar estructuras con vigas 3D en edificios y construcciones industriales, arcos, placas rigidizadas, partes estructurales de vehículos de transporte terrestre, fuselajes de aviones y naves espaciales, cascos de barcos, piezas mecánicas, etc. La Figura [[#img-4.1|4.1]] muestra ejemplos esquemáticos de estructuras formadas por piezas rectas.</big>

<div id='img-4.1'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_1.png|600px|Representación esquemática de estructuras de vigas 3D formadas por ensamblaje de piezas rectas sometidas a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de     torsión. Los puntos señalan la unión entre piezas]]
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| colspan="1" | '''Figura 4.1:''' Representación esquemática de estructuras de vigas 3D formadas por ensamblaje de piezas rectas sometidas a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de     torsión. Los puntos señalan la unión entre piezas
|}

En este capítulo estudiaremos el cálculo por el MEF de vigas 3D de ''sección arbitraria y material compuesto''. Muchos de los conceptos son extensiones de los estudiados para vigas planas en los Capítulos 1&#8211;3 y se añaden algunos temas avanzados. En aras de la exhaustividad, se explican los principales conceptos teóricos de la teoría de vigas 3D, aunque de forma concisa. Se recomienda a los lectores que no estén familiarizados con el análisis de vigas 3D, el estudio de libros clásicos de Resistencia de Materiales y Análisis Estructural [Li,OR,SJ,Ti2,3].

En la primera parte del capítulo se aborda el estudio de una viga 3D de material compuesto mediante una extensión de las teorías de vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko estudiadas en los Capítulos 1 y 2. Se describe la formulación de elementos de viga 3D de dos nodos rectos y curvos. Se supone que la relación constitutiva entre las tres tensiones y deformaciones significativas tiene forma diagonal. Esto restringe la aplicabilidad de la formulación a un rango específico (aunque amplio) de materiales compuestos. La torsión libre (torsión de Saint-Venant) se estudia primero. Esta teoría supone que las tensiones y deformaciones inducidas por el alabeo de la sección son nulas. Esta hipótesis es exacta cuando el momento torsor es constante a lo largo de la longitud de la viga y el alabeo no está restringido en ningún punto. La teoría de Saint-Venant es también  una buena aproximación cuando el torsor no es uniforme en vigas de secciones macizas (rectangular, cuadrada, circular, etc.), en secciones formadas por piezas rectangulares delgadas (sección angular, sección en T, etc) y en secciones huecas celulares (tubos, cajones con ancho/largo <math display="inline">\le 4</math>, etc.). Se explica también una particularización del elemento de viga 3D de dos nodos basado en la teoría de Saint-Venant para emparrillados planos.

Para otros tipos de secciones bajo torsión no uniforme, o torsión uniforme restringida, deben tenerse en cuenta las tensiones y deformaciones de alabeo  [MB,OR,Vl]. Se presenta con detalle una teoría de torsión para vigas de pared delgada abierta que exhiben fuertes efectos de alabeo. También se describe brevemente una versión refinada de esta teoría que tiene en cuenta las deformaciones tangenciales inducidas por la torsión.

Al final del capítulo, presentamos un procedimiento para desarrollar elementos de viga 3D mediante una degeneración de elementos de sólido 3D. Esta formulación es aplicable a vigas de material compuesto y es una alternativa a los métodos tradicionales para desarrollar elementos de viga usando teorías ``clásicas'' de vigas. En el Capítulo 10 se aplican los elementos de viga 3D para su uso como rigidizadores de placas.

==4.2 DEFINICIONES BÁSICAS PARA UNA  VIGA 3D DE MATERIAL COMPUESTO ==

===4.2.1 Ejes locales y globales===

Una viga 3D es un sólido prismático de longitud <math display="inline">L</math> y área transversal <math display="inline">A</math>, orientado en la dirección longitudinal <math display="inline">x'</math>, cuyas dimensiones en el plano <math display="inline">y'z'</math>, ortogonal a <math display="inline">x'</math>, son relativamente pequeñas comparadas con la longitud <math display="inline">L</math>. El punto O obtenido por intersección del eje de la viga <math display="inline">x'</math> con la sección transversal ''se supone   situado en el eje neutro''. Por lo tanto, el eje <math display="inline">x'</math> se denomina en adelante ''eje de la viga'' o ''eje neutro'' indistintamente.

La geometría de la viga se define en un sistema de coordenadas global <math display="inline">x,y,z</math> (Figura [[#img-4.2|4.2]]).

En lo que sigue supondremos que el  eje  de  la  viga  es  recto  y  las ''propiedades''  ''de  los  materiales  y  las geométricas  constantes''  a  lo  largo  del eje <math display="inline">x'</math>.

<div id='img-4.2'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_2.png|600px|Viga 3D homogénea. Sistemas de referencia global (x,y,z)     y local (x',y',z'). Ejes neutro y elástico. Desplazamientos y     giros globales]]
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| colspan="1" | '''Figura 4.2:''' Viga 3D homogénea. Sistemas de referencia global (<math>x,y,z</math>)     y local (<math>x',y',z'</math>). Ejes neutro y elástico. Desplazamientos y     giros globales
|}

<div id='img-4.3'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_3.png|570px|Centros de gravedad y de cortante (G y C) y posición del eje     neutro (O) en una sección con material compuesto]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.3:''' Centros de gravedad y de cortante (G y C) y posición del eje     neutro (O) en una sección con material compuesto
|}

La definición del eje <math display="inline">x'</math> de la viga como el eje neutro desacopla los efectos de flexión y axial (Apartado 3.6). Los efectos de flexión y de torsión también están desacoplados cuando las fuerzas externas en las direcciones <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> actúan sobre el ''centro de cortantes'' (denominado también ''centro de esfuerzos cortantes'' o ''centro de   torsión'') <math display="inline">C</math>. La línea recta que conecta los puntos <math display="inline">C</math> de todas las secciones es el ''eje elástico'' <math display="inline">\hat x'</math>. En nuestros desarrollos supondremos que los ejes neutro y elástico son ''paralelos'', aunque no coincidentes (Figura [[#img-4.2|4.2]]).

El punto <math display="inline">O</math> sobre el eje neutro coincide con el centro de gravedad de la sección <math display="inline">G</math> para secciones homogéneas (Figura  [[#img-4.2|4.2]] y Apartado 3.6).

Para secciones macizas homogéneas, secciones de pared delgada cerradas y secciones de pared delgada abiertas con simetría doble, los puntos <math display="inline">O</math>, <math display="inline">G</math> y <math display="inline">C</math> coinciden (Figuras [[#img-4.2|4.2]] y [[#img-4.6|4.6]]).

Para vigas de material compuesto, el centro de gravedad (G), el centro de cortantes (C) y el eje neutro (O) no suelen coincidir (Figura [[#img-4.3|4.3]]).

===4.2.2 Comportamiento constitutivo===

Las tres tensiones locales en una sección (<math display="inline">\sigma _{x'},\tau _{x'y'},\tau _{x'z'}</math>) (Figura [[#img-4.4|4.4]]) se relacionan con las deformaciones conjugadas (<math display="inline">\varepsilon _{x'},\gamma _{x'y'},\gamma _{x'z'}</math>) mediante la ecuación constitutiva

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \sigma }_{x'} = \left\{\begin{matrix}\sigma _{x'}\\ \tau _{x'y'}\\ \tau _{x'z'}\end{matrix}\right\}= {\boldsymbol D}' \left\{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\ \gamma _{x'y'}\\ \gamma _{x'z'}\end{matrix}\right\}= {\boldsymbol D}' {\boldsymbol \varepsilon }' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.1)
|}

<div id='img-4.4'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_4.png|600px|Tensiones en una viga 3D]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.4:''' Tensiones en una viga 3D
|}

La matriz constitutiva <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> de dimensión <math display="inline">3\times 3</math> se deduce de la ecuación constitutiva general de la elasticidad 3D [On4] haciendo cero las deformaciones que se desprecian en la teoría de vigas 3D (es decir, <math display="inline">\varepsilon _{y'} = \varepsilon _{z'}=\gamma _{y'z'}=0</math>). Para un material heterogéneo, <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> es una matriz llena (simétrica). Para las teorías de vigas estudiadas en este capítulo supondremos que el material es ''ortótropo'' con la orientación de uno de los ejes principales del material  coincidente con el eje de la viga. Bajo esta hipótesis, la matriz <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> tiene una simple (y estándar) forma diagonal

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol D}' = \left[\begin{matrix}E&0&0\\ 0&G_{y'}&0\\ 0&0&G_{z'}\end{matrix} \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.2)
|}

donde <math display="inline">E</math> es el módulo de Young longitudinal (<math display="inline">E=E_{x'}</math>) y <math display="inline">G_{y'}</math> y <math display="inline">G_{z'}</math> son los módulos de rigidez transversal (<math display="inline">G_{y'}=G_{x'y'}</math>; <math display="inline">G_{z'}=G_{x'z'}</math>). Para material isótropo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>G_{y'}=G_{z'}=G=\frac{E}{2(1+\nu )} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.3)
|}

Los parámetros del material pueden variar en cada punto de la sección, siempre que la anterior hipótesis se mantenga.

La forma simple de <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> de la Ec.(4.2) nos permitirá hacer uso de conceptos de la teoría clásica de vigas que probablemente sean familiares para muchos lectores.

===Sección de materiales compuesto laminados===

Para una sección de material compuesto laminado (Figura [[#img-4.5|4.5]]a) supondremos que los parámetros constitutivos son constantes dentro de cada capa. Los valores de <math display="inline">E</math>, <math display="inline">G_{y'}</math> y <math display="inline">G_{z'}</math> para la capa se pueden calcular rotando las ecuaciones constitutivas para el material de la capa (supuesto en estado de tensión plana, es decir, <math display="inline">\sigma _n=0</math>) de los ejes laminares (<math display="inline">L,T,n</math>) a los ejes locales de la viga (<math display="inline">x',y',z'</math>), siguiendo un procedimiento similar al explicado en el Apartado 8.3.3. La matriz <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> resultante es una matriz llena que puede  diagonalizarse eliminando en primer lugar <math display="inline">\varepsilon _{y'}</math> y <math display="inline"> \gamma _{y'z'}</math>, que se suponen nulos, e imponiendo después que las relaciones constitutivas de <math display="inline">\sigma _{x'}</math>, <math display="inline">\tau _{x'y'}</math> y <math display="inline">\tau _{y'z'}</math> estén desacopladas.

Un procedimiento alternativo es mantener la expresión completa de la matriz <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> y después simplificar su forma generalizada (<math display="inline">\hat{\boldsymbol    D}'</math>) que relaciona los esfuerzos y las deformaciones generalizadas [Va,VOO].

En nuestros desarrollos aceptaremos que <math display="inline">{\boldsymbol D}'</math> es diagonal, lo cual ocurre invariablemente cuando el ángulo entre el eje longitudinal laminar <math display="inline">L</math> y el eje <math display="inline">x'</math> es <math display="inline">0^\circ </math> o <math display="inline">90^\circ </math> (Figura [[#img-4.5|4.5]]a). A pesar de esta simplificación, este modelo es aplicable a un gran número de vigas de material compuesto laminado.

<div id='img-4.5'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_5.png|600px|(a) Ejes laminares (L,T,n) en una sección de material     compuesto laminado. (b) Ejes principales de inercia (y',z') de   una sección]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.5:''' (a) Ejes laminares (<math>L,T,n</math>) en una sección de material     compuesto laminado. (b) Ejes principales de inercia (<math>y',z'</math>) de   una sección
|}

Bajo las hipótesis anteriores es útil definir <math display="inline">x'</math> como el eje neutro, e <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> como los ejes principales de inercia de la sección.

===4.2.3 Parámetros constitutivos resultantes y eje neutro===

Elijamos un sistema de coordenadas ortogonal arbitrario <math display="inline">\bar x, \bar  y,\bar z</math> vinculado al centro de gravedad <math display="inline">G</math>, con <math display="inline">\bar x</math> paralelo a <math display="inline">x'</math>. Una simple traslación de este sistema al eje neutro O (cuya posición es aún desconocida) da el sistema <math display="inline">x', \bar y',\bar z'</math> vinculado al punto O (Figura [[#img-4.5|4.5]]b). Los parámetros constitutivos resultantes (generalizados) axiales y flectores se definen como

<span id="eq-4.5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat D_{a} = \iint _A E\,dA \quad ,\quad \hat D_{b_{\bar y'\bar z'}} = \iint _A E \bar y'\bar z'dA</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> \hat D_{b_{\bar y'}} = \iint _A E \bar {z'}^2 \,dA \quad ,\quad \hat D_{b_{\bar z'}} = \iint _A E \bar {y'}^2 \,dA </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.4)
|-
| style="text-align: center;" | <math> \hat D_{ab_{\bar y'}} = \iint _A E \bar z'\,dA \quad ,\quad  \hat D_{ab_{\bar  z'}} = \iint _A E \bar y'\,dA </math>
|-
| style="text-align: center;" | 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.5)
|}
|}

Para vigas 3D de materiales compuestos e isótropos, el eje local <math display="inline">x'</math> del sistema <math display="inline">x', \bar y',\bar z'</math> se define como el eje ''neutro'' si

<span id="eq-4.6.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat D_{ab_{\bar y'}} = \iint _A E(\bar y',\bar z') \bar z'\,dA =0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.6.a)
|}

<span id="eq-4.6.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat D_{ab_{\bar z'}} = \iint _A E(\bar y',\bar z') \bar y'\,dA =0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.6.b)
|}

El eje neutro en el sistema de coordenadas <math display="inline">x',\bar y',\bar z'</math> satisface

<span id="eq-4.7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \iint _A E\bar z'\,dA =\iint _A E (\bar z - \bar z_0) \,dA=0\\[.4cm] \displaystyle  \iint _A E\bar y'\,dA =\iint _A E (\bar y - \bar y_0)\, dA=0 \end{array}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.7)
|}

Las Ecs.([[#eq-4.7|4.7]]) dan la posición del punto neutro <math display="inline">O(\bar y_0, \bar  z_0)</math> en el sistema <math display="inline">x', \bar y,\bar z</math> como (Figura [[#img-4.5|4.5]]b)

<span id="eq-4.8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar z_0 = \displaystyle \frac{\displaystyle \iint _A E \bar z dA}{\displaystyle \iint _A  E \,dA}= \frac{\hat D_{ab_{\bar y}}}{\hat D_a} \quad , \quad  \bar y_0 = \displaystyle \frac{\displaystyle \iint _A E \bar y dA}{\displaystyle \iint _A E \,dA} =\frac{\hat D_{ab_{\bar z}}}{\hat D_a}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.8)
|}

La posición del eje neutro no cambia si el sistema local <math display="inline">x', \bar  y',\bar z'</math> se gira alrededor de <math display="inline">x'</math> para dar el sistema de coordenadas local final <math display="inline">x', y', z'</math> donde <math display="inline">y' ,z'</math> son los ejes principales de inercia.

===4.2.4 Ejes principales de inercia===

Los ejes principales de inercia <math display="inline">y', z'</math> que definen el sistema de coordenadas local <math display="inline">x',y' ,z'</math> (en el punto sobre el eje neutro O) se obtienen en función de los parámetros constitutivos  en el sistema <math display="inline">x', \bar  y',\bar z'</math> como sigue.

Las coordenadas <math display="inline">y', z'</math> de un punto arbitrario de la sección se expresan en función de las coordenadas <math display="inline">\bar y', \bar z'</math>, es decir

<span id="eq-4.9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}y' =C \bar y' + S \bar z'\\ z'=-S\bar y' + C \bar z' \qquad \hbox{with } C =\cos \alpha \, ,  S =\operatorname{sen} \alpha  \end{array}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.9)
|}

donde <math display="inline">\alpha </math> es el ángulo entre el eje principal <math display="inline">y'</math> y el <math display="inline">\bar  y'</math> (Figura [[#img-4.5|4.5]]b). Usando las Ecs.(4.4) obtenemos

<span id="eq-4.10"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat D_{b_{y'z'}}= \iint _A E y'z' dA= CS (\hat D_{b_{\bar y'}}-\hat  D_{b_{\bar z'}})+ (C^2-S^2) \hat D_{b_{\bar y'\bar z'}}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.10)
|}

''Los ejes <math>y'</math> y <math>z'</math> son ejes principales de inercia si <math>\hat    D_{b_{y'z'}}= 0</math>'', es decir, si

<span id="eq-4.11"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tan 2\alpha =  \frac{-2\hat  D_{b_{\bar y'\bar z'}}}{\hat D_{b_{\bar y'}}-\hat D_{b_{\bar z'}}}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.11)
|}

<span id="eq-4.12"></span>

Los parámetros constitutivos de flexión principales <math display="inline">\hat D_{b_{z'}}</math> y <math display="inline">\hat D_{b_{y'}}</math> se obtienen en función de los parámetros constitutivos en el sistema de coordenadas <math display="inline">x', \bar y',\bar z'</math> como

<span id="eq-4.12.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \hat D_{b_{z'}}= \iint {_A E  y'}^2 \,dA =C^2 \hat D_{b_{\bar z'}} + 2CS \hat D_{b_{\bar y'\bar z'}} + S^2 \hat D_{b_{\bar y'}}\\[.4cm] \displaystyle \hat D_{b_{y'}}= \iint {_A E  z'}^2 \,dA =S^2 \hat D_{b_{\bar z'}} - 2 CS \hat D_{b_{\bar y'\bar z'}} + C^2 \hat D_{b_{\bar y'}} \end{array}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.12.a)
|}

Usando la Ec.(4.10) se obtiene

<span id="eq-4.12.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>(\hat D_{b_{y'}},\hat D_{b_{ z'}})=\frac{1}{2} (\hat D_{b_{\bar y'}}+\hat D_{b_{\bar z'}})\pm  \frac{1}{2} \left[\left(\hat D_{b_{\bar y'}}-\hat D_{b_{\bar z'}} \right)^2 + 4 \hat D^2_{b_{\bar y'\bar z'}}\right]^{1/2}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.12.b)
|}

===4.2.5 Resumen de los pasos para definir el sistema de   coordenadas local===

Los pasos para definir el sistema de coordenadas local <math display="inline">x', y', z'</math>, vinculado al punto O sobre el eje neutro  (Figura [[#img-4.5|4.5]]b), para una viga 3D son:

<ol>

<li>Encontrar el centro de gravedad <math display="inline">G</math> de la sección y definir el   sistema ortogonal <math display="inline">\bar x ,\bar y , \bar z</math> vinculado al punto G,   en el que <math display="inline">\bar x</math> es paralelo a <math display="inline">x'</math>. </li>

<li>Encontrar la posición <math display="inline">\bar y_0, \bar z_0</math> del punto  O sobre el eje neutro   que define los sistemas <math display="inline">x', \bar y', \bar z'</math> vinculados a dicho punto   (Ecs.(4.7)). Calcular los parámetros constitutivos <math display="inline">\hat D_a</math>, <math display="inline">\hat    D_{b_{\bar y'}}</math>, <math display="inline">\hat D_{b_{\bar z'}}</math> y <math display="inline">\hat D_{b_{\bar y'\bar        z'}}</math> mediante las Ecs.(4.4). </li>

<li>Calcular el ángulo <math display="inline">\alpha </math> que define la posición del sistema   de coordenadas local <math display="inline">x' ,y', z'</math> vinculado al punto O (Ec.([[#eq-4.11|4.11]])). </li>

<li>Calcular los parámetros de flexión en los ejes principales de   inercia <math display="inline">\hat D_{b_{y'}}</math>, <math display="inline">\hat D_{b_{ z'}}</math> mediante las Ecs.([[#eq-4.12|4.12]]). </li>

</ol>

Para ''material homogéneo'' el eje neutro coincide con el centro de gravedad y

<span id="eq-4.13"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar z_0=\frac{1}{A}\iint _A \bar z \,dA\quad , \quad  \bar y_0=\frac{1}{A}\iint _A \bar y \,dA  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.13)
|}

Las direcciones principales de inercia <math display="inline">y',z'</math> se definen en este caso por

<span id="eq-4.14"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tan 2\alpha = - \frac{2I_{\bar y'\bar z'}}{I_{\bar y'} -I_{\bar z'}}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.14)
|}

y los momentos principales de inercia son

<span id="eq-4.15.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>(I_{y'},I_{z'}) = \frac{1}{2}(I_{\bar y'}+I_{\bar z'})\pm \frac{1}{2} \left[(I_{\bar y'} -I_{\bar z'})^2 + 4 I_{\bar y'\bar z'} \right]^{1/2}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.15.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>(I_{\bar y'},I_{\bar z'},I_{\bar y'\bar z'})= \iint _A (\bar {z'}^2,\bar {y'}^2,\bar y'\bar z')dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.15.b)
|}

Si <math display="inline">\bar y'</math> o <math display="inline">\bar z'</math> son ejes de simetría, entonces <math display="inline">I_{\bar    y'\bar z'}=0</math> y <math display="inline">I_{y'}=I_{\bar y'}</math>, <math display="inline">I_{z'} =I_{\bar z'}</math>.

===4.2.6 Cálculo del centro de esfuerzos cortantes===

Sea <math display="inline">x'</math> el eje neutro y <math display="inline">y',z'</math> los ejes principales de inercia de una sección. El campo de tensiones está definido por las tensiones <math display="inline">\sigma _{x'}</math>, <math display="inline">\tau _{x'y'}</math> y <math display="inline">\tau _{x'z'}</math> (Figura [[#img-4.4|4.4]]). Las tensiones tangenciales <math display="inline">\tau _{x'y'}</math> y <math display="inline">\tau _{x'z'}</math> definen los esfuerzos cortantes <math display="inline">Q_{y'}</math> y <math display="inline">Q _{z'}</math> y el momento torsor <math display="inline">M_{x'}</math> (denominado “el torsor” por brevedad)

<span id="eq-4.16"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Q_{y'} =\! \iint _A \tau _{x'y'}\,dA ~~ ,~~Q_{z'} = \!\iint _A \tau _{x'z'}\,dA ~~ ,~~ M_{x'} = \!\iint _A  (\tau _{x'z'} y' - \tau _{x'y'} z') \,dA  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.16)
|}

El torsor con respecto al eje elástico <math display="inline">\hat x'</math> que pasa por el punto <math display="inline">C</math> de coordenadas <math display="inline">{y'}_c,z'_c</math> es

<span id="eq-4.17"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>M_{\hat x'}= \! \iint _A \left[\tau _{x'z'}{ (y'-y'}_c)- \tau _{x'y'}{   (z'-z'}_c)\right]dA = M_{x'}{-y'}_c Q_{z'}{+z'}_c Q_{y'}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.17)
|}

El punto <math display="inline">C</math> es el centro de esfuerzos cortantes ''si los esfuerzos debidos a los efectos de flexión'' satisfacen

<span id="eq-4.18"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>M_{\hat x'}=M_{x'}{-y'}_c Q_{z'}{+z'}_c Q_{y'}=0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.18)
|}

<span id="eq-4.19"></span>

lo que da

<span id="eq-4.19.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle {y'}_c = {M_{x'}\over Q_{z'}} \qquad  \hbox{ para } Q_{y'}=0 \quad \hbox{ y } Q_{z'} \not = 0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.19.a)
|}

<span id="eq-4.19.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle {z'}_c = -{M_{x'}\over Q_{y'}} \qquad  \hbox{ para } Q_{z'}=0 \quad \hbox{ y } Q_{y'} \not = 0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.19.b)
|}

El procedimiento para calcular <math display="inline">{y'}_c</math> en una viga de material compuesto es el siguiente:

* Calcular la distribución de <math display="inline">\tau _{x'y'}</math> y <math display="inline">\tau _{x'z'}</math>   sobre la sección para un esfuerzo cortante <math display="inline">Q_{z'}</math> siguiendo el   procedimiento explicado en el Apéndice D para el caso general, o el   del Apartado 3.7 para flexión cilíndrica.
* Calcular <math display="inline">M_{x'}</math> mediante la Ec.([[#eq-4.16|4.16]]) y después <math display="inline">{y'}_c</math>   mediante la Ec.([[#eq-4.19.a|4.19.a]]).<p>     Se repiten los mismos pasos para calcular <math display="inline">{z'}_c</math> empleando el     cortante <math display="inline">Q_{y'}</math>. Claramente, el método también es aplicable a     vigas homogéneas. 

</p>

La Figura [[#img-4.6|4.6]] muestra la posición del centro de gravedad O y del centro de esfuerzos cortantes C para algunas secciones. Para otras secciones ver [PCh,Yo].

<div id='img-4.6'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_6.png|600px|Posición del centro de gravedad (G), el centro de esfuerzos cortantes      (C) y el eje neutro (O) de algunas secciones homogéneas]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.6:''' Posición del centro de gravedad (G), el centro de esfuerzos cortantes      (C) y el eje neutro (O) de algunas secciones homogéneas
|}

Por conveniencia, se define un nuevo sistema de referencia local <math display="inline">\hat x',\hat y',\hat z'</math> en el centro de esfuerzos cortantes C tal que <math display="inline">\hat   x',\hat y'</math> y <math display="inline">\hat z'</math> son paralelos a <math display="inline">x',y'</math> y <math display="inline">z'</math>,  respectivamente (Figura 4.7).

===4.2.7 Propiedades del centro de esfuerzos cortantes===

Las propiedades del centro de esfuerzos cortantes son las siguientes:

* Las fuerzas externas <math display="inline">F_{\hat y'}</math> y <math display="inline">F_{\hat z'}</math> aplicadas   en el centro de esfuerzos cortantes no producen un giro de la sección. Esto   quiere decir que las tensiones tangenciales <math display="inline">\tau _{x'y'}</math> y <math display="inline">\tau _{x'z'}</math> debidas a <math display="inline">F_{y'}</math> y <math display="inline">F_{z'}</math> se asocian a una flexión   únicamente.

* Las fuerzas externas <math display="inline">F_{y'}</math> y <math display="inline">F_{z'}</math> aplicadas en un   punto arbitrario <math display="inline">D</math> se equilibran por tensiones tangenciales debidas   a los esfuerzos cortantes <math display="inline">Q_{z'}= F_{\hat z'}</math> y <math display="inline">Q_{y'}=F_{\hat y'}</math> y a un   torsor <math display="inline">M_ {\hat x'}= F_{z'}{(y'}_D -c'_c)-F_{y'}{(z'}_z'_c'_c)</math>.

* Por lo anterior, cualquier carga contenida en el plano <math display="inline">y'z'</math> se   puede reducir a dos cargas (<math display="inline">F_{\hat y'}</math>, <math display="inline">F_{\hat z'}</math>) actuando   en el centro de esfuerzos cortantes y un torsor <math display="inline">M_{\hat x'}</math> alrededor del eje   elástico <math display="inline">\hat x'</math>. Las dos fuerzas originan desplazamientos en los   ejes <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> y los correspondientes estados de flexión (en los   planos <math display="inline">x'y'</math> y <math display="inline">x'z'</math>, respectivamente), mientras que el torsor   induce un giro de la sección (<math display="inline">\theta _{\hat x'}</math>) alrededor del eje   elástico (Figura [[#img-4.7|4.7]]).

<div id='img-4.7'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_7.png|600px|Fuerzas externas F<sub>x'</sub>, F<sub>z'</sub> y torsor M<sub>̂x'</sub>      actuando en el centro de esfuerzos cortantes C]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.7:''' Fuerzas externas <math>F_{x'}</math>, <math>F_{z'}</math> y torsor <math>M_{\hat x'}</math>      actuando en el centro de esfuerzos cortantes C
|}

* La tensiones tangenciales debidas a la flexión en el plano <math display="inline">x'y'</math> satisfacen

<span id="eq-4.20.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

Q_{y'}=\!\!\iint _A \tau _{x'y'}\,dA \not = 0\quad ,\quad Q_{z'} =0 \quad  ,\quad M_{\hat x'}=0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.20.a)
|}

las debidas a la flexión en el plano <math display="inline">x'z'</math> (<math display="inline">\tau _{x'z'}</math>) satisfacen

<span id="eq-4.20.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

Q_{z'}=\!\!\iint _A \tau _{x'z'}\,dA \not = 0\quad ,\quad Q_{y'} =0 \quad  ,\quad M_{\hat x'}=0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.20.b)
|}

y las debidas al torsor <math display="inline">M_{\hat x'}</math> (<math display="inline">\tau _{x'y'}</math>, <math display="inline">\tau _{x'z'}</math>) satisfacen

<span id="eq-4.21"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

Q_{y'}=Q_{z'} =0 \quad ,\quad M_{\hat x'} = \!\!\iint _A [\tau _{x'z'}{(y'-y'}_c)-\tau _{x'y'}{(z'-z'}_c)]\,dA \not =0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.21)
|}

* Para torsión uniforme no coaccionada, un torsor actuando en   el centro de esfuerzos cortantes induce únicamente tensiones tangenciales en la   sección. Para un torsor no uniforme o una torsión uniforme   coaccionada, se inducen también tensiones axiales de   alabeo. En todos los casos, el esfuerzo axil y los momentos   flectores inducidos por un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes   son cero (Apéndice F).

* El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza cuando la sección está   sometida a un torsor actuando en el punto neutro O. Esta propiedad   se deduce del teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti (Figura   [[#img-4.8|4.8]]), es decir

<span id="eq-4.22"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

F_{\hat z'} w_c^{'M} = M_{x'} \theta ^F_{x'}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.22)
|}

Si <math display="inline">F_{\hat z'}</math> pasa por <math display="inline">C</math> entonces el giro <math display="inline">\theta ^F_{z'}</math> debido a la fuerza <math display="inline">F_{\hat z'}</math> es cero. Por consiguiente, el desplazamiento vertical del centro de esfuerzos cortantes <math display="inline"> w_c^{'M}</math> debido a <math display="inline">M_{x'}</math> es también cero. Lo mismo ocurre para una fuerza <math display="inline">\theta ^F_{y'}</math> actuando en <math display="inline">C</math>. Esto explica porqué el centro de esfuerzos cortantes también se llama en ocasiones ''centro de giro''.

<div id='img-4.8'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_8.png|600px|El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza bajo un torsor M<sub>x'</sub> actuando en el punto O sobre el eje neutro ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.8:''' El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza bajo un torsor <math>M_{x'}</math> actuando en el punto O sobre el eje neutro 
|}

* Si la sección es simétrica respecto a <math display="inline">y'</math>, el punto <math display="inline">C</math> se   ubica sobre ese eje y <math display="inline">M_{\hat x'}= 0</math>. También si <math display="inline">O</math> es un punto   de doble simetría, los puntos <math display="inline">O</math> y <math display="inline">C</math> coinciden. Finalmente si la   sección se define como un ensamblaje de paredes delgadas que   intersectan en un único punto, el centro de esfuerzos cortantes prácticamente   coincide con dicho punto (Figura [[#img-4.6|4.6]]).

* Para material homogéneo la posición de <math display="inline">C</math> es normalmente una   propiedad geométrica de la sección. La posición del centro de   esfuerzos cortantes para distintas secciones homogéneas se puede encontrar en   muchas publicaciones [PCh,Yo].

* Una excepción de la anterior afirmación son las   vigas de pared delgada muy deformables y con sección abierta. En este caso   el centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math> ya no es una propiedad de la sección y   depende de las condiciones de contorno y las fuerzas externas (ya   que las tensiones tangenciales debidas a la torsión no son nulas en   la línea media) [Hy].

* Para una viga de material compuesto laminado la posición del centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math> depende de la geometría y de las propiedades  de cada   capa. El Apéndice I describe un procedimiento para calcular la   posición de C en secciones abiertas de pared delgada y material compuesto laminado.

==4.3 VIGAS  3D DE MATERIAL COMPUESTO  DE SAINT-VENANT==

Estudiamos en primer lugar el cálculo por el MEF de vigas  3D de material compuesto que satisfacen ''la hipótesis de torsión   libre'' de Saint-Venant, es decir, la sección de la viga se puede deformar libremente debido al torsor. Como consecuencia, ''la   tensiones (y las deformaciones) axiles debidas a la torsión (efectos de   alabeo) son cero'', o de poca importancia. Como ya se ha mencionado anteriormente, esta hipótesis la cumplen las ''secciones   macizas, las secciones en T y las secciones cerradas de pared delgada'' (incluyendo las secciones multicelulares). La formulación también es aplicable a secciones abiertas de pared delgada, ''si el torsor es   uniforme y el alabeo no está coaccionado'' a lo largo de la viga. En el Apartado 4.10 se presenta una formulación refinada para secciones abiertas de pared delgada que tiene en cuenta los efectos de alabeo. En todos los casos, se admiten las hipótesis de Timoshenko para la flexión, es decir, la secciones planas permanecen planas pero no necesariamente ortogonales al eje de la viga. Esto introduce efectos de deformación de cortante en los modos de flexión, como se describe en el Capítulo 2 para vigas planas.

En el Apartado [[#4.7 VIGAS 3D DE EULER-BERNOULLI. TEORÍA DE SAINT-VENANT|4.7]] se explica brevemente la formulación de vigas 3D de Saint-Venant  siguiendo las hipótesis de Euler-Bernoulli.

===4.3.1 Campos de desplazamientos y de deformaciones. Teoría de Timoshenko===

Asumiremos que ''el centro de esfuerzos cortantes C y el eje neutro O no   coinciden''. Por consiguiente, existirá un acoplamiento entre los efectos axiles, de flexión/cortante y torsor si las variables cinemáticas se eligen en <math display="inline">O</math> o en <math display="inline">C</math>.

Se puede, sin embargo, conseguir un desacoplamiento de dichos efectos eligiendo las siguientes variables cinemáticas [BD5]:

* el desplazamiento axial <math display="inline">u'</math> en el punto neutro <math display="inline">O</math> (<math display="inline">{u'}_0</math>),
* los desplazamiento <math display="inline">v'</math> y <math display="inline">w'</math> en la dirección de los ejes <math display="inline">\hat y'</math> y <math display="inline">\hat z'</math>, respectivamente, en el centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math> (<math display="inline">{v'}_c,w'_c</math>),
* el giro de torsión <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math>, y
* los giros <math display="inline">\theta _{y'}</math> y <math display="inline">\theta _{z'}</math> alrededor de los ejes <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> en O (Figura [[#img-4.9|4.9]]).

''Nótese que, al contrario que en capítulos anteriores, hemos   elegido la representación vectorial para los giros'' (Figura [[#img-4.9|4.9]]).

Se destaca también que como el eje elástico es paralelo al eje neutro, los giros torsores <math display="inline">\theta _{x'}</math> y <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math> tienen el mismo valor (Figura [[#img-4.9|4.9]]). En lo que sigue mantendremos el giro <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math> como variable cinemática, por conveniencia.

Las variables cinemáticas en el punto <math display="inline">C</math> se expresan en función de sus valores en el punto <math display="inline">O</math>, antes de su transformación a ejes globales.

<div id='img-4.9'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_9.png|600px|Puntos de muestreo para las variables cinemáticas y los      esfuerzos asociados]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.9:''' Puntos de muestreo para las variables cinemáticas y los      esfuerzos asociados
|}

El campo de desplazamientos sobre la sección de la viga debido a los ''efectos flectores'', según la teoría de Timoshenko (Capítulo 2), se escribe como

<span id="eq-4.23"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{u' = u'} 0 + z' \theta _{y'}- y' \theta _{z'}\qquad ;\qquad { v' = v'}_c\qquad ;\qquad { w'= w'}_c  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.23)
|}

donde los subíndices <math display="inline">0</math> y <math display="inline">c</math> denotan los puntos de muestreo de cada desplazamiento.

El campo de desplazamientos se completa con el movimiento debido a la torsión. En la teoría de Saint-Venant se supone que las secciones de la viga giran libremente alrededor del eje <math display="inline">x'</math> por efecto de un  giro torsor <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math> ''que varía linealmente'' a lo largo de <math display="inline">\hat x'</math> (y también de <math display="inline">x'</math>). Los desplazamientos en las direcciones <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> son <math display="inline">{-(z'-z'}_c)\theta _{\hat x'}</math> y <math display="inline">{(y'-y'}_c)\theta _{\hat x'}</math>, respectivamente, donde <math display="inline">{y'}_c</math> y <math display="inline">{z'}_c</math> son las coordenadas del centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math>.

El desplazamiento axial introducido por el giro torsor es <math display="inline">\omega \phi _\omega </math> donde <math display="inline">\omega </math> es la ''función de   alabeo'' y <math display="inline">\phi _\omega </math> es la tasa de torsión. Se supone también que <math display="inline">\phi _\omega </math> coincide con la variación del giro torsor a lo largo del eje de la viga, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _\omega = \frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.24)
|}

La Figura [[#img-4.10|4.10]] muestra los desplazamientos de torsión libre de Saint-Venant de un punto arbitrario <math display="inline">P</math> de la sección.

<div id='img-4.10'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_10.png|600px|Representación gráfica de los desplazamientos de torsión      libre de Saint-Venant de un punto P en los eje locales x',y,z']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.10:''' Representación gráfica de los desplazamientos de torsión      libre de Saint-Venant de un punto <math>P</math> en los eje locales <math>x',y,z'</math>
|}

La hipótesis (4.24)  equivale a despreciar en el análisis los efectos de las deformaciones de cortante inducidas por la torsión. En el Apartado 4.11 se estudia cómo tener en cuenta esas deformaciones en vigas de sección abierta de pared delgada.

El desplazamiento de torsión se superpone al inducido por los movimientos axial y de flexión. El campo de desplazamientos resultante se puede escribir como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}' = \left\{\begin{matrix}u'\\[.3cm]v'\\[.3cm]w'\end{matrix}\right\}= \underset{\hbox{ axial}}   {\left\{\begin{matrix}{ u'} 0  \\[.3cm]0\\[.3cm]0 \end{matrix}\right\}} + \underset{\hbox{   flexion}}  {\left\{\begin{matrix} z'\theta _{y'}-y'\theta _z'\\[.3cm]{v'}_c\\[.3cm]{w'}_c \end{matrix}\right\}}  + \underset{\hbox{torsion libre}}{\left\{\begin{matrix}       \omega {d \theta _{\hat x'}\over d x'}\\[.3cm]{ -(z'-z'}_c)\theta _{\hat x'} \\[.3cm]{ (y'-y'}_c)\theta _{y'} \end{matrix}\right\}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.25)
|}

El vector de movimientos locales es

<span id="eq-4.26"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}{' = [u'}_0,v'_c,w'_c,\theta _{\hat x'},\theta _{y'},\theta _{z'}]^T  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.26)
|}

El campo de deformaciones (local) se puede deducir de las Ecs.(4.1) y (4.24) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon }' = \left\{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\[.3cm] \gamma _{x' y'}\\[.3cm] \gamma _{x'z'}\end{matrix}\right\}= \underset{\begin{array}{c} \hbox{axial}\end{array}}   {\left\{\begin{matrix} {{ \partial {u'}_0 }\over  \partial  x' } \\[.3cm]0\\[.3cm]0 \end{matrix}\right\}} + \underset{\begin{array}{c} \hbox{   flexion en}\\[-.2cm]\hbox{el plano x'z'}\end{array}}  {\left\{\begin{matrix} z'{{ \partial \theta _ {y'}}\over  \partial   x' } \\[.3cm]0\\[.3cm]{{ \partial {w'}_c}\over  \partial  x' }+ \theta _ {  y' }\end{matrix}\right\}}  +   \underset{\begin{array}{c} \hbox{   flexion en}\\[-.2cm]\hbox{el plano x'y'}\end{array}}{\left\{\begin{matrix} - y' {{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' } \\[.3cm]{{ \partial {v'}_c}\over  \partial  x' }  - \theta _ {  z'}\\[.3cm]0  \end{matrix}\right\}} +  </math>
|}
|}

<span id="eq-4.27"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>+\underset{\begin{array}{c}\hbox{ torsion libre}\end{array}}{\left\{\begin{matrix} 0\\[.3cm]  \left({{\partial \omega }\over \partial y'}{- ( z'-  z'}_c) \right){{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x' }\\[.3cm] \left({{\partial \omega }\over \partial z'}{+ ( y'-  y'}_c) \right){{ \partial \theta _ {  \hat x' } }\over  \partial  x' } \end{matrix}\right\}}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.27)
|}

Las Ecs.(4.25) y ([[#eq-4.27|4.27]]) muestran  la superposición de los movimientos y las deformaciones debidos a los efectos axil, flector y torsor.

Como se supone que el giro torsor <math display="inline">\theta _ { \hat x' }</math> varía linealmente a lo largo del eje elástico <math display="inline">\hat x' </math>, entonces <math display="inline">{ \partial ^2 \theta _{\hat x'} \over    {\partial { x'}^2}}=0</math>, y el ángulo de torsión no contribuye a la deformación axil <math display="inline">\varepsilon _{x'}</math>. ''Este no ocurre así en    vigas con secciones de pared delgada abierta'' (Apartado 4.10).

La Ec.([[#eq-4.27|4.27]]) se puede reescribir como

<span id="eq-4.28.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon }'= {\boldsymbol S}_1 \hat {\boldsymbol \varepsilon }'  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.28.a)
|}

donde <math display="inline">\hat {\boldsymbol \varepsilon }'</math> es el ''vector de deformaciones generalizadas locales'' dado por

<span id="eq-4.28.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle \hat {\boldsymbol \varepsilon }' = \left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } , \left({{ \partial {v'}_c}\over  \partial  x' }  - \theta _ {  z' } \right) ,\left({{ \partial {w'}_c}\over  \partial  x' }  + \theta _ {  y' } \right),{{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' }, {{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' }  , {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x'  } \right]^T  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.28.b)
|}

y <math display="inline">{\boldsymbol S}_1</math> es la matriz de transformación de deformaciones

<span id="eq-4.29"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol S}_1= \left[\begin{matrix}1&0&0&z'&-y' &0\\ 0&1&0&0&0&\left[\displaystyle{{\partial \omega }\over \partial y'}{-(z'-z'}_c)\right]&\\[.4cm] 0&0&1&0&0&\left[\displaystyle{{\partial \omega }\over \partial z'}{+(y'-y'}_c)\right]&\end{matrix}\right]  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.29)
|}

Recordemos que si el centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math> y el eje neutro <math display="inline">O</math> coinciden entonces <math display="inline">{y'}_z'_c=c=0</math>.

===4.3.2 Tensiones, esfuerzos  y matriz constitutiva generalizada===

El vector de esfuerzos  se define como

<span id="eq-4.30"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \sigma }'=\left\{\begin{matrix}N\\ Q_{y'}\\ Q_{z'}\\ M_{y'}\\ M_{z'}\\ M_{\hat x'}\end{matrix}\right\}=\iint _A \left\{\begin{matrix}\sigma _{ x'}\\ \tau _{x'y'}\\ \tau _{x' z'}\\ z'\sigma _{x'}\\ -y'\sigma _{x'}\\ \Big[{(y'-y'}_c)\tau _{x'z'}{-(z'-z'}_c)\tau _{x'y'}\Big]\end{matrix}\right\}dA  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.30)
|}

donde <math display="inline">N</math> es el esfuerzo axil, <math display="inline">Q_{y'}</math> y <math display="inline">Q_{z'}</math> son los esfuerzos cortantes según los ejes <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math>, respectivamente, <math display="inline">M_{y'}</math> y <math display="inline">M_{z'}</math> son los momentos flectores alrededor de <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math>, respectivamente y <math display="inline">M_{\hat x'}</math> es el torsor alrededor del eje <math display="inline">\hat x'</math> (Figura [[#img-4.9|4.9]]).

La Ec.([[#eq-4.30|4.30]]) se puede reescribir como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \sigma }'=\iint _A {\boldsymbol S}_2{\boldsymbol \sigma }' \,dA \quad \hbox{donde}\quad  {\boldsymbol S}_2=\left[ \begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ z'&0&0\\ -y'&0&0\\ 0&{-(z'-z'}_c)&{(y'-y'}_c)\end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.31)
|}

Nótese que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol S}_1={\boldsymbol S}_2^T + \left[ \begin{matrix}0&0&0&0&0&0\\[.15cm] 0&0&0&0&0&\displaystyle \frac{\partial \omega }{\partial y'}\\[.35cm] 0&0&0&0&0 &\displaystyle \frac{\partial \omega }{\partial x'}\end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.32)
|}

Recuérdese que en un estado de flexión, los esfuerzos cortantes <math display="inline">Q_{y'}</math> y <math display="inline">Q_{z'}</math> no son nulos mientras que <math display="inline">M_{\hat x'}=0</math>. Por el contrario, en un estado de torsión pura <math display="inline">Q_{y'} = Q_{z'}=0</math>, mientras que <math display="inline">M_{\hat    x'}</math>  no es nulo (Ecs.(4.20) y (4.21)).

===4.3.3 Matriz constitutiva generalizada===

El desacoplamiento entre los efectos de flexión y torsión implica que los esfuerzos cortantes <math display="inline">Q_{y'}</math> y <math display="inline">Q_{z'}</math> se calculan a partir de las tensiones tangenciales inducidas por la flexión únicamente, mientras que el torsor <math display="inline">M_{\hat x'}</math> se calcula a partir de las tensiones tangenciales debidas a la torsión. Teniendo esto en cuenta, la relación entre esfuerzos  y las deformaciones generalizadas se puede obtener  a partir de la Ec.(4.30), usando las Ecs.(4.1) y (4.27), como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \sigma }'=\left\{\begin{matrix}N\\ Q_{y'}\\ Q_{z'}\\ M_{y'}\\ M_{z'}\\ M_{\hat x'}\end{matrix}\right\}=\iint _A \left\{\begin{matrix}E\varepsilon _{x'}\\[.15cm] G_ {y' }\left({{ \partial {v'}_c}\over  \partial  x' }  - \theta _ {  x' }   \right)\\[.15cm]  G_ {  z' }\left({{ \partial {w'}_c}\over  \partial  z' }  + \theta _ {  y' } \right)\\[.15cm]  z' E \varepsilon _{x'}\\[.15cm]  - y' E \varepsilon _{x'}\\[.15cm]  D_t  \end{matrix} \right\}dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.33)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>D_t = \left[G_ {  z' }\left({{ \partial w}\over  \partial  z' }{ +y'-y'}_c \right){(y'-y'}_ )- G_ {y' }\left({{ \partial w}\over  \partial  y' }{ -z'+z'}_c\right){(z'-z'}_c)  \right]{\partial \theta _ {\hat  x' } \over \partial x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.34)
|}

Sustituyendo en (4.33) la expresión de <math display="inline">\varepsilon _{x'}</math> de la Ec.(4.27) y recordando que <math display="inline">y',z'</math> son los ejes principales de inercia se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \sigma }'=\hat {\boldsymbol  D}'\hat {\boldsymbol \varepsilon }' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.35)
|}

La matriz constitutiva generalizada <math display="inline">\hat{\boldsymbol D}'</math> tiene la siguiente forma diagonal

<span id="eq-4.36.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol D}'= \left[\begin{matrix}\hat D_a& \vdots &0&0&0& 0&\vdots & 0\\[-.15cm] \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\[-.15cm] 0& \vdots &\hat D_{s_{y'}} &0&0&0&\vdots &0\\ 0& \vdots &0&\hat D_{s_{z'}} &0&0&\vdots &0\\ 0& \vdots &0&0&\hat D _ {b_{y'} }&0&\vdots &0\\ 0& \vdots &0&0&0&\hat D _ { b_{z'} }&\vdots &0\\[-.15cm] \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\[-.15cm] 0& \vdots &0&0&0&0&\vdots &\hat D_t\\ \end{matrix} \right]= \begin{bmatrix}\hat {D}_a & \mathbf{0} &{0}\\                          \mathbf{0} & \hat {\boldsymbol D'}_f & \mathbf{0} \\                         {0} & \mathbf{0} &\hat D_t \\                        \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.36.a)
|}

donde <math display="inline">\hat {D}_a, \hat {\boldsymbol D'}_f</math> y <math display="inline">\hat D_t</math> denotan las contribuciones axil, de flexión y de torsión en la matriz <math display="inline">\hat {\boldsymbol    D}'</math> con

<span id="eq-4.36.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \hat D_a=\!\iint _A E\,dA\,\, ;\quad \hat D_{s_{y'}}=k_{y'}\iint _A G_{y'} dA\,\,;\quad  \hat D_{s_{z'}}=k_{z'}\iint _A G_{z'} dA\\[.3cm] \displaystyle \hat D_{b_{y'} } =\!\iint {_A Ez'}^{2}\,dA \,\,;\quad \hat D_{b_{z'} }=\!\iint {_A Ey'}^{2}\,dA\\[.3cm] \displaystyle \hat D_t = \!\iint _A \left[G_{z'}\left({{\partial \omega }\over \partial  z'}{+y'-y'}_c\right){(y'-y'}_c)-G_{y'}\left({{\partial \omega }\over \partial  y'}{-z'+z'}_c\right){(z'-z'}_c)\right]dA \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.36.b)
|}

donde <math display="inline">k_{y'}</math> y <math display="inline">k_{z'}</math> son los coeficientes de corrección del cortante que tienen en cuenta una distribución no uniforme de las tensiones tangenciales. Estos coeficientes se pueden calcular como se describe en el Apartado 3.8 y en el Apéndice D

La forma diagonal de <math>\hat {\boldsymbol D}'</math> en la Ec.([[#eq-4.36.a|4.36.a]])   se obtiene sólo si <math>x'</math> es el eje neutro e <math>y'</math> y <math>z'</math> son ejes   principales de inercia. De lo contrario, <math>\hat {\boldsymbol D}'</math> es una   matriz llena (Ejemplo [[#theorem-ejem4.1|1]]).

Las integrales de la Ec.([[#eq-4.36.b|4.36.b]]) para vigas de material compuesto se llevan a cabo teniendo en cuenta la distribución de las propiedades del material sobre la sección. Para una viga de  material heterogéneo (que satisfaga la Ec.(4.1)) es conveniente dividir la sección en celdas, cada una con propiedades del material diferentes. La integración se lleva a cabo evaluando las  integrales de la Ec.([[#eq-4.36.b|4.36.b]]) para cada celda y efectuando tras ello la suma correspondiente.

Para ''vigas de material compuesto laminado'' con una orientación del material como la mostrada en la Figura 3.3, los parámetros constitutivos generalizados axiles, flectores y de cortante se pueden calcular a partir de las Ecs.(3.12) como

<span id="eq-4.37"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \hat D_a =\sum \limits _{k=1}^{n_l} b_k h_k E^k ~,~ \hat D_{s_{y'}} =k_{y'} \sum \limits _{k=1}^{n_l}b_k h_k G_{y'}^k  ~,~ \hat D_{s_{z'}} =k_{z'} \sum \limits _{k=1}^{n_l}b_k h_k G_{z'}^k\\[.3cm] \displaystyle \hat D_{b_{y'}} =  \sum \limits _{k=1}^{n_l}\frac{b_k}{3}{(z'}^3_{k+1}{-z'}^3_k)E^k ~,~ \hat D_{b_{z'}} =  \sum \limits _{k=1}^{n_l} \frac{h_k b^3_k}{12} E^k   \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.37)
|}

donde <math display="inline">{h_k = z'}_{k+1}{-z'}_k</math> y <math display="inline">b_k</math> son el espesor y el ancho de la capa <math display="inline">k</math>, <math display="inline">n_l</math> es el número de capas y <math display="inline">(\cdot )^k</math> denota valores para la capa <math display="inline">k</math>.

El cálculo de la rigidez torsional <math display="inline">\hat D_t</math> depende de la función de alabeo <math display="inline">\omega </math>. Esta función se puede obtener como se explica en el Apartado 4.3.4.

La Tabla [[#table-4.1|4.1]] muestra el valor promedio de <math display="inline">\hat D_t</math> para dos secciones de material compuesto laminado obtenido resolviendo las Ecs.(4.45) para obtener la función de alabeo <math display="inline">w</math> y luego calculando <math display="inline">\hat D_t</math> por la Ec.(4.35b). Para ambos cálculos se utilizó el MEF con mallas de triángulos de tres nodos para discretizar la sección [DB5,Bo].

[[Image:Draft_Garcia_387683411-Tabla4_1.png|300px|Tabla4_1]]


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-4.1'></span>Tabla. 4.1 Rigidez torsional <math>\hat D_t</math> para dos vigas laminadas. Los resultados muestran el valor promedio de <math>\hat D_t</math> en la sección obtenido resolviendo las Ecs.(4.36b) y (4.45) con el MEF usando diferentes mallas de triángulos de tres     nodos [DB5,Bo]

|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | 
| Material 1 
| Material 2 

|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='5' style="text-align: left;border-bottom: 2px solid;" | Piel
| Aluminio 
| Aluminio 
|-
| G=23664 MPa 
| G=23664 MPa
|- style="border-top: 2px solid;"
| 
|-
| rowspan='2' style="text-align: left;border-bottom: 2px solid;" | 
| Espuma de poliestireno 
| Araldita 
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| G=7.7 MPa
| G=1362 MPa

|}<br/>


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"

|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | 
| style="text-align: left;" | Nº de triángulos de tres nodos por capa 
| 8 
| 32 
| 72 
| 128 

|-
| style="text-align: left;" | 
| style="text-align: left;" | Nº de nodos 
| 15 
| 45 
| 91 
| 153 

|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | Material 1&nbsp;~&nbsp; 
| style="text-align: left;" | <math>\hat D_t \times 10^{-6}</math>N/m<math display="inline">^{2}</math> 
| 7.23 
| 7.55 
| 7.61 
| 7.62 
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | Material 2 &nbsp;~&nbsp;
| style="text-align: left;" | <math>\hat D_t \times 10^{-6}</math>N/m<math display="inline">^{2}</math> 
| &nbsp;28.05&nbsp;
| &nbsp; 26.30&nbsp; 
| &nbsp; 26.00&nbsp; 
| &nbsp;25.86 &nbsp;

|}

Las expresiones ([[#eq-4.37|4.37]]) se simplifican para material homogéneo a

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \hat D_a = EA\quad ,\quad \hat D_{s_{y'}} = k_{y'} G_{y'} A  \quad ,\quad \hat          D_{s_{z'}} = k_{z'} G_{z'}A \\[.3cm] \displaystyle \hat D_{b_{y'}} = E I_{y'} \quad ,\quad D_{b_{z'}} = EI_{z'}~,~  \hat          D_t = GJ \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.38.a)
|}

donde <math display="inline">I_{y'}</math> y <math display="inline">I_{z'}</math> son los momentos principales de inercia, <math display="inline">k_{y'}</math> y <math display="inline">k_{z'}</math> dependen de la geometría de la sección (<math display="inline">k_{y'}=k_{z'}=5/6</math> para sección rectangular) y <math display="inline">J</math> es la ''inercia torsional'' dada por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>J= \iint _A \left(\hat y {\partial \omega  \over \partial z'}-\hat z {\partial \omega  \over \partial y'}+ \hat y^2+\hat z^2   \right)dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.38.b)
|}

donde <math display="inline">\hat {y = y' - y'}_c</math>, <math display="inline">\hat {z = z'-z'}_c</math>.

La Figura [[#img-4.11|4.11]] muestra los valores de <math display="inline">J</math> para algunas secciones homogéneas [BD5,PCh,Yo].

<div id='img-4.11'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_11.png|294px|Inercia torsional J y tensión tangencial máxima τ<sub>i</sub> para algunas secciones homogéneas. El punto i muestra     la posición de τ<sub>i</sub>]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.11:''' Inercia torsional <math>J</math> y tensión tangencial máxima <math>\tau _{i}</math> para algunas secciones homogéneas. El punto <math>i</math> muestra     la posición de <math>\tau _{i}</math>
|}

Las tres tensiones y deformaciones locales en un punto de una sección se pueden calcular  a partir de los esfuerzos. Teniendo en cuenta el desacoplamiento entre las tensiones de flexión y torsión, deducimos de las Ecs.(4.28a), (4.35) y (4.1)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}{\boldsymbol \varepsilon }'= {\boldsymbol S}_1 \hat {\boldsymbol \varepsilon }'={\boldsymbol S}_1 \hat {\boldsymbol  D}^{'-1} \hat{\boldsymbol \sigma }'\\[.35cm] {\boldsymbol \sigma }'= {\boldsymbol  D}' {\boldsymbol \varepsilon }' = {\boldsymbol  D}' \bar{\boldsymbol S}_1 \hat {\boldsymbol  D}^{'-1} \hat{\boldsymbol \sigma }' \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.39.a)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar {\boldsymbol S}_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -z' & y' & 0 \\                    0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\                    0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\                  \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.39.b)
|}

para las tensiones y deformaciones inducidas por los efectos axil y flector, y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar {\boldsymbol S}_1=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \displaystyle {{ \partial w}\over  \partial  y' }{ -(z'-z'}_c) \\[.4cm]                   0 & 0 & 0 & 0 & 0& \displaystyle {{ \partial w}\over  \partial  z' }{ + (y'-y'}_c) \\                  \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.39.c)
|}

para las tensiones y deformaciones de cortante inducidas por la torsión libre.

El cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión presenta algunas características particulares, ya que requiere el conocimiento de la función de alabeo. Este tema se trata en los próximos apartados para el caso general y para secciones cerradas de pared delgada. Las secciones abiertas de pared delgada se tratan en el Apartado 4.10.

<br/>

<span id='theorem-ejem4.1'></span>'''Ejemplo 4.1: '''

Obtener la matriz constitutiva generalizada <math display="inline">\hat{\boldsymbol D}'</math> para una posición arbitraria del eje de la viga.

Supongamos que el eje <math display="inline">x'</math> no coincide con el eje neutro y que <math display="inline">y',z'</math> no son ejes principales de inercia. Sustituyendo las expresión de la tensión axil <math display="inline">\sigma _{x'}</math> (Ec.(4.27)) en la integral para el vector de esfuerzos (Ec.(4.33)) da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \sigma }'=\iint _A \left\{\begin{matrix} \displaystyle E \left({{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } +z' {{\partial \theta _{x'}}\over \partial x'} -y' {{\partial \theta _{x'}}\over \partial x'}\right)\\ \displaystyle G_{y'}\left({{\partial {v'}_c}\over  \partial  x' } - \theta _{x'} \right)\\ \displaystyle  G_{z'}\left({{\partial {w'}_c}\over  \partial  x' }  + \theta _{y'} \right)\\ \displaystyle  z' E \left({{ \partial {u'}_0 }\over  \partial  x' } +z' {{\partial \theta _{y'}}\over \partial x'} -y' {{\partial \theta _{x'}}\over \partial x'}\right)\\  - y' E \\  D_t  \end{matrix} \right\}dA </math>
|}
|}

donde <math display="inline">D_t</math> se define en la Ec.(4.34). Con un poco de álgebra se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \hat{\boldsymbol \sigma }' = \hat {\boldsymbol D}' \hat{\boldsymbol \varepsilon }' \quad \hbox{con}\quad  \hat {\boldsymbol D}' = \iint _A \left[ \begin{matrix} E &0&0& z'E& -y'E &0\\ 0&G_{y'}&0&0&0&0\\ 0&0& G_{z'}&0&0&0\\ z'E&0&0&{z'}^2E&-y'z'E &0\\ -y'E &0&0&-y'z'E &{ y'} 2E &0\\ 0&0&0&0&0&D_t \end{matrix} \right]dA </math>
|}
|}

con <math display="inline">\hat{\boldsymbol \varepsilon }'</math> dado por la Ec.(4.28b).

Vemos que <math display="inline">\hat {\boldsymbol D}'</math> es ahora una matriz llena (simétrica). Esto implica que los efectos axiles y flectores están acoplados; es decir, que una fuerza axial induce efectos de flexión y viceversa. Los términos de fuera de la diagonal en <math display="inline">\hat {\boldsymbol D}'</math> desaparecen si <math display="inline">x'</math> es el eje neutro y <math display="inline">y',z'</math> son los ejes principales de inercia (Apartado 4.2.3).

En la práctica, se puede emplear tanto la forma llena de <math display="inline">\hat {\boldsymbol    D}'</math> o la diagonal dada en la Ec.(4.36a) ''obteniéndose resultados idénticos''. La más sencilla forma diagonal requiere del cálculo “a priori” de la posición del eje neutro y los ejes principales de inercia.

Estas consideraciones no afectan al valor de la rigidez torsional <math display="inline">\hat {D}_t</math>.

===4.3.4 Cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión   y de la función de alabeo===

Las tensiones tangenciales debidas a la torsión libre de Saint-Venant se expresan en función de los desplazamientos como (ver Ecs.(4.1) y (4.27))

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \tau _{x'y'} = G_{y'}\gamma _ {  x'  y' }= G_{y'} {{ \partial \theta _ { \hat x'} } \over  \partial x' } \left[{{ \partial \omega }\over  \partial  y' }{ - (z'-  z'}_c)\right]\\[.3cm] \displaystyle \tau _{ x' z'}=G_{z'}\gamma _ { x' z'}  = G_{z'} {{ \partial  \theta _ {\hat x'}} \over  \partial x' }\left[{{ \partial   \omega }\over  \partial  z' }{ + (y'- y'}_c)\right] \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.40)
|}

La ecuación de equilibrio en la dirección <math display="inline">x'</math> (teniendo en cuenta que <math display="inline">\sigma _{x'}</math> es cero bajo torsión pura) es (Apéndice B)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial \tau _{x'y'}}{\partial y'}+ \frac{\partial \tau _{x'z'}}{\partial z'}=0 \qquad \hbox{en } A </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.41)
|}

donde <math display="inline">A</math> es la sección de la viga. Sustituyendo las Ecs.(4.40) en (4.41) da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{ \partial }\over  \partial y^{\prime } }\left(G_{y'} {{ \partial \omega }\over  \partial  y' }\right)  + {{ \partial }\over  \partial z^{\prime } }  \left(G_{z'} {{ \partial \omega }\over  \partial  z' }\right)=0 \quad \hbox{en } A </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.42)
|}

La Ec.(4.42) es una ecuación de Laplace que debe satisfacer la siguiente condición en la frontera de la sección transversal <math display="inline">\Gamma </math> [ZTZ]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _n =\tau _{x'y'} n_{y'} + \tau _{ x' z'} n_{z'}=0\quad \hbox{en } \Gamma  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.43)
|}

Teniendo en cuenta que <math display="inline">n_{y'}=-{\partial z'\over \partial s}</math> y <math display="inline">n_{z'}={\partial    y'\over \partial s}</math> y usando las Ecs.(4.40) tenemos

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>G_{y'}{{ \partial \omega }\over  \partial  y' } n_{y'} + G_{z'}{{ \partial   \omega }\over  \partial  z' } n_{z'}+ G_{y'}{(z'-  z'}_c) {\partial z'\over \partial  s} + G_{z'}{(y'- y'}_c) {\partial    y'\over \partial s} =0 \qquad \hbox{en }\Gamma  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.44)
|}

Las Ecs.(4.42) y (4.44) se simplifican para material homogéneo a

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{ \partial ^2\omega  }\over  \partial y^{\prime 2} }+{{ \partial ^2\omega }\over  \partial   z^{\prime 2} }=0\quad \hbox{en}\quad A </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.45.a)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{ \partial \omega }\over  \partial n} + {1\over 2} \frac{\partial }{\partial    s}\left[{(z'-  z'}_c)^y'_cy'- y'_c)^2 \right]=0 \quad \hbox{en }\Gamma  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.45.b)
|}

La solución de estas ecuaciones diferenciales proporciona la distribución de <math display="inline">\omega </math> para secciones de forma geométrica sencilla y material homogéneo. Para el caso general, las Ecs.(4.45) se resuelven típicamente empleando el MEF o el método de diferencias finitas  [BD4,Bo,OR,PCh,Yo,ZTZ].

Las Ecs.(4.45) proporcionan una distribución de <math display="inline">\omega </math> sobre la sección que no es única, ya que su solución no se ve afectada por añadir una constante a <math display="inline">\omega </math>. Esto no es un problema ya que las tensiones tangenciales dependen de las derivadas de <math display="inline">\omega </math> (Ec.(4.40)) y, por consiguiente, los resultados no están influenciados por el valor de dicha constante.

Una vez se ha encontrado la distribución de <math display="inline">\omega </math> sobre la sección, se puede calcular la rigidez torsional <math display="inline">{\hat D}_t</math> mediante la Ec.(4.36b). Esto se suele hacer normalmente con la misma malla de elementos finitos, o de diferencias finitas, utilizada para resolver las Ecs.(4.45) [BD4,Bo]. La Tabla [[#table-4.1|4.1]] muestra un ejemplo de este procedimiento para calcular <math display="inline">{\hat D}_t</math> en dos vigas de material compuesto laminado empleando el MEF.

La Figura [[#img-4.11|4.11]] muestra la posición de la tensión tangencial máxima en algunas secciones homogéneas [BD5,PCh,Yo].

<div id='img-4.12'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_12.png|600px|Tubo de pared delgada de forma arbitraria]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.12:''' Tubo de pared delgada de forma arbitraria
|}

===4.3.5 Secciones  de pared delgada cerradas===

Dada la geometría de las secciones  de pared delgada cerradas es conveniente separar las tensiones tangenciales en sus componentes normal y tangencial a la línea media de la pared <math display="inline">\tau _{x's}</math> y <math display="inline">\tau _{x'n}</math>, denominadas en adelante <math display="inline">\tau _s</math> y <math display="inline">\tau _n</math> por simplicidad (Figura [[#img-4.12|4.12]]). Es también usual suponer que la tensión tangencial normal <math display="inline">\tau _n</math> ''es nula en todo el   espesor de la pared'', ya que las caras externas de la viga no tienen tensiones y el espesor de la pared es pequeño. El flujo de las tensiones tangenciales <math display="inline">\tau _s</math> (en adelante flujo de cortante) se define como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f(s)=t \tau _s (s) </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.46)
|}

De la ecuación de equilibrio local para un elemento diferencial de la viga de pared delgada (Ec.(4.41)) deducimos (suponiendo <math display="inline">\tau _n =0</math>) [BC]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial \tau _s \over \partial s} + {\partial \tau _n \over \partial n} = {\partial \tau _s \over \partial s} = \frac{1}{t}{\partial f \over \partial s}=0 \quad \to \quad f(s) =f =\hbox{constante} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.47)
|}

Esta distribución de flujo de cortante constante genera un torsor <math display="inline">M_{\hat x'}</math> alrededor del punto O sobre el eje neutro  (coincidente con el centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math>) dado por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>M_{\hat x'} = \int _{L_s} f rds = f\int _{L_s} rds= 2A f </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.48)
|}

donde <math display="inline">A</math> es el área encerrada por la linea central de la pared con perímetro <math display="inline">{L_s}</math>. De las Ecs.(4.46) y (4.48) la tensión tangencial resultante del torsor se encuentra como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _s = \frac{M_{\hat x'}}{2At} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.49)
|}

Esta ecuación se completa con la variación del giro torsor a la largo de la viga (Ec.(4.24))

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _w := {\partial \theta _{\hat x'} \over \partial x'}=\frac{M_{\hat x'}}{\hat D_t} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.50)
|}

La rigidez torsional <math display="inline">\hat D_t</math> se puede obtener igualando el ''trabajo virtual externo complementario'' [ZTZ,BC] realizado por la tensión tangencial y usando la Ec.(4.49), es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _w \delta M_{\hat x'}   = \int _{L_s} \gamma _s \delta  \tau _s  ds= \int _{L_s} \tau _s  \frac{\delta \tau _s}{G}t ds= \left[\int _{L_s} \frac{M_{\hat x'}}{4A^2Gt}   ds \right]\delta M_{\hat x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.51)
|}

De la Ec.(4.51) encontramos, después de simplificar y tener en cuenta que <math display="inline">M_{\hat x'}</math> es constante a lo largo de <math display="inline">{L_s}</math>,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _\omega = \frac{1}{\hat D_t}  M_{\hat x'} \quad \hbox{con}\quad \hat D_t =4A^2 \left[\int _{L_s} \frac{ds}{Gt}   \right]^{-1} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.52)
|}

Para una sección cerrada arbitraria de espesor de pared constante

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat D_t = \frac{4GtA^2}{{L_s}}=GJ \quad \hbox{con}\quad J= \frac{4tA^2}{{L_s}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.53)
|}

La Ec.(4.53) muestra que la sección de rigidez torsional máxima es el tubo circular de pared delgada. La tensión tangencial se deduce de la Ec.(4.49) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _s = \frac{M_{\hat x'}}{2\pi R^2_m t} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.54)
|}

donde <math display="inline">R_m</math> es el radio medio del tubo.

===4.3.6 Torsión de secciones multicelulares===

En secciones multicelulares, por razones de equilibrio se requiere que el flujo de cortante sea constante en cada pared. Además, en cada nudo de conexión, la suma de flujos que concurren en él debe ser cero [AMR,BC,OR].

Estos requerimientos de continuidad se satisfacen automáticamente si los flujos de cortante se suponen constantes en cada celda. Para la sección de cuatro celdas de la Figura [[#img-4.13|4.13]] los flujos de cortante que circulan alrededor de cada celda se denominan <math display="inline">f^{(1)}, f^{(2)},f^{(3)}</math> y <math display="inline">f^{(4)}</math>, y se indica su sentido positivo  [BC]. La Figura [[#img-4.13|4.13]] también ilustra los flujos de cortante que concurren en el nudo <math display="inline">{E}</math>. La condición de continuidad en el nudo se satisface porque <math display="inline">(f^{(4)}) + (f^{(3)}-f^{(4)}) + (f^{(2)}-f^{(3)})+ (-f^{(2)})=0</math>.

<div id='img-4.13'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_13.png|360px|Flujos de cortante en una sección multicelular de pared delgada [BC]]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.13:''' Flujos de cortante en una sección multicelular de pared delgada [BC]
|}

La solución del problema requiere el cálculo de los flujos de cortante constantes, uno alrededor de cada celda. El torsor total de la sección <math display="inline">M_{\hat x'}</math>  es la suma de los torsores de las celdas individuales, <math display="inline">M_{\hat x'}^{(i)}</math>, donde <math display="inline">i</math> indica el número de celda, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>M_{\hat x'} = \sum \limits _{i=1}^{N_{cel}} M_{\hat x'}^{(i)} = 2 \sum \limits _{i=1}^{N_{cel}} {A}^{(i)} f^{(i)} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.55)
|}

donde <math display="inline">N_{cel}</math> es el número de celdas y <math display="inline">{A}^{(i)}</math> el área encerrada por la celda <math display="inline">i</math> de perímetro <math display="inline">C^{(i)}</math>. Esta ecuación por si sola no permite la determinación de los flujos de cortante de las <math display="inline">N_{cel}</math> celdas.

Se pueden encontrar ecuaciones adicionales expresando las ''condiciones de compatibilidad'' que requieren que la tasa de torsión de las distintas celdas sea idéntica. En respuesta al flujo de cortante <math display="inline">f^{(i)}</math> que actúa dentro de una celda, se desarrolla en la celda una tasa de torsión <math display="inline">\phi _\omega ^{(i)}</math>. La compatibilidad de las deformaciones de todas las celdas proporciona <math display="inline">N_{cel} - 1</math> ecuaciones adicionales

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _\omega ^{(1)} = \phi _\omega ^{(2)} = \cdots = \phi _\omega ^{(i)} = \cdots = \phi _\omega ^{(N_{cel})} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.56)
|}

La relación entre la tasa de torsión y el torsor de cada celda se deduce de la Ec.(4.51) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _\omega ^{(i)} = \int _{L_s^{(i)}} \frac{M_{\hat x'}^{(i)}}{4 ({A}^{(i)})^2} \frac{ds}{Gt}=\int _{L_s^{(i)}} \frac{2{A}^{(i)} f}{4 ({A}^{(i)})^2} \frac{ds}{Gt}= \frac{1}{2 {A}^{(i)}} \int _{L_s^{(i)}} \frac{f}{Gt}ds </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.57)
|}

Las Ecs.(4.56) y (4.57) proporcionan las <math display="inline">N_{cells}</math> ecuaciones necesarias para encontrar los <math display="inline">N_{cel}</math> flujos de cortante en las celdas de una sección multicelular sometida a torsión.

<br/>

'''Ejemplo 4.2: '''

Sección transversal de dos celdas.

La sección de pared delgada mostrada en la Figura [[#img-4.14|4.14]] (tomada de [BC]) representa una sección muy idealizada de una estructura de perfil aerodinámico. La parte frontal (curva) se llama borde de ataque, el pilar vertical se llama larguero y la parte trasera  borde de salida. La Ec.(4.55) da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> M_{\hat x'}=2\sum \limits _{i=1}^{N_{cel}} {A}^{(i)} f ^{(i)} =\pi R^2 f^{(1)}+6R^2 f^{(2)} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.58)
|}

<div id='img-4.14'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_14.png|600px|Sección de pared delgada de dos celdas sometida a torsión [BC]]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.14:''' Sección de pared delgada de dos celdas sometida a torsión [BC]
|}

La condición de compatibilidad requiere tasas de torsión idénticas para las dos celdas. La Ec.(4.57) proporciona la tasa de torsión para la celda frontal como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l} \phi _\omega ^{(1)} & = &\displaystyle \frac{1}{2 {A}^{(1)}} \int _{C^{(1)}} \frac{f}{Gt(s)}ds = \frac{1}{G\pi R^2/2} \left[\frac{f^{(1)}}{t} \pi R + \frac{f^{(1)}-f^{(2)}}{3t}2R \right]\\ &=&\displaystyle \frac{1}{G\pi Rt}\left[\pi f^{(1)} + \frac{2}{3} (f^{(1)}-f^{(2)})\right] \end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.59)
|}

y la tasa de torsión para la celda del borde de salida es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _\omega ^{(2)}  = \displaystyle \frac{1}{2 {A}^{(2)}} \int _{C^{(2)}} \frac{f}{Gt(s)}ds = \frac{1}{6G3 R^2} \left[\frac{f^{(2)}-f^{(1)}}{3t} 2R + f^{(2)} 2\sqrt{10} \frac{R}{t}  \right]</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> =\displaystyle \frac{1}{6G Rt}\left[\frac{2}{3} (f^{(2)}-f^{(1)}) + 2\sqrt{10}  f^{(2)} \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.60)
|}

Igualando las dos tasas de torsión se llega a la segunda ecuación de los flujos de cortante

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{1}{\pi } \left[\pi f^{(1)}+ \frac{2}{3} (f^{(1)}-f^{(2)})   \right]= \frac{1}{6} \left[\frac{2}{3} (f^{(2)}-f^{(1)}) + 2\sqrt{10}  f^{(2)} \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.61)
|}

que se simplifica a <math display="inline">f^{(1)} =1.04 f^{(2)}</math>.

Este resultado, junto con la Ec.(4.58), se usan para obtener <math display="inline">f^{(1)}</math> y <math display="inline">f^{(2)}</math> como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>R^2f^{(1)}=1.04 M_{\hat x'}/(6+1.04\pi )\quad   \hbox{and}\quad  R^2 f^{(2)}= M_{\hat x'}/(6+1.04\pi )</math>
|}
|}

Nótese que el flujo de cortante en la celda frontal, <math display="inline">f^{(1)}</math>, es sólo un 4% mayor que en el  borde de salida, <math display="inline">f^{(2)}</math>. Por consiguiente, el flujo de cortante en el larguero, <math display="inline">R^2 (f^{(1)}-f^{(2)}) = 0.04 M_1/(6+1.04\pi )</math>, que es un valor muy pequeño.

Como la rigidez torsional de la sección cerrada es proporcional al cuadrado del área encerrada, la mayor contribución a la rigidez torsional es de la sección cerrada exterior, que es la unión de las dos celdas. Así, el mayor flujo de cortante circula por el exterior, dejando el larguero prácticamente sin carga.

La rigidez torsional se calcula como el cociente entre el torsor y la tasa de torsión (Ec.(4.50)). Como las tasas de torsión de las dos celdas son iguales, se puede emplear tanto <math display="inline">\phi _\omega ^{(1)}</math> como <math display="inline">\phi _\omega ^{(2)}</math>. Utilizando, por ejemplo, <math display="inline">\phi _\omega ^{(1)}</math> da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\!\!\!\hat D_t= \frac{M_{\hat x'}}{\phi _\omega ^{(1)}} = \frac{(\pi  1.04 + 6)R^2 f^{(2)}}{1/\pi GRt [1.04\pi + 2/3 (1.04-1)]f^{(2)}}=2.81\pi GR^3t </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.62)
|}

<br/>

===4.3.7 Principio de trabajos virtuales===

El PTV se escribe como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\iiint _V [ \delta \varepsilon _ { x' } \sigma _  { x' } + \delta \gamma _ {  x'  y' }  \tau _ { x'y' } + \delta \gamma _ {  x' z' } \tau _ { x' z' } ]dV \! = \!\!\int _L\delta   {\boldsymbol u'}^{T} {\boldsymbol t}' dx' + \sum _{i}\delta   {\boldsymbol u } _i^ {\prime T } {\boldsymbol p'}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.63)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol t}'</math> y <math display="inline">{\boldsymbol p}' _i</math> son fuerzas distribuidas en el eje de la viga y cargas puntuales, respectivamente, y <math display="inline">V</math> y <math display="inline">L</math> son el volumen y la la longitud de la viga.

<div id='img-4.15'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_15.png|600px|Fuerzas y momentos actuando en una viga 3D]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.15:''' Fuerzas y momentos actuando en una viga 3D
|}

Las componentes del vector de desplazamientos virtuales <math display="inline">\delta {\boldsymbol    u}'</math> y los vectores de fuerzas externas <math display="inline">{\boldsymbol t}'</math> y <math display="inline">{\boldsymbol p'}_i</math> se expresan en el sistema de coordenadas local como (Figura [[#img-4.15|4.15]])

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \delta {\boldsymbol u}' =[\delta {u'},~,~\delta {v'},~,~\delta {w'},~,~\delta \theta _{\hat x'} , ~\delta \theta _{y'},~\delta \theta _{z'}]^T\\ \displaystyle {\boldsymbol t}' =[f_{x'},~f_{\hat y'},~f_{\hat z'},~m_{\hat x'},~m_{y'},~m_{z'}]^T\\ \displaystyle {\boldsymbol p'}_i =[F_{{x'}_i},~F_{y{\hat '}_i},~F_{\hat {z'}_i},~M_{\hat {x'}_i},~M_{{y'}_i},~M_{{z'}_i}]^T \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.64)
|}

Nótese que las fuerzas distribuidas y puntuales que actúan a lo largo de los ejes <math display="inline">\hat y'</math> y <math display="inline">\hat z'</math> (<math display="inline">f_{y'},f_{z'},F_{{y'}_i},~F_{{z'}_i}</math>) así como el torsor (<math display="inline">m_{\hat x'},M_{\hat {x'}_i}</math>) ''actúan en el   eje elástico'' <math display="inline">\hat x'</math>, mientras que las fuerzas axiales (<math display="inline">f_{x'}, F_{{x'}_i}</math>) y los momentos flectores (<math display="inline">m_{y'},m_{z'},M_{{y'}_i},~M_{{z'}_i}</math>) ''actúan en el eje neutro'' <math display="inline">x'</math> (Figura [[#img-4.15|4.15]]).

El trabajo virtual interno se puede escribir en función de los esfuerzos y las deformaciones virtuales generalizadas. Empleando notación matricial podemos escribir el primer miembro de la Ec.(4.63) usando las Ecs.(4.28a) y (4.32) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\iiint _V \delta {\boldsymbol \varepsilon }^{\prime T} {\boldsymbol \sigma }'dV = \iiint _V \delta \hat  {\boldsymbol \varepsilon }^{\prime T} {\boldsymbol S}_1^T {\boldsymbol \sigma }'\,dV = \iiint _V \delta \hat {\boldsymbol \varepsilon }^{\prime T}{\boldsymbol    S}_2 {\boldsymbol \sigma }' dV +</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> + \iiint _V {\partial    \theta _{\hat x'}\over \partial \hat x'} \left({\partial \omega \over \partial y'}   \tau _{x'y'} + {\partial \omega \over \partial z'} \tau _{x'z'}\right)\,dV </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.65)
|}

La primera integral del primer miembro de la ecuación anterior se puede expresar, usando la Ec.(4.31), como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\iiint _V \delta \hat {\boldsymbol \varepsilon }^{'T} {\boldsymbol S}_2 {\boldsymbol \sigma }' \,dV = \!\!\int _L\delta \hat {\boldsymbol \varepsilon }^{'T}\left(\iint _A {\boldsymbol S}_2 {\boldsymbol \sigma }' dA \right)dx' = \!\int _L \delta \hat  {\boldsymbol \varepsilon }^{'T} \hat {\boldsymbol \sigma }' dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.66)
|}

La última integral del segundo miembro de la Ec.(4.65) vale cero como se muestra a continuación. Recordando que <math display="inline">\displaystyle {\partial \theta _{\hat      x'}\over \partial x'} </math> es constante e integrando por partes tenemos

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{ll}I &= \displaystyle {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial x'} \!\iiint _V\!   \left({\partial \omega \over \partial y'}   \tau _{x'y'} + {\partial \omega \over \partial z'} \tau _{x'z'}   \right)dV   =\\[.3cm] & \displaystyle   {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial x'} \Bigg[-\iiint    _V \! \omega \left({\partial \tau _{x'y'}\over \partial y'} +{\partial    \tau _{x'z'}\over \partial z'} \right)dV \!+\! \!\iint _S \omega    (\tau _{x'y'}n_{y'} + \tau _{x'z'} n_{z'})\,ds dx'  \Bigg] \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.67)
|}

La integral de superficie del segundo miembro de la Ec.(4.67) es cero ya que <math display="inline">\tau _{x'y'}n_{y'} + \tau _{x'z'} n_{z'}=0</math> en los contornos de la viga, en ausencia de otras fuerzas de superficie (Apéndice B). Por otra parte,  la tensión axil <math display="inline">\sigma _{x'}</math> originada por la de torsión es nula, y de las ecuaciones de equilibrio de la elasticidad 3D (Apéndice B) se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial \sigma _{x'}\over \partial x'} + {\partial  \tau _{x'y'}\over \partial    y'}+ {\partial  \tau _{x'z'}\over \partial z'}= {\partial  \tau _{x'y'}\over \partial    y'}+ {\partial  \tau _{x'z'}\over \partial z'}=0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.68)
|}

y, por tanto, se deduce de la Ec.(4.67) que <math display="inline">I=0</math> en un estado de torsión.

Para las tensiones tangenciales originadas por la flexión, de la anterior ecuación de equilibrio se deduce

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial  \tau _{x'y'}\over \partial    y'}+ {\partial  \tau _{x'z'}\over \partial z'} =-{\partial \sigma _{x'}\over \partial x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.69.a)
|}

y, por tanto

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>I=- \displaystyle {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial x'} \iiint _V \omega {\partial \sigma _{x'}\over \partial x'}dV </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.69.b)
|}

De las Ecs.(4.69) y (4.27) se llega a

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial \sigma _{x'}\over \partial x'} = E{\partial \varepsilon _{x'}\over \partial x'}= E\left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } + z'{{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' } - y' {{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' } \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.70)
|}

Sustituyendo (4.70) en (4.69b) se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{ll}I &= -\displaystyle {{\partial \theta _{\hat x'}}\over \partial x'}\iiint _V \omega E \left({{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } + z'{{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' }  - y' {{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' } \right)dV=\\[.3cm] &= - \displaystyle {{\partial \theta _{\hat x'}}\over \partial x'}\int _L \left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } \iint _A E \omega  dA  + {{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' } \iint _A z' E \omega dA  -{{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' } \iint _A y' E \omega  dA    \right]dx' \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.71)
|}

Esta integral se anula si

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\iint _A E \omega  \,dA = \iint _A z' E \omega \,dA = \iint _A y' E \omega  \,dA =0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.72)
|}

Estas condiciones se cumplen siempre y pueden demostrarse teniendo en cuenta que el esfuerzo axil y los momentos flectores inducidos por un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes son cero (Apartado 4.2.7). En conclusión, el PTV se puede escribir como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle \int _L \delta \hat {\boldsymbol \varepsilon '}^T\hat {\boldsymbol \sigma }' dx' = \int _L \delta   {\boldsymbol u }^{\prime T } {\boldsymbol t}' \,dx' + \sum _{i} \delta   {\boldsymbol u }_i^ { \prime T } {\boldsymbol p'}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.73)
|}

==4.4 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS RECTOS. ELEMENTO DE VIGA DE   TIMOSHENKO 3D DE DOS NODOS==

===4.4.1 Definición del eje neutro y la obtención de las matrices del elemento===

La línea de referencia de la viga (eje neutro) se discretiza en elementos finitos rectos 1D de continuidad <math display="inline">C^0</math> y longitud <math display="inline">l^{(e)}</math>, como el elemento de viga de dos  nodos de la Figura [[#img-4.16|4.16]]. Las coordenadas de un punto en la línea de referencia se obtienen por interpolación isoparamétrica [On4]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol x } = [x_ { \scriptscriptstyle 0 } ,y_ { \scriptscriptstyle   0 } ,z_ { \scriptscriptstyle 0 } ]^ { \scriptscriptstyle T } ~=~  \sum ^n_ { i= { \scriptscriptstyle 1 } } {\boldsymbol N } _i {\boldsymbol x}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.74)
|}

siendo <math display="inline">{\boldsymbol x}_i</math> el vector de coordenadas del nodo <math display="inline">i</math> y <math display="inline">{\boldsymbol N}_i=N_i(\xi ){\boldsymbol I}_3</math>, donde <math display="inline">{\boldsymbol I}_3</math> es la matriz unidad <math display="inline">3\times 3</math> y <math display="inline">N_i(\xi )</math> es la función de forma 1D del nodo  (Figura 2.4) y <math display="inline">n</math> es el número de nodos del elemento. El vector unitario tangente  al eje neutro en un nodo se puede obtener de manera sencilla por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol e}_{\scriptscriptstyle 1_i} = \frac{{\boldsymbol x}_ {\scriptscriptstyle i+1/2}-{\boldsymbol x}_ {\scriptscriptstyle i-1/2}}{\left|{\boldsymbol x}_ {\scriptscriptstyle i+1/2} - {\boldsymbol x}_ {\scriptscriptstyle i-1/2}\right|} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.75)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol x}_ {\scriptscriptstyle i+1/2}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol x}_ {\scriptscriptstyle i-1/2}</math> son las coordenadas de los puntos medios de los elementos adyacentes al nodo <math display="inline">i</math>.

<div id='img-4.16'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_16.png|472px|Discretización de una viga 3D en elementos rectos de dos nodos y curvos de tres     nodos. Definición de los vectores tangentes unitarios en     los nodos]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.16:''' Discretización de una viga 3D en elementos rectos de dos nodos y curvos de tres     nodos. Definición de los vectores tangentes unitarios en     los nodos
|}

Los vectores unitarios <math display="inline">{\boldsymbol e}_{\scriptscriptstyle 2_i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol  e}_{\scriptscriptstyle 3_i}</math> se definen en las direcciones principales <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> en cada nodo, respectivamente. Para vigas con sección no uniforme las direcciones principales pueden variar en cada punto. La posición de los vectores <math display="inline">{\boldsymbol e } _ { \scriptscriptstyle 1 }</math>, <math display="inline">{\boldsymbol e}_{\scriptscriptstyle 2}</math> <math display="inline">{\boldsymbol e}_{\scriptscriptstyle 3}</math> se interpolan dentro de cada elemento a partir de los valores nodales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol e } _ { \scriptscriptstyle a } = \sum ^n_ { i= { \scriptscriptstyle   1 }} {\boldsymbol N } _i {\boldsymbol e } _ { { \scriptscriptstyle a } _i } \quad ,\quad a=1,2,3 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.76)
|}

Las expresiones anteriores son particularmente útiles para elementos 1D curvos (Apartado 4.6).

Los desplazamientos locales se interpolan como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u } ' = \sum ^n_ { { i= { \scriptscriptstyle 1 } } } N_i(\xi ){\boldsymbol   I}  _{\scriptscriptstyle {6}} {\boldsymbol a }^{\prime (e)}_i;\quad  {\boldsymbol a}^{\prime (e)}{_i=[ u'}_{0_i}{, v'}_{c_i}{, w'}_{c_i},\theta _{ \hat {x'}_i},\theta _{{ y'}_i},\theta _{{ z'}_i}]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.77)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol I}_{\scriptscriptstyle {6}}</math> es la matriz unidad <math display="inline">6\times  6</math>. Sustituyendo la Ec.(4.77) en el vector de deformaciones generalizadas <math display="inline">\hat {\boldsymbol   \varepsilon } '</math> de (4.28b) se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol \varepsilon } ' =  \left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } , \left({{ \partial {v'}_c}\over  \partial  x' }  - \theta _ {  z' } \right) ,\left({{ \partial {w'}_c}\over  \partial  x' }  + \theta _ {  y' } \right),{{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' }, {{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' }  , {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x'  } \right]^T= \sum ^n_ { i= { \scriptscriptstyle   1 } } {\boldsymbol B '}    {\boldsymbol a} ^{\prime (e)}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.78)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B '}_= = \left[\begin{matrix}\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' } &0&0&0&0&0\\ \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots  \\ 0&\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' }&0&0& 0 &-N_i & \\ 0&0&\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' }&0&N_i&0 \\ 0&0&0&0&\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' }&0\\ 0&0&0 &0&0&\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' } \\ \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots  \\ 0&0&0 &\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' } &0&0\\ \end{matrix}\right]= \begin{bmatrix}{\boldsymbol B}_{a_i}\\                          \cdots \\                        {\boldsymbol B}_{f_i}  \\                              \cdots \\                     {\boldsymbol B}_{t_i} \\                        \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.79)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol B}_{a_i}</math>, <math display="inline">{\boldsymbol B}_{f_i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol B}_{t_i}</math> son las contribuciones axil, de flexión y de torsión a la matriz de deformaciones generalizadas del nodo <math display="inline">i</math>.

Sustituyendo la expresión de <math display="inline">\hat {\boldsymbol \varepsilon }'</math> de la Ec.(4.78) en el PTV (Ec.(4.73)) y usando las Ecs.(4.35) y (4.77) se obtiene la matriz de rigidez del elemento y el vector de fuerzas nodales equivalentes para cargas distribuidas expresadas en ejes locales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K }_ { ij } ^{\prime (e)} = \int _ { l ^{(e)} } {\boldsymbol B } _i^ {\prime \scriptscriptstyle T } \hat {\boldsymbol D}' {\boldsymbol B }' _j\,dx'\quad , \quad    {\boldsymbol f '}^{(e)}_i = \int _{l^{(e)}} {N}_i{\boldsymbol t }' \,dx'\quad , \quad i,j=1,2 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.80)
|}

Introduciendo las Ecs.(4.36a) y (4.79) en <math display="inline">{\boldsymbol K }_ { ij } ^{\prime (e)}</math> da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K }_ { ij } ^{\prime } = \int _ { l ^{(e)} }\left[{\boldsymbol B}_{a_i}^T  \hat {D} _a {\boldsymbol B}_{a_j}+{\boldsymbol B}_{f_i}^T \hat {\boldsymbol D}_f {\boldsymbol B}_{f_j}+ {\boldsymbol B}_{t_i}^T \hat {D}_t {\boldsymbol B}_{t_j}\right]dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.81)
|}

Las matrices del elemento se evalúan normalmente mediante cuadraturas numéricas. El bloqueo por cortante se puede evitar subintegrando las contribuciones del cortante en <math display="inline">{\boldsymbol K } _ { ij } ^{\prime (e)}</math>. El elemento de viga 3D más simple es ''el elemento de dos nodos lineal   con una cuadratura uniforme de un punto''. Su matriz de rigidez local se puede obtener explícitamente como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K }_ { ij } ^{\prime (e)}  =  [ {\boldsymbol B } _i^ {\prime \scriptscriptstyle T  } \hat {\boldsymbol D } {\boldsymbol B}' _j]_cl ^{(e)} =\left[{\boldsymbol B}_{a_i}^T  \hat {D} _a {\boldsymbol B}_{a_j}+{\boldsymbol B}_{f_i}^T \hat {\boldsymbol D}_f {\boldsymbol B}_{f_j}+ {\boldsymbol B}_{t_i}^T \hat {D}_t {\boldsymbol B}_{t_j}\right]_cl ^{(e)} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.82.a)
|}

donde <math display="inline">(\cdot )_c</math> indica valores en el centro del elemento. La expresión de <math display="inline">[ {\boldsymbol B }_i^\prime ]_c</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>[ {\boldsymbol B }_i^\prime ]_c=\begin{bmatrix}{\boldsymbol B}_{a_i}\\                          \cdots \\                      {\boldsymbol B}_{f_i}  \\                              \cdots \\                       {\boldsymbol B}_{t_i} \\                        \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_i & 0  & 0 & 0 & 0  &0\\[-.2cm]                          \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots \\[-.2cm]                           0 & a_i  & 0&0 & 0 & -1/2 \\                           0 & 0 & a_i &0 & 1/2 & 0 \\                           0 & 0 &  0 & 0& a_i  &0\\                           0 & 0 &  0 & 0 &0& a_i \\[-.2cm]                           \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots \\[-.2cm]                           0 & 0 &  0 & a_i &0& 0 \\             \end{bmatrix}\quad \hbox{con }~a_i = (-1/l^{(e)})^i~ </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.82.b)
|}

El Cuadro [[#theorem-cuadro4.1|1]] muestra la matriz <math display="inline">{\boldsymbol K } _ { ij } ^{\prime (e)}</math> para el elemento de viga 3D de dos nodos. Nótese que es una extensión de la matriz de rigidez para el elemento de viga plana de Timoshenko de dos nodos con una cuadratura de un punto (Ec.(2.39)).


<math>~</math> <math>{\boldsymbol K}_{11}^{\prime (e)}=\left[\begin{matrix} \displaystyle {\hat D_a\over l^{(e)}}  & 0 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over l^{(e)}}  & 0 & 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over 2}\\ 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over l^{(e)}} & 0& -\displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_t \over l^{(e)}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 2}  & 0& \left( \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 4}l^{(e)}+ \displaystyle {\hat  D_{b_{y'}} \over l^{(e)}} \right)&0\\ 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over 2} & 0 & 0 &0&\left(\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over  4}l^{(e)}+\displaystyle {\hat  D_{b_{z'}} \over l^{(e)}}\right)&\\ \end{matrix}\right]</math> , <math>{\boldsymbol K}_{12}^{\prime (e)}=\left[\begin{matrix} -\displaystyle {\hat D_a\over l^{(e)}}  & 0 & 0 & 0 & 0& 0\\ 0 & -\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over l^{(e)}} &  0 & 0 & 0& \displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over 2} \\ 0 & 0 & -\displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over l^{(e)}}  & 0& -\displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & -\displaystyle {\hat D_t \over l^{(e)}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 2}  & 0& \left( \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 4}l^{(e)}-\displaystyle {\hat  D_{b_{y'}} \over l^{(e)}} \right)&0\\ 0 & -\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over 2} &  0 &0&0&\left(\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over  4}l^{(e)}-\displaystyle {\hat  D_{bz'} \over l^{(e)}} \right) \end{matrix}\right]</math> <math>{\boldsymbol K}_{22}^{\prime (e)}=\left[\begin{matrix} \displaystyle {\hat {D}_a\over l^{(e)}} & 0  & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over l^{(e)}} & 0 &  0 &0& -\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over 2} &\\ 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over l^{(e)}}  & 0& \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 2} &  0\\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_t \over l^{(e)}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 2}  & 0& \left( \displaystyle {\hat D_{s_{z'}}\over 4}l^{(e)}+\displaystyle \hat  D_{b_{y'}}  \right)& 0\\ 0 & -\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over 2} & 0  & 0 &0&\left(\displaystyle {\hat D_{s_{y'}}\over  4}l^{(e)}+\displaystyle {\hat  D_{b_{z'}} \over l^{(e)}}\right)\\ \end{matrix}\right]</math> <math>{\boldsymbol K}_{21}^{\prime (e)}=[{\boldsymbol K}_{12}^{\prime (e)}]^T</math> <math>~</math>

<span id='theorem-cuadro4.1'></span>'''Cuadro 4.1: '''Matrices de rigidez locales <math display="inline">{\boldsymbol      K}_{ij}^{\prime (e)}</math> de un elemento de viga 3D de Timoshenko de   dos nodos con una cuadratura uniforme de un punto

===4.4.2 Transformaciones de rigidez y de fuerzas===

Antes del ensamblaje es necesario referir todas las variables nodales al punto O sobre el eje neutro. De las Ecs.(4.25) obtenemos (para <math display="inline">y'=z'=0</math>)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}{v'}_= v'_0 - z'_c_c \theta _{\hat x'}\\[.2cm]{ w'}_ w'_0 + y'_c'_c \theta _{\hat x'} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.83)
|}

La relación entre el vector de desplazamientos nodales <math display="inline">{\boldsymbol a'}_{i}</math> y el vector que contiene los GDLs en el punto O (<math display="inline">\bar {\boldsymbol a'}_{i}</math>) es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol a'}_{i} = {\boldsymbol L}_i \bar {\boldsymbol a'}_{i} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.84.a)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar {\boldsymbol a'}_{i}{ = [ u'}_{0_i}{, v'}_{0_i}{, w'}_{0_i},\theta _{{ x'}_{i}},\theta _{{ y'}_i},\theta _{{ z'}_i}]^T \quad \hbox{y}\quad  {\boldsymbol L}_i = \left[\begin{matrix}1&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&{-z'}_{c_i}&0&0\\ 0&0&1&{y'}_{c_i}&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 & 0\\ 0&0&0&0&0&1\\ \end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.84.b)
|}

En la Ec.(4.84b) hemos tomado <math display="inline">\theta _{\hat x'} = \theta _{x'}</math>, como se menciona en el Apartado 4.3.1.

Las fuerzas puntuales nodales se transforman como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar {\boldsymbol p'}_{i} = {\boldsymbol L}_i^T {\boldsymbol p'}_{i} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.85.a)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\bar {\boldsymbol p'}_{i} = [F_{{x'}_i},F_{{y'}_i},F_{{z'}_i},M_{{x'}_i},M_{{y'}_i}, M_{{z'}_i}]^T\\ {\boldsymbol p'}_{i}=[F_{{x'}_i},F_{\hat {y'}_i},F_{\hat {z'}_i},M_{\hat {x'}_i},M_{\hat {y'}_i}, M_{\hat {z'}_i}]^T \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.85.b)
|}

La Ec.(4.85a) se deduce fácilmente si tenemos en cuenta que todas las componentes de <math display="inline">{\boldsymbol p'}_{i}</math> coinciden con las de <math display="inline">{\boldsymbol p'}_{i}</math>, excepto los torsores <math display="inline">M_{{x'}_i}</math> y <math display="inline">M_{\hat {x'}_i}</math> que se relacionan mediante (Figura [[#img-4.17|4.17]])

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>M_{{x'}_i} = M_{\hat {x'}_i}{ - z'}_c F_{\hat {y'}_i}{ + y'}_c F_{\hat {z'}_i} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.85.c)
|}

<div id='img-4.17'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_17.png|479px|Componentes de los vectores de fuerzas nodales puntuales p'<sub>i</sub> y ̄p'<sub>i</sub>]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.17:''' Componentes de los vectores de fuerzas nodales puntuales <math>{\boldsymbol p'}_{i}</math> y <math>\bar {\boldsymbol p'}_{i}</math>
|}

La transformación de la matriz de rigidez local del elemento a ejes globales es como sigue. La matriz <math display="inline">{\boldsymbol K }_{ij}^{\prime (e)}</math> se transforma primero al sistema <math display="inline">x',y',z'</math> situado  en el punto <math display="inline">O</math> sobre el eje neutro como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar {{\boldsymbol K }}^{\prime (e)}_ { ij } = {\boldsymbol L}_i^ {T} {\boldsymbol  K}_{ij}^{'(e)}{\boldsymbol L}_j\quad , ~~i,j=1,2 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.86)
|}

Para elementos rectos <math display="inline">{\boldsymbol L}_i = {\boldsymbol L}_j</math>.

La matriz <math display="inline">\bar{\boldsymbol K}_{ij}^{\prime (e)}</math> se transforma finalmente al sistema cartesiano global <math display="inline">x,y,z</math> como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K}^{(e)}_{ij}={\boldsymbol  T}^{T}_i \bar {\boldsymbol K}_{ij}^{\prime  (e)}{\boldsymbol T}_j \quad  \hbox{con} \quad   {\boldsymbol  T}_i= [{\boldsymbol e}_{1_i},{\boldsymbol e}_{2_i},{\boldsymbol e}_{3_i}] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.87)
|}

donde los vectores <math display="inline">{\boldsymbol e}_{1_i}</math>, <math display="inline">{\boldsymbol e}_{2_i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol e}_{3_i}</math> se definen como se explica en el Apartado 4.4.1.

Las dos transformaciones son equivalentes a usar la siguiente matriz de deformaciones generalizadas

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B}_i={\boldsymbol B'}_i{\boldsymbol L}_i{\boldsymbol T}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.88.a)
|}

con <math display="inline">{\boldsymbol B'}_i</math> dada por la Ec.(4.79). La matriz de rigidez global se calcula por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K } _ { ij } ^{(e)} = \int _ { l ^{(e)} } {\boldsymbol   B } _i^ { \scriptscriptstyle T } \hat {\boldsymbol D } ' {\boldsymbol B } _jdx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.88.b)
|}

La transformación de fuerzas nodales equivalentes a ejes globales sigue pasos similares. Primero se transforman las componente del vector <math display="inline">{\boldsymbol f}^{'(e)}</math> de la Ec.(4.80) a los ejes <math display="inline">x',y',z'</math> por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\bar {\boldsymbol f}^{'(e)}_i= {\boldsymbol L}_i^{T} {\boldsymbol f}^{\prime (e)}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.89)
|}

Las fuerzas nodales equivalentes <math display="inline">\bar {\boldsymbol f}^{(e)}_i</math> se transforman seguidamente al sistema de coordenadas global por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol f}^{(e)}_i = {\boldsymbol T}_i^T \bar{\boldsymbol f}^{'(e)}_i = {\boldsymbol T}_i^T {\boldsymbol L}_i^{T} {\boldsymbol f}^{\prime (e)}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.90)
|}

==4.5 ELEMENTO DE VIGA 3D DE TIMOSHENKO DE DOS NODOS CUASI-EXACTO==

El elemento de viga exacto de Timoshenko de dos nodos del Apartado 2.9 se puede ampliar al caso 3D. El elemento resultante proporciona resultados nodales exactos en el análisis de la flexión de vigas planas rectas 3D bajo cargas actuando en los planos <math display="inline">x'z'</math> y <math display="inline">y'z'</math>. Para cargas arbitrarias (incluyendo torsores) y geometría curva de la viga (discretizada con elementos rectos de dos nodos) los resultados dejan de ser “exactos”. Sin embargo, el elemento tiene un comportamiento excelente para vigas 3D gruesas y esbeltas y estructuras reticulares, y su precisión es normalmente mejor (para un mismo número de elementos) que la del elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos del apartado anterior.

El Cuadro [[#theorem-cuadro4.2|2]] muestra la matriz de rigidez del elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos “cuasi-exacto”.


<math>~</math> <math>\!\!\!\!{\boldsymbol K}_{11}^{\prime (e)}\!\!=\!\!\left[\begin{matrix} \displaystyle {\hat D_a\over l^{(e)}}  & 0 & 0 & 0 & 0& 0\\ 0 &12\phi _{y'} \hat D_{b_{z'}} & 0  & 0 & 0&\displaystyle 6 \phi _{y'}\hat D_{b_{z'}}l^{(e)} \\ 0 & 0 & 0& \displaystyle 12\phi _{z'} \hat D_{b_{y'}}  & -\displaystyle 6 \phi _{z'}\hat D_{b_{y'}}l^{(e)} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_t \over l^{(e)}}& 0 & 0\\ 0 & 0 & -\displaystyle 6 \phi _{z'}\hat D_{b_{y'}}l^{(e)} &0& \displaystyle (4+\beta _{z'}) \hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 &0\\ 0 & \displaystyle 6 \phi _{y'}\hat D_{b_{z'}}l^{(e)}  & 0  & 0 &0&(4+\beta _{y'}) \hat D_{b_{z'}}(l^{(e)})^2\\ \end{matrix}\right]\!\!\!\!\!\!</math> <math>\!\!\!{\boldsymbol K}_{12}^{\prime (e)}\!=\!\left[\begin{matrix} -\displaystyle {\hat D_a\over l^{(e)}} & 0 & 0  & 0 & 0&0\\ 0 &-12\phi _{y'} \hat D_{b_{z'}} & 0  & 0 & 0&\displaystyle 6 \phi _{y'}\hat D_{b_{z'}}l^{(e)} \\ 0 & 0 & \displaystyle -12\phi _{z'} \hat D_{b_{y'}}  & 0& -\displaystyle 6 \phi _{z'}\hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  & 0\\ 0 & 0 & 0 & -\displaystyle {\hat D_t \over l^{(e)}}& 0 & 0\\ 0 & 0 & \displaystyle 6 \phi _{z'}\hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  &0& \displaystyle (2-\beta _{z'}) \hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 &0\\ 0 & -\displaystyle 6 \phi _{y'}\hat D_{b_{z'}}l^{(e)}  & 0 & 0 &0&(2-\beta _{y'}) \hat D_{b_{z'}}(l^{(e)})^2\\ \end{matrix}\right]\!\!\!</math> <math> {\boldsymbol K}_{22}^{\prime (e)}=\left[\begin{matrix} \displaystyle {\hat D_a\over l^{(e)}} & 0 & 0  & 0 & 0&0\\ 0 &12\phi _{y'} \hat D_{b_{z'}} &  0 & 0 & 0& -\displaystyle 6 \phi _{y'}\hat D_{b_{z'}}l^{(e)} \\ 0 & 0 & \displaystyle 12\phi _{z'} \hat D_{b_{y'}}  & 0& \displaystyle 6 \phi _{z'}\hat D_{b_{y'}}l^{(e)} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle {\hat D_t \over l^{(e)}}& 0 & 0\\ 0 & 0 & \displaystyle 6 \phi _{z'}\hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  &0& \displaystyle (4+\beta _{z'}) \hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 &0\\ 0 & -\displaystyle 6 \phi _{y'}\hat D_{b_{z'}}l^{(e)}  & 0 & 0 &0&(4+\beta _{y'}) \hat D_{b_{z'}}(l^{(e)})^2\\ \end{matrix}\right]</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle \beta _{y'}= \frac{12 \hat D_{b_{z'}}}{\hat D_{s_{y'}}(l^{(e)})^2}\quad , \quad \beta _{z'}= \frac{12 \hat D_{b_{y'}}}{\hat D_{s_{z'}}(l^{(e)})^2} </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _{y'}= \frac{1}{(1+\beta _{y'})(l^{(e)})^3}\quad , \quad  \phi _{z'}= \frac{1}{(1+\beta _{z'})(l^{(e)})^3} </math>
|}
|}<math>{\boldsymbol K}_{21}^{\prime (e)}=[{\boldsymbol K}_{12}^{\prime (e)}]^T</math> <math>~</math>

<span id='theorem-cuadro4.2'></span>'''Cuadro 4.2: '''Elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos cuasi-exacto. Matrices de rigidez locales

El vector de fuerzas nodales equivalentes <math display="inline">{\boldsymbol f}^{\prime (e)}</math> para <math display="inline">f_{\hat x'}</math>, <math display="inline">f_{\hat y'}</math>, <math display="inline">f_{\hat z'}</math> y <math display="inline">m_{\hat x'}</math> constantes y <math display="inline">m_{y'}= m_{z'}=0</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol f}^{\prime (e)} = \left\{\begin{matrix}{\boldsymbol f}^{'(e)}_1\\ {\boldsymbol f}^{'(e)}_2\end{matrix}\right\} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.91.a)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol f}_1^{'(e)}= \Bigg[\frac{l^{(e)}}{2}f_{x'},f_{\hat {y'}_1}, f_{\hat {z'}_1}, \frac{l^{(e)}}{2}m_{\hat x'} ,\left(\frac{l^{(e)}}{2}f_{\hat y'}-\int _{l^{(e)}} N_1 F_{\hat y'}dx'\right),</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left(\frac{l^{(e)}}{2}f_{\hat z'}-\int _{l^{(e)}} N_1 F_{\hat z'}dx'\right)\Bigg]^T</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.91.b)
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\boldsymbol f}_2^{'(e)}=  \displaystyle \Bigg[\frac{l^{(e)}}{2}f_{\hat x'}, \left(-f_{\hat {y'}_1} + \int _{l^{(e)}} f_{\hat y'}dx'\right), \left(-f_{\hat {z'}_1}+\int _{l^{(e)}} f_{\hat z'}dx'\right), \frac{l^{(e)}}{2} m_{\hat x'} , </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>   \displaystyle \left(\frac{l^{(e)}}{2}f_{\hat {y'}_1}-\int _{l^{(e)}} N_2 F_{\hat y'}dx'\right),\left(\frac{l^{(e)}}{2}f_{\hat {z'}_1}-\int _{l^{(e)}} N_2 F_{\hat z'}dx'\right)\Bigg]^T </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.91.c)
|}
|}

En la obtención de las Ecs.(4.91) hemos supuesto que <math display="inline">f_{x'}</math> y <math display="inline">m_{\hat x'}</math> son constantes a lo largo del elemento. También

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>N_1=1 - \frac{x'}{l^{(e)}}\quad ,\quad N_2=\frac{x'}{l^{(e)}}\quad ,\quad F_\alpha =\int _0^{x'} f_\alpha dx' \quad , \quad \alpha = \hat y',\hat z' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.92)
|}

En las Ecs.(4.91b,c), <math display="inline">f_{\hat {y'}_1},f_{\hat {z'}_1}</math> se deducen de las Ecs.(2.94b) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{\hat {y'}_1} = \frac{1}{l^{(e)}(1+\beta _{y'})} \int _{l^{(e)}} (6N_m+ \beta _{y'}) F_{\hat y'}dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.93.a)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{\hat {z'}_1} = \frac{1}{l^{(e)}(1+\beta _{z'})} \int _{l^{(e)}} (6N_m+ \beta _{z'}) F_{\hat z'}dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.93.b)
|}

donde <math display="inline">F_{\hat y'}</math> y <math display="inline">F_{\hat z'}</math> se deducen de la Ec.(2.87), <math display="inline">N_m = \left(1-\frac{x'}{l^{(e)}}  \right)\frac{x'}{l^{(e)}}</math> y <math display="inline">\beta _{y'},\beta _{z'}</math> se dan en la Figura [[#img-4.2|4.2]].

La expresión de <math display="inline">{\boldsymbol f'}^{(e)}_1</math> y <math display="inline">{\boldsymbol f'}^{(e)}_2</math> para cargas distribuidas uniformes y triangulares y para cargas puntuales se puede deducir de la Tabla 2.2.

Si se desprecian los efectos de deformación de cortante, entonces <math display="inline">\beta _{y'}=\beta _{z'}=0</math> y los vectores <math display="inline">\mathbf{f}^{\prime (e)}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol f'}^{(e)}_2</math> de la Ec.(4.91) son

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol f'}^{(e)}_1= \frac{l^{(e)}}{2} \Bigg[f_{x'},f_{\hat y'}, f_{\hat z'}, m_{\hat x'},-f_{\hat z'}\frac{l^{(e)}}{6}, f_{\hat y'}\frac{l^{(e)}}{6}\Bigg]^T</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.94.a)
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\boldsymbol f'}^{(e)}_2= \frac{l^{(e)}}{2} \Bigg[f_{x'},f_{\hat y'}, f_{\hat z'},m_{\hat x'},f_{\hat z'}\frac{l^{(e)}}{6},-f_{\hat y'}\frac{l^{(e)}}{6}\Bigg]^T </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.94.b)
|}
|}

==4.6 ELEMENTOS DE VIGA DE TIMOSHENKO CURVOS==

La formulación anterior es aplicable a vigas 3D moderadamente curvas, es decir, cuando <math display="inline">{a\over R}\ll 1</math>, donde <math display="inline">R</math> es el radio de curvatura de la línea de referencia de la viga y <math display="inline">a</math> es una dimensión característica de la sección.

La linea curva se aproxima por una interpolación isoparamétrica usando elementos 1D curvos de <math display="inline">n</math> nodos [On4]. El vector tangente unitario <math display="inline">{\boldsymbol e}_1 </math> en un punto se obtiene como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol e } _ { \scriptscriptstyle 1 } = {{ 1 }\over  \vert {{  \partial {\boldsymbol x } }\over  \partial s } \vert } {{ \partial {\boldsymbol   x } }\over  \partial {\boldsymbol s } } = {{ 1 }\over  \vert \sum ^n_{  i= { \scriptscriptstyle 1 } } {{ \partial N_i }\over  \partial s  } x _i\vert } \sum ^n_ { i= { \scriptscriptstyle 1 } } {{  \partial {N } _i }\over  \partial s } x_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.95)
|}

Para los nodos extremos compartidos por dos elementos, el vector tangente nodal <math display="inline">{\boldsymbol e}_{1_i}</math> se obtiene por un simple promedio.

Los vectores unitarios <math display="inline">{\boldsymbol e}_{2_i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol e}_{3_i}</math> se definen nodalmente en las direcciones principales <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> para cada sección nodal respectivamente. La posición de los vectores <math display="inline">{\boldsymbol e}_1, {\boldsymbol e}_2</math> y <math display="inline">{\boldsymbol e}_3</math> dentro del elemento se obtiene mediante la Ec.(4.76).

Las expresiones del elemento se deducen de las de vigas rectas sustituyendo la derivada <math display="inline">{{\partial N_i}\over \partial x'}</math> por <math display="inline">{{\partial N_i}\over \partial s}</math> y <math display="inline">dx'</math> por <math display="inline">ds</math>, donde <math display="inline">s</math> es la coordenada curvilínea. Las derivadas curvilíneas se calculan como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{\partial N_i}\over \partial s}={{\partial N_i}\over \partial \xi } {{\partial \xi }\over \partial s}={1\over J}{{\partial N_i}\over \partial  \xi } </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.96)
|}

donde <math display="inline">J={{\partial s}\over \partial \xi }</math> se obtiene de la descripción isoparamétrica empleando la Ec.(4.74) (ver también el Apartado 9.8.2). Las integrales del elemento se evalúan numéricamente teniendo en cuenta que <math display="inline">ds=Jd\xi </math>.

La formulación curvilínea de vigas curvas coincide con la desarrollada en el Capítulo 9 como un caso particular de elementos de lámina de revolución curvos (Apartado 9.8). En el Apartado 4.12 se presenta una formulación general para vigas 3D curvas obtenida por degeneración de elementos de sólido.

==4.7 VIGAS 3D DE EULER-BERNOULLI. TEORÍA DE SAINT-VENANT==

Se pueden desarrollar elementos de viga 3D de Sain-Venant según la teoría de Euler-Bernoulli a partir de la formulación del apartado anterior, imponiendo simplemente que los giros locales <math display="inline">\theta _{y'}</math> y <math display="inline">\theta _{z'}</math> coincidan con las   pendientes del eje neutro. Con el criterio de signos de la Figura [[#img-4.9|4.9]],

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\theta _{z'}={{\partial {v'}_c}\over \partial x'}\quad \hbox{ y }\quad  \theta _{y'}= - {{\partial {w'}_c}\over \partial x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.97)
|}

Sustituyendo estas expresiones en las Ecs.(4.27) se obtiene el campo de deformaciones locales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\varepsilon _ {  x' } =\displaystyle  {{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial x' } - z' {{ \partial {^2w'}_c }\over  \partial   x^{\prime 2} } -  y' {{ \partial {^2 v'}_c  }\over   \partial x ^{\prime 2}} \\[.5cm] \gamma _ {  x'  y' }   =\displaystyle  \left[{{ \partial \omega }\over  \partial  y' }{ - (z'-  z'}_c)\right]{{ \partial \theta _ { \hat x'} } \over  \partial x' }\\[.5cm] \gamma _ { x' z'}  = \displaystyle \left[{{ \partial   \omega }\over  \partial  z' }{ + (y'- y'}_c)\right]{{ \partial    \theta _ {\hat x'}} \over  \partial x' } \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.98)
|}

es decir, las deformaciones de cortante  son debidas únicamente a la torsión (un estado de flexión no induce deformaciones de cortante). Los vectores de deformaciones generalizadas locales y de esfuerzos son

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \hat{\boldsymbol \varepsilon }'  = \left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial x' }, {{ \partial {^2w'}_c }\over  \partial   x^{\prime 2} }, {{ \partial {^2 v'}_c  }\over   \partial x ^{\prime 2 }},{{ \partial   \theta _{\hat x'}}\over  \partial x' }\right]^{\scriptscriptstyle T}\\[.7cm] \displaystyle \hat{\boldsymbol \sigma }'=[N,~M_{y'},M_{z'},~M_{\hat x'}]^{ \scriptscriptstyle T} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.99)
|}

La nueva forma de la matriz <math display="inline">{\boldsymbol S}_1</math> de la Ec.(4.29) es

<span id="eq-4.100"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol S}_1= \left[\begin{matrix}1&0&0& -z'& -y' &0\\ 0&0&0&0&0& A&\\ 0&0&0&0&0&B&\end{matrix}\right]  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.100)
|}

con <math display="inline">A = {{\partial \omega }\over \partial y'}{-(z'-z'}_c)</math> y <math display="inline">B={\partial \omega \over \partial z'}{+(y'-y'}_c)</math>. Se introducen cambios similares en <math display="inline">{\boldsymbol S}_2</math> y <math display="inline">{\boldsymbol S}_1</math> de las Ecs.(4.31) y (4.39b).

Los  cortantes <math display="inline">Q_{y'}</math> y <math display="inline">Q_{z'}</math> se calculan ''a posteriori'' a partir de la distribución de tensiones tangenciales debidas a la flexión siguiendo procedimientos de  Resistencia de Materiales [Ti2,3]. El PTV viene dado por la Ec.(4.73). Se requieren aproximaciones por elementos finitos de continuidad <math display="inline">C^1</math> para <math display="inline">{v'}_c</math> y <math display="inline">{w'}_c</math> debido a la presencia de sus segundas derivadas en <math display="inline">\hat{\boldsymbol \varepsilon } '</math>.

El elemento de viga 3D de Euler-Bernoulli más sencillo tiene dos nodos y emplea una interpolación lineal <math display="inline">C^0</math> para el desplazamiento axial <math display="inline">{u'}_0</math> y el giro torsor <math display="inline">\theta _{x'}</math>, y una aproximación de Hermite de continuidad <math display="inline">C^1</math> para <math display="inline">{v'}_c</math>

y <math display="inline">{w'}_c</math>. La interpolación del campo de desplazamientos se escribe como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\boldsymbol u }'  = \left\{\begin{matrix}{ u'}_0 \\{  v'}_c\\{ w'}  c \\ \theta _ {\hat x' } \end{matrix} \right\}  = \sum ^ { \scriptscriptstyle 2 } _ { i= { \scriptscriptstyle   1 } } \left[\begin{matrix} N_i&0&0&0&0 &0\\ 0&N_i^ { \scriptscriptstyle   H } &0&0&0& \bar N_i^ { \scriptscriptstyle H } \\ 0&0&N_i^ { \scriptscriptstyle H } &0&- \bar N_i^ { \scriptscriptstyle   H } &0\\  0&0&0&N_i &0&0\end{matrix}  \right] \left\{\begin{matrix} \bar   u' _ { 0 _i } \\{  v'}_ {c_i } \\{  w'}_ {c _i } \\  \theta _{ \hat {x'}_i }\\ \theta _ {{ y'}_i } \\ \theta _{{ z'}_i }\\  \end{matrix}  \right\}= \sum ^ { \scriptscriptstyle   2 } _ { i= { \scriptscriptstyle 1 } } {\boldsymbol N } _i {\boldsymbol a }^{\prime (e)} _i </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{~~~} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.101)
|}

donde <math display="inline">N_i={1\over 2}(1+\xi \xi _i)</math>, <math display="inline">N_i^{ \scriptscriptstyle H }</math> y <math display="inline">{\bar N}_i^{ \scriptscriptstyle H }</math> son las funciones de forma cúbicas Hermíticas (Ec.(1.11a)). El signo negativo en <math display="inline">{\bar N}_i^{ \scriptscriptstyle H }</math> en la tercera fila de <math display="inline">{\boldsymbol N } _i</math> es consecuencia de la definición de <math display="inline">\theta _{y'}</math> (Ec.(4.97)). Sustituyendo la Ec.(4.101) en (4.99) se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\hat{\boldsymbol \varepsilon }}'= \sum \limits ^2_{i=1} \left[\begin{matrix} \displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial   x' } &0&0&0&0& 0\\ 0&0&\displaystyle  {{ \partial ^2 N_i^H }\over  \partial x^{'2}}&0& \displaystyle -{{ \partial ^2 \bar N_i^H }\over  \partial x^{'2}}&0 \\ 0&\displaystyle {{ \partial ^2 N_i^H }\over  \partial x^{'2} } &0&0&0& \displaystyle {{ \partial ^2 \bar N_i^H }\over \partial x^{'2} }\\   0&0&0&\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' }&0&0 \end{matrix}  \right]{\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i=\sum \limits ^2_{i=1}{\boldsymbol B'}_i{\boldsymbol a'}_i </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{~~~} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.102)
|}

La matriz de rigidez local del elemento se da en la Ec.(4.80). La integración explícita es posible y la expresión resultante coincide con la del análisis estructural matricial clásico (Cuadro [[#theorem-cuadro4.3|3]]). La matriz <math display="inline">{\boldsymbol K}_{ij}^{\prime (e)}</math> se puede deducir despreciando los efectos de la deformación de cortante (es decir, haciendo <math display="inline">\beta _{y'}=\beta _{z'}=0</math>) en las expresiones del Cuadro 4.2. La transformación a ejes globales sigue los mismos pasos del Apartado 4.4.2.

El vector de fuerzas nodales equivalentes se presenta en la Ec.(4.80). Las cargas distribuidas inducen ahora momentos flectores debido a la interpolación Hermítica de <math display="inline">v^\prime _c</math> y <math display="inline">w^\prime _c</math>, similarmente a  los elementos de viga de Euler-Bernoulli. El vector <math display="inline">{\boldsymbol    f}^{\prime (e)}_i</math> para una carga uniformemente distribuida coincide con las Ecs.(4.93).

La formulación de elementos de viga curvos de Euler-Bernoulli usando una descripción curvilínea sigue lo explicado en el Apartado 4.6.

El elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos se puede mejorar empleando una interpolación Hermítica de la geometría. Esto es una aproximación mejor para vigas curvas y normalmente se combina con una interpolación de Hermite para el desplazamiento axial. La aproximación de mayor orden hace más difícil obtener una forma explícita de la matriz de rigidez del elemento.


<math>{\boldsymbol K}_{11}^{\prime (e)}= \displaystyle \frac{1}{(l^{(e)})^3}\left[\begin{matrix} \displaystyle \hat D_a (l^{(e)})^2  & 0 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 &12 \hat D_{b_{z'}} &  0 & 0 & 0 &\displaystyle 6 \hat D_{b_{z'}}l^{(e)} \\ 0 & 0 & \displaystyle 12 \hat D_{b_{y'}}  & 0& -\displaystyle 6 \hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  & 0\\  0&0&0&\displaystyle \hat D_t (l^{(e)})^2 & 0 & 0\\  0 & 0 & -\displaystyle 6 \hat D_{b_{y'}}l^{(e)} &0& \displaystyle 4\hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 &0\\ 0 & \displaystyle 6 \hat D_{b_{z'}}l^{(e)}  & 0  & 0 &0& 4 \hat D_{b_{z'}}(l^{(e)})^2\\ \end{matrix}\right]</math> , <math>{\boldsymbol K}_{12}^{\prime (e)}= \displaystyle \frac{1}{(l^{(e)})^3}\left[\begin{matrix} -\displaystyle \hat D_a (l^{(e)})^2 & 0  & 0 & 0 & 0& 0\\ 0 &-12\hat D_{b_{z'}} & 0  & 0 &0&  \displaystyle 6 \hat D_{b_{z'}}l^{(e)}\\ 0 & 0 & \displaystyle -12 \hat D_{b_{y'}}  & 0& -\displaystyle 6 \hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  & 0\\  0&0&0&-\displaystyle \hat D_t (l^{(e)})^2&0&0\\ 0 & 0 & \displaystyle 6 \hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  &0& \displaystyle 2 \hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 &0\\ 0 & -\displaystyle 6 \hat D_{b_{z'}}l^{(e)}  & 0 & 0 &0&2\hat D_{b_{z'}}(l^{(e)})^2\\ \end{matrix}\right]</math> <math> {\boldsymbol K}_{22}^{\prime (e)}=\displaystyle \frac{1}{(l^{(e)})^3}\left[\begin{matrix} \displaystyle \hat D_a (l^{(e)})^2 &  0 & 0 & 0 & 0& 0\\ 0 &12\hat D_{b_{z'}} & 0  & 0 & 0& -\displaystyle 6 \hat D_{b_{z'}}l^{(e)} \\ 0 & 0 & \displaystyle 12 \hat D_{b_{y'}}  & 0& \displaystyle 6 \hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  & 0\\  0&0&0&\displaystyle \hat D_t (l^{(e)})^2&0&0\\ 0 & 0 & \displaystyle 6 \hat D_{b_{y'}}l^{(e)} &0& \displaystyle 4\hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 &0\\ 0 & -\displaystyle 6 \hat D_{b_{z'}}l^{(e)}  & 0  & 0 &0&4\hat D_{b_{z'}}(l^{(e)})^2\\ \end{matrix}\right]</math> <math>{\boldsymbol K}_{21}^{'(e)}=[{\boldsymbol K}_{12}^{'(e)}]^T\quad ,\quad  \bar {\boldsymbol K}_{ij}^{'(e)}= {\boldsymbol L}^T  {\boldsymbol K}_{ij}^{\prime }{\boldsymbol L} \quad ,\quad {\boldsymbol L}={\boldsymbol L}_i = {\boldsymbol L}_j</math> (Ec.(4.84b))

<span id='theorem-cuadro4.3'></span>'''Cuadro 4.3: '''Matriz de rigidez local de un elemento de viga 3D de Euler-Bernoulli de dos nodos

Los elementos de viga de Euler-Bernoulli, por su propia naturaleza, están libres del efecto de bloqueo por cortante, aunque en su versión curva pueden sufrir del bloqueo de membrana inducido por los efectos axiales. El remedio es usar una aproximación de mayor orden para el desplazamiento axial e integración uniforme reducida para toda la matriz de rigidez (Apartado 9.15).

Los elementos de viga 3D de Euler-Bernoulli coinciden en su versión plana con los de arco plano que se estudian en el Apartado 9.9.3.2 como un caso particular de los elementos de de revolución curvos delgados.

==4.8 EMPARRILLADOS PLANOS==

Es habitual encontrar estructuras formadas por un ensamblaje de vigas tal que:

* las vigas están unidas por sus centros de gravedad   situados en el mismo plano global <math display="inline">xy</math>;
* las vigas están orientadas de tal manera que el plano <math display="inline">xy</math>   coincide con el plano de simetría <math display="inline">x'y'</math> (<math display="inline">{z'}_= =0</math>) de todas las   vigas. El eje principal <math display="inline">z'</math> es paralelo al eje <math display="inline">z</math> global.

<div id='img-4.18'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_18.png|600px|Modelo de emparrillado plano. Sección equivalente de una     viga del emparrillado]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.18:''' Modelo de emparrillado plano. Sección equivalente de una     viga del emparrillado
|}

Este tipo de estructura se llama ''emparrillado plano''. Los modelos de emparrillado plano se usan habitualmente para el análisis de ensamblajes tipo losa-viga en puentes y forjados de edificios, entre otras aplicaciones. La Figura [[#img-4.18|4.18]] muestra un ejemplo esquemático de un emparrillado plano esviado.

La Figura [[#img-4.19|4.19]] muestra los ejes globales para una viga en un emparrillado plano. Cada viga está sometida a fuerzas concentradas o distribuidas en la dirección <math display="inline">z</math> actuando sobre el eje elástico (incluida la flexión en el plano <math display="inline">x'z'</math>) y a torsores alrededor del eje <math display="inline">\hat x'</math>. Por lo tanto, las variables cinemáticas satisfacen

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{u'}_0=v'=\theta _{z'}=0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.103)
|}

El campo de desplazamientos se expresa como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}{' = [w'}_c,\theta _{\hat x'},\theta _{y'}]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.104)
|}

El vector de deformaciones generalizadas locales y el vector de esfuerzos son

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \varepsilon }'  = \left[\left(\displaystyle {{ \partial {  w'}_c }\over  \partial x }+\theta _{y'}\right),{{ \partial   \theta _{y'}}\over  \partial y' },\displaystyle {{ \partial   \theta _{\hat x'}}\over  \partial x' }  \right]^{\scriptscriptstyle T}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.105)
|-
| style="text-align: center;" | <math> \hat{\boldsymbol \sigma }'= [Q_{z'},M_{y'},M_{\hat x'}]^{ \scriptscriptstyle T} </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.106)
|}
|}

La matriz constitutiva generalizada es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol D}' = \left[\begin{matrix}\hat D_{s_{z'}} &0&\vdots &0\\ 0& \hat D_{b_{y'}}&\vdots &0\\ \cdots & \cdots &\cdots &\cdots \\ 0&0& \vdots & \hat D_t \end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.107)
|}

<div id='img-4.19'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_19.png|596px|Ejes locales y globales de una viga en un emparrillado plano]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.19:''' Ejes locales y globales de una viga en un emparrillado plano
|}

La expresión del PTV se da en la Ec.(4.73). La interpolación de los movimientos en el elemento de emparrillado plano de dos nodos se escribe por la Ec.(4.77) con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol a}^{\prime (e)}{_i = [w'}_{c_i}, \theta _{\hat {x'}_i}, \theta _{{y'}_i} ]^{ \scriptscriptstyle T} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.108)
|}

La matriz de deformaciones generalizadas es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B'}_i=\left[\begin{matrix}\displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' }  & 0& N_i\\ 0& 0& \displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial y' } \\ 0& \displaystyle {{ \partial N_i }\over  \partial x' }&0  \end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.109)
|}

La matriz local de rigidez <math display="inline">{\boldsymbol K }_{ ij }^{\prime (e)}</math> de un elemento de viga de emparrillado plano de Timoshenko de dos nodos se deduce del Cuadro [[#theorem-cuadro4.1|1]] como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K }_{ ij }^{\prime (e)} = \left[\begin{matrix}\alpha _{ij} \hat D_{sz'} & 0& \beta _i \hat D_{sz'} \\ 0&\alpha _{ij}\hat D_t &    0\\ \beta _j \hat D_{sz'}&0 &     \left(\displaystyle {{\hat D_{sz'}}\over 4} + \alpha _{ij} \hat D_{by'}\right)\\ \end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.110.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\alpha _{ij} = {(-1)^{i+j} \over l^{(e)}}\,,\, \beta _i = {(-1)^i \over 2}\quad    i,j=1,2 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.110.b)
|}

El Cuadro [[#theorem-Cuadro4.4|4]]  muestra la matriz de rigidez local de los elementos de viga de Timoshenko y Euler-Bernoulli de dos nodos ''cuasi-exactos'' para emparrillados planos. Estas matrices se pueden deducir de las expresiones de los Cuadros [[#theorem-cuadro4.2|2]] y [[#theorem-cuadro4.3|3]], respectivamente.

Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos cuasi-exacto para   emparrillado plano

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\boldsymbol K }_{ ij }^{\prime (e)} = \left[\begin{matrix} 12\phi _{z'}  \alpha _{ij} \hat D_{b_{y'}}& 0& \displaystyle 6 \phi _{z'}\hat \beta _i D_{b_{y'}}l^{(e)}\\[.3cm] 0 &\displaystyle { \alpha _{ij}\over l^{(e)}}\hat D_t & 0\\[.3cm] \displaystyle 6 \phi _{z'} \beta _j \hat D_{b_{y'}}l^{(e)} &0 & \left(c_j + \phi _{z'}\alpha _{ij}\right)\hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 \\ \end{matrix}\right]\quad i,j=1,2 </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \phi _{z'} = \frac{1}{(1+\beta _{z'})(l^{(e)})^3}\quad ,\quad \beta _{z'}= \frac{12 \hat D_{b_{y'}}}{\hat D_{s_{z'}} (l^{(e)})^2} </math>
|}
|}Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos cuasi-exacto para   emparrillado plano

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\boldsymbol K }_{ ij }^{\prime (e)} = \displaystyle \frac{1}{(l^{(e)})^3} \left[\begin{matrix} 12 \alpha _{ij}\hat D_{b_{y'}}  & 0& \displaystyle 6 \beta _i  \hat D_{b_{y'}}l^{(e)} \\[.3cm] 0 &\displaystyle {\alpha _{ij} \over l^{(e)}}\hat D_t & 0 \\[.3cm] \displaystyle 6 \beta _j\hat D_{b_{y'}}l^{(e)}  &0& c_j \beta _j \hat D_{b_{y'}}(l^{(e)})^2 \\ \end{matrix}\right]\quad i,j=1,2 </math>
|}
|}

En ambos casos

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \alpha _{ij} = (-1)^{i+j}\quad ,\quad \beta _i =(-1)^i  \quad ,\quad c_j = \begin{cases}4 & j=1\\ 2 & j=2\end{cases} </math>
|}
|}<br/>

<span id='theorem-Cuadro4.4'></span>'''Cuadro 4.4: '''Emparrillado plano. Matrices de rigidez de los elementos de viga de Timoshenko y Euler-Bernoulli de dos nodos cuasi-exactos<br/>

La matriz de rigidez global viene dada por las Ecs.(4.86)&#8211;(4.87) con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol L}_i = {\boldsymbol L}_j = \left[\begin{matrix}1 &{ y'}_{c_i} &0\\ 0 & 1 & 0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right] \quad \hbox{y}\quad {\boldsymbol T}_i = {\boldsymbol T}_j = \left[\begin{matrix}1 & 0 &0\\ 0 & C & -S\\ 0&S&C \end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.111)
|}

donde <math display="inline">C = \cos \alpha , S=\operatorname{sen}\alpha </math> y <math display="inline">\alpha </math> es el ángulo que el eje neutro (<math display="inline">x'</math>) forma con el eje <math display="inline">x</math> global (Figura [[#img-4.18|4.18]]).

El vector de fuerzas nodales equivalentes para cargas distribuidas se calcula en ejes globales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol f}_i^{(e)}= {\boldsymbol T}_i {\boldsymbol L}_i^{T}  {\boldsymbol f}_i^{\prime (e)}\quad \hbox{con}\quad     {\boldsymbol f}_i^{\prime (e)}=\int _{l^{(e)}} N_i \left\{\begin{matrix}f_{\hat z'} \\ m_{\hat x'} \\m_{y'} \end{matrix}\right\}dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.112)
|}

Para carga uniformemente distribuida, <math display="inline">{\boldsymbol f}_i^{\prime (e)}= {l^{(e)}\over 2} [f_{\hat z'},m_{\hat x'},m_{y'}]^T</math>.

Recuérdese que las fuerzas verticales <math display="inline">f_{\hat z'}</math> y el torsor distribuido <math display="inline">m_{\hat x'}</math> actúan en el eje elástico <math display="inline">\hat x'</math> (Figura [[#img-4.15|4.15]]).

==4.9 EJEMPLOS DEL COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE VIGA 3D DE TIMOSHENKO==

El primer ejemplo es el análisis de una viga en voladizo circular de sección rectangular con una carga puntual actuando en el extremo libre. La Figura&nbsp;[[#img-4.20|4.20]] muestra la geometría y las diferentes soluciones para la flecha en el extremo con las siguientes mallas de elementos de viga 3D de Timoshenko: diez elementos de dos nodos (lineales) y un solo elemento de seis nodos (quíntico). La solución numérica en el segundo caso coincide prácticamente con la analítica [Ji,Ti3].

<div id='img-4.20'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_20.png|600px|Viga en voladizo con carga puntual sobre el extremo     libre. Flecha en el extremo libre para mallas de diez elementos de dos     nodos y un elemento de seis nodos de Timoshenko. Dimensiones en     pulgadas y fuerzas en libras]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.20:''' Viga en voladizo con carga puntual sobre el extremo     libre. Flecha en el extremo libre para mallas de diez elementos de dos     nodos y un elemento de seis nodos de Timoshenko. Dimensiones en     pulgadas y fuerzas en libras
|}

El segundo ejemplo es la viga helicoidal biempotrada mostrada en la Figura [[#img-4.21|4.21]]. Se considera la carga por peso propio. La Tabla [[#table-4.2|4.2]] muestra la convergencia de la flecha central y los máximos y mínimos de algunos esfuerzos para diferentes mallas de elementos de viga 3D de Timoshenko: lineal recto <math display="inline">(n=2)</math> y cuadrático <math display="inline">(n=3)</math>, cúbico <math display="inline">(n=4)</math>, cuártico <math display="inline">(n=5)</math> y quíntico <math display="inline">(n=6)</math> curvos. Nótese la mayor precisión de los elementos curvos para mallas gruesas (en particular para predecir el torsor máximo).

La eficiencia computacional del elemento curvo se puede mejorar condensando los GDLs internos antes de proceder a la solución global.

<div id='img-4.21'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_21.png|237px|Viga biempotrada helicoidal de sección cuadrada bajo peso     propio. E=2.1×10⁶ &nbsp;Kg/cm², ν=0.5 y peso especifico = 2.5&nbsp; T/m³]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.21:''' Viga biempotrada helicoidal de sección cuadrada bajo peso     propio. <math>E=2.1\times 10^6</math> &nbsp;Kg/cm<math>^2</math>, <math>\nu =0.5</math> y <math>\hbox{peso especifico} = 2.5</math>&nbsp; T/m<math>^3</math>
|}


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: right; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-4.2'></span>Tabla. 4.2 Viga biempotrada helicoidal de sección cuadrada bajo peso     propio. Convergencia de la flecha central y máximos y mínimos de     algunos esfuerzos usando diferentes mallas de     elementos de viga 3D de Timoshenko de dos, tres, cuatro, cinco y seis nodos
|-
| colspan='1' style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| colspan='1' style="text-align: center;border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| colspan='4' style="text-align: center;border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Número   de elementos
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  Variable 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | No. de nodos
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 8 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 16 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 32
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.282 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.341 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.360 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.365
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>w</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.054 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.366 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>(\beta =120^{\scriptscriptstyle {o}})</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 4 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.286 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 5 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.361 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 6 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.366 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.367 
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.171 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.181 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.171 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.170 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>N_{\scriptscriptstyle {max}}</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.060 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.147 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.153 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.156 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>(\beta =240^{\scriptscriptstyle {o}}</math>) 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 4 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.138 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.157 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.157 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 5 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.169 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 6 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.160 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.158 
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.501 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.572 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.691 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.601 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>Q_{{\bar z}_{max}}</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.688 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.628 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.617
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.613 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>(\beta =0^{\scriptscriptstyle {o}}</math>) 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 4 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.625 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.613 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 5 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.599 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 6 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.610 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 1.612
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.262 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.072 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.081 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.162 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>T_{\scriptscriptstyle {max}}</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.103 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.251 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.256 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>(\beta =240^{\scriptscriptstyle {o}}</math>) 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 4 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.249 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.257 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 5 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.249 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 6 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.251 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.255
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.581 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.753 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.801 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.810 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>M_{{\bar y}_{max}}</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.514 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.798 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.815 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>(\beta =120^{\scriptscriptstyle {o}}</math>) 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 4 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.763 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 5 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.813 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 6 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.816 
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.132 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.181 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.151 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.110
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>M_{{\bar y}_{min}}</math>
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -1.515 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.025 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.058 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.060
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>(\beta =0^{\scriptscriptstyle {o}}</math>) 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 4 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -1.815 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.059 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.061 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.060 
|-
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 5 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.027 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.060 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.060 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.060
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 
| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 6 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.060 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -2.060 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.060 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2.060

|}<br/>

==4.10 VIGAS CON SECCIÓN  DE PARED DELGADA ABIERTA==

Cuando una viga de pared delgada se somete a un torsor, se generan tensiones tangenciales. A su vez, estas tensiones  causan una deformación de la sección fuera del plano denominada ''alabeo''. Aunque la magnitud de los desplazamientos de alabeo es normalmente pequeña, pueden tener influencia en el comportamiento torsional de la estructura.

Los efectos de alabeo son particularmente relevantes en secciones de pared delgada abierta sometidas a torsión no uniforme, o a torsión uniforme coaccionada. En ambos casos, la tasa de torsión varía a lo largo del eje de la viga. Esto contrasta con la teoría de Saint-Venant estudiada en el Apartado 4.3 que supone que la tasa de torsión es constante a lo largo de la viga.

El alabeo también puede aparecer en secciones  de pared delgada cerrada sometidas a torsión no uniforme. Estos efectos son menos relevantes que para las secciones abiertas y este problema no se considerará aquí. El lector interesado puede consultar a la literatura sobre el tema [BB,BC,BLD,BT2,OR,Pi,Vl].

A continuación desarrollaremos una formulación de elementos finitos para  análisis de vigas con sección  de pared delgada abierta ''sometidas a efectos axiles y flectores y que tenga en cuenta el alabeo''. Se supone que la cinemática sigue la teoría de vigas de Timoshenko (Capítulo 2).

===4.10.1 Descripción geométrica===

Consideremos una viga recta de sección  de pared delgada abierta de longitud <math display="inline">L</math> con propiedades geométricas y del material independientes de la coordenada <math display="inline">x'</math>. Supondremos que el eje neutro <math display="inline">x'</math> y los ejes principales <math display="inline">y'</math> y <math display="inline">z'</math> son conocidos (origen en el punto <math display="inline">O</math>), así como la posición del centro de esfuerzos cortantes y las coordenadas del eje elástico local (<math display="inline">{y'},0,0</math>). La pared delgada se define por una superficie media parametrizada por la coordenada <math display="inline">s</math> con <math display="inline">0\le s\le  L_s</math> y por el espesor de la pared <math display="inline">t</math> que se supone constante por simplicidad. Los puntos extremos en <math display="inline">s=0</math> y <math display="inline">s=L_s</math> son <math display="inline">D</math> y <math display="inline">F</math>, respectivamente (Figura [[#img-4.22|4.22]]).

<div id='img-4.22'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_22.png|343px|Sección tubular de pared delgada abierta ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.22:''' Sección tubular de pared delgada abierta 
|}

La posición de un punto arbitrario <math display="inline">p</math> en la línea media se define en el sistema cartesiano fijo <math display="inline">{\boldsymbol i},{\boldsymbol j},{\boldsymbol k}</math> por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol r}{_p = y'}_p(s) {\boldsymbol j}{ + z'}_p (s) {\boldsymbol k} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.113)
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>ds = (dy^{\prime 2}_p + dz^{\prime 2}_p)^{1/2} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.114)
|}

El vector tangente a la línea media en <math display="inline">p</math> es (por componentes)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol t}= {\partial {\boldsymbol r}_p\over \partial s} = {\partial {y'}_p\over \partial    s}{\boldsymbol j} + {\partial {z'}_p\over \partial  s}{\boldsymbol k} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.115)
|}

El vector normal unitario en <math display="inline">p</math> se define como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol n} ={\boldsymbol i} \times \vec{{\boldsymbol t}} =n_{y'} {\boldsymbol j} + n_{z'} {\boldsymbol  k} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.116.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>n_{y'} = - {\partial {z'}_p\over \partial  s}\quad , n_{z'} = {\partial {y'}_p\over \partial    s} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.116.b)
|}

La posición de un punto arbitrario <math display="inline">q</math> en el espesor se define por la coordenada de espesor <math display="inline">\zeta </math> (Figura [[#img-4.22|4.22]]b). En el sistema cartesiano fijo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol r}_{q} = {\boldsymbol r}_p + \zeta {\boldsymbol n} \quad ;\quad -{t\over 2} \le  \zeta \le {t\over 2} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.117)
|}

Las coordenadas del punto <math display="inline">q</math> (<math display="inline">{y'}_qz'_q_q) \equiv (y',z')</math> se pueden expresar en el sistema <math display="inline">\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>y'(s,\zeta {) = y'}_p (s)  + \zeta n_{y'} (s) \quad ; \quad z'(s,\zeta {) = z'}_p (s)  + \zeta n_{z'} (s) </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.118)
|}

Finalmente, definimos el vector <math display="inline">\boldsymbol c</math> que une el centro de esfuerzos cortantes <math display="inline">C</math> y el punto <math display="inline">p</math> sobre la línea media (Figura [[#img-4.22|4.22]]b). El vector tangente <math display="inline">\boldsymbol t</math> también se puede obtener en función del vector <math display="inline">\boldsymbol c</math> como <math display="inline">{\boldsymbol t}= \frac{d{\boldsymbol c}}{ds}</math>.

===4.10.2 Hipótesis cinemáticas. Teoría de Timoshenko===

Como ya se ha mencionado, un torsor actuando en una sección de paredes delgadas abierta puede producir un desplazamiento axial significativo debido al alabeo. Si el alabeo se coacciona debido, por ejemplo, a la presencia de rigidizadores o extremos empotrados ''la torsión   inducirá una tensión axil'' <math display="inline">\sigma _{x'} (x',s,\zeta )</math> que se deberá añadir a las tensiones axiles producidas por la flexión.

Los desplazamientos del punto arbitrario <math display="inline">q</math> ''debidos a la   torsión'' se pueden expresar como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>u'=\omega (s,\zeta ) \displaystyle {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial x'}\quad ,\quad  u_t = - (c_n +\zeta ) \theta _{\hat x'}\quad ,\quad  u_n =c_t \theta _{\hat x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.119)
|}

donde, como es habitual, <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math> es la tasa de torsión; <math display="inline">u',u_t</math> y <math display="inline">u_n</math> indican los desplazamiento de torsión en los ejes locales <math display="inline">x',t,n</math>, respectivamente; <math display="inline">c_n</math> y <math display="inline">c_t</math> son las proyecciones del vector '''c''' en los ejes <math display="inline">t</math> y <math display="inline">n</math>, respectivamente y <math display="inline">\zeta </math> es la coordenada del punto <math display="inline">q</math> en la dirección normal (Figura [[#img-4.22|4.22]]b).

Las Ecs.(4.119) muestran claramente que ''la torsión induce una   variación lineal del desplazamiento tangencial <math>u_t</math> en el espesor de la pared''.

La relación entre los desplazamientos <math display="inline">v',w'</math> y <math display="inline">u_t,u_n</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>v'= u_n n_{y'} - u_t n_{z'}\qquad ,\qquad  w'=u_n n_{z'}+ u_t  n_{y'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.120)
|}

Los desplazamientos totales se obtienen sumando los desplazamientos debidos a los efectos axiles y flectores de la teoría de vigas de Timoshenko, a los desplazamientos de torsión. De las Ecs.(4.25), (4.119) y (4.120) se obtiene el vector de desplazamientos locales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}' = \left\{\begin{matrix}u'\\[.3cm]v'\\[.3cm]w'\end{matrix}\right\}= \underset{\hbox{ axial}}   {\left\{\begin{matrix}{ u'} 0  \\[.3cm]0\\[.3cm]0 \end{matrix}\right\}} + \underset{\hbox{   flexion}}  {\left\{\begin{matrix} z'\theta _{y'}-y'\theta _z'\\[.3cm]{v'}_c\\[.3cm]{w'}_c \end{matrix}\right\}}  + \underset{\hbox{torsion no uniforme}}{\left\{\begin{matrix}       \omega \displaystyle {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial x'}\\[.3cm]  - [c_t n_{y'} + (c_n +\zeta )n_{z'}] \theta _{\hat x'} \\[.3cm] [c_t n_{z'}- (c_n +\zeta ) n_{y'}]\theta _{\hat x'} \end{matrix}\right\}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.121)
|}

Una diferencia clave con la formulación de Saint-Venant es que el giro torsor <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math> ''no es una función lineal'' y, por consiguiente, <math display="inline">{\partial ^2\theta _{\hat x'}\over \partial x^{\prime 2}} \not = 0 </math>. Por lo tanto, ''la torsión origina deformaciones y   tensiones axiles no nulas'' como se muestra a continuación.

===4.10.3 Función de alabeo y deformaciones y tensiones debidas a la torsión===

Consideremos una viga de sección de pared delgada abierta bajo torsión. Los desplazamientos inducidos por la torsión se dan en las Ecs.(4.119).

La función de alabeo <math display="inline">\omega </math> se define de  manera que en un estado de torsión, la deformación de cortante <math display="inline">\gamma _{x'\zeta }</math> es cero en toda la sección, y la deformación de cortante <math display="inline">\gamma _{x's}</math> es cero en la línea central, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\gamma _{x'\zeta } =0 \quad \forall \quad s \quad \hbox{ y } \zeta </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.122)
|-
| style="text-align: center;" | <math> \gamma _{x's} = 0 \quad \forall \quad s \quad \hbox{ para }\zeta =0 </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.123)
|}
|}

La hipótesis (4.122) y la Ec.(4.119) llevan a

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\gamma _{x'\zeta }={\partial u'\over \partial \zeta } + {\partial u_n\over \partial    x'} = \left({\partial \omega \over \partial \zeta } +c_t\right){\partial    \theta _{\hat x'}\over \partial x'}=0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.124)
|}

La Ec.(4.124) implica que <math display="inline">{\partial \omega \over \partial \zeta } +c_t=0</math>. Integrando en <math display="inline">\zeta </math> da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\omega (s,\zeta )=g(s) -c_t (s)\zeta  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.125)
|}

La hipótesis (4.123) y las Ecs.(4.119) llevan a

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\gamma _{x's}\vert _{\zeta =0} = \left({\partial u'\over \partial s} + {\partial u_t\over \partial    x'} \right)_{\zeta =0} = \left({\partial \omega \over \partial s}\Big|_{\zeta =0} - c_n\right) {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial    x'}=0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.126)
|}

Por lo que,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial \omega \over \partial s}\Big|_{\zeta =0} -c_n =0 \quad \hbox{y}\quad \omega (s,0) = \omega _s (s) =\int _0^s c_n \, ds </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.127)
|}

Combinando las Ecs.(4.125) y (4.127) se deduce

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g(s) =\omega _s (s) + \omega _D </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.128)
|}

donde <math display="inline">\omega _D</math> es una constante (típicamente <math display="inline">\omega _D =\omega  (0,0)</math>). La función <math display="inline">\omega _s</math> en la Ec.(4.128) se denomina ''coordenada de   área sectorial'' (Figura [[#img-4.23|4.23]]).  El cálculo de <math display="inline">\omega _s</math> y <math display="inline">\omega _D</math> se detalla en el Apéndice F.

Las Ecs.(4.125) y (4.128) llevan a la siguiente expresión de la función de alabeo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle \omega (s,\zeta ) = \omega _s (s) + \omega _D - c_t (s) \zeta  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.129)
|}

lo que conduce a (teniendo en cuenta que <math display="inline">{\partial \omega _s\over \partial    s}=c_n</math> de la Ec.(4.127))

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle {\partial \omega \over \partial s}= c_n -{\partial c_t\over    \partial s}\zeta  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.130)
|}

<div id='img-4.23'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_23.png|540px|Coordenada de área sectorial ωₛ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.23:''' Coordenada de área sectorial <math>\omega _s</math>
|}

El campo de deformaciones debido a la torsión se obtiene de las Ecs.(4.119) y (4.130) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle \varepsilon _{x'} = \frac{\partial u'}{\partial x'}= \omega (s,\zeta ){\partial ^2\theta _{x'}\over \partial    x^{\prime 2}} \\[.3cm] \displaystyle \gamma _{x's}= \frac{\partial u'}{\partial s} + \frac{\partial u_t}{\partial x'}= \left[\frac{\partial \omega }{\partial s} - (c_n +\zeta ) \right] \frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}    =-\zeta \left(1+ {\partial c_t\over    \partial s}\right){\partial \theta _{\hat x'}\over \partial    x'} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.131)
|}

La expresión de <math display="inline">\gamma _{x's}</math> se puede reescribir usando las siguientes relaciones

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial c_t\over \partial s}={\partial \over \partial s}({\boldsymbol c}^T \cdot {\boldsymbol  t})={\partial \mathbf{c}^T\over \partial s} {\boldsymbol t}+ \mathbf{c}^T {\partial \mathbf{t}\over \partial s}= \mathbf{t}^T  {\boldsymbol  t} + {\boldsymbol c}^T{\partial \mathbf{t}\over \partial s}=1 + {c_n\over R} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.132)
|}

En la obtención de la Ec.(4.132) hemos usado las identidades <math display="inline">{\boldsymbol    t}= {\partial \mathbf{c}\over \partial s}</math> y <math display="inline">{\partial    \mathbf{t}\over \partial s}={1\over R} { \boldsymbol n}</math> donde <math display="inline">R</math> es el radio de curvatura de la pared (Figura [[#img-4.23|4.23]]) y <math display="inline">{\boldsymbol c}^T \cdot {\boldsymbol n}=c_n</math>.

Las ''deformaciones no nulas debidas a la torsión'' se expresan finalmente como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l} \displaystyle \varepsilon _{x'} =\omega {\partial ^2\theta _{\hat x'}\over \partial    x^{\prime 2}} \\[.3cm] \displaystyle \gamma _{x's}=-\zeta \left(2+ { c_n\over R}\right){\partial \theta _{\hat x'}\over \partial    x'} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.133)
|}

Para una sección de paredes delgadas formada por un ensamblaje de segmentos rectos <math display="inline">R=\infty </math> y <math display="inline">\gamma _{x's}=-2\zeta {\partial \theta _{\hat x'}\over \partial x'}</math>.

Las deformaciones de torsión se añaden a las deformaciones axil y de flexión como en la torsión de Saint-Venant. Esto se detalla en el próximo apartado.

Las tensiones inducidas por la torsión se deducen de las Ecs.(4.133) y (4.1) como

<span id="eq-4.134.a"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sigma _{x'}^\omega =E \varepsilon _{x'} = E\omega \frac{\partial ^2 \theta _{\hat x'}}{\partial x^{\prime 2}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.134.a)
|}

<span id="eq-4.134.b"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _{x's} = G \gamma _{x's} =-G\zeta \left(2+\frac{c_n}{R}  \right)\frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x^{\prime }} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.134.b)
|}

En la Ec.(4.134b) hemos supuesto que <math display="inline">G_{y'}= G_{z'}=G</math>.

El índice <math display="inline">\omega </math> en <math display="inline">\sigma _{x'}^\omega </math> denota que esta tensión axil se debe a los efectos de alabeo. Recuérdese que esta tensión es cero en la teoría de Saint-Venant. La tensión <math display="inline">\sigma _{x'}^\omega </math> varía linealmente con el espesor mediante la dependencia de <math display="inline">\zeta </math> con la función de alabeo <math display="inline">\omega </math> (Ec.(4.129)). En la práctica <math display="inline">\omega </math> se supone generalmente constante en el espesor y también <math display="inline">\sigma _{x'}^\omega </math> (Apartado 4.10.7 y [BC,OR,Pi,Ti3]).

La Ec.(4.134b) muestra que la tensión tangencial <math display="inline">\tau _{x's}</math> (o <math display="inline">\tau _s</math> por simplicidad) varía linealmente sobre el espesor de la pared. ''Esto es una diferencia clave con las secciones   de pared delgada cerradas, en donde <math>\tau _s</math> es constante sobre el espesor'' (Apartado 4.3.5).

La relación entre las deformaciones y las tensiones de cortante  en los ejes <math display="inline">x',y',z'</math> y <math display="inline">x',t,n</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\gamma _{x'y'} =  \gamma _{x's} n_{z'} \quad , \quad \gamma _{x'z'} = - \gamma _{x's} n_{y'}\\[.4cm] \tau _{x'y'} =  \tau _{x's} n_{z'} \quad , \quad \tau _{x'z'} = - \tau _{x's} n_{y'} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.135)
|}

También

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _{x's} = \tau _{x'y'} n_{z'}-\tau _{x'z'}n_{y'} \quad , \quad \gamma _{x's} = \gamma _{x'y'} n_{z'} - \gamma _{x'z'}n_{y'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.136)
|}

En el Apartado 4.10.7 se dan más detalles del cálculo de las tensiones debidas a la torsión en secciones de pared delgada abiertas.

===4.10.4 Esfuerzos y ecuación constitutiva generalizada===

Las tensiones no nulas son la suma de las tensiones inducidas por los efectos axiles, de flexión y de torsión, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon }' = {\left\{\begin{matrix} \varepsilon _{x'}\\[.3cm] \gamma _{x'y'}\\[.3cm] \gamma _{x'z'}\end{matrix}\right\}}= \underset{\hbox{   axial}}{\left\{\begin{matrix} \displaystyle {{ \partial {u'}_0 }\over  \partial  x' } \\[.3cm]0\\[.3cm]0 \end{matrix}\right\}} + \underset{\hbox{   flexion}}{\left\{\begin{matrix} z'\displaystyle {{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' } - y'\displaystyle {{ \partial \theta _ {z' }}\over  \partial   x' }\\[.3cm] \displaystyle {{ \partial {v'}_c }\over  \partial  x' } - \theta _{z'}\\[.3cm] \displaystyle {{ \partial {w'}_c }\over  \partial  x' } + \theta _{y'} \end{matrix}\right\}} +  \underset{\hbox{ torsion}}{\left\{\begin{matrix} \omega \displaystyle {\partial ^2 \theta _{\hat x'}\over \partial x^{'2}}\\[.3cm]  - \zeta \left(2 + \displaystyle {c_n\over R}\right)n_{z'} \displaystyle {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x' }\\[.3cm] \zeta \left(2 + \displaystyle {c_n\over R}\right)n_{y'} \displaystyle {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x' }\end{matrix}\right\}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.137)
|}

La relación tensión-deformación coincide con la Ec.(4.1) con <math display="inline">{\boldsymbol    D}'</math> dada por la Ec.(4.2). Los esfuerzos se definen como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \sigma }'=\left\{\begin{matrix}N\\ Q_{y'}\\ Q_{z'}\\ M_{y'}\\ M_{z'}\\ M_{\omega }\\ M_{\hat x'}\end{matrix}\right\}=\iint _A \left\{\begin{matrix}\sigma _{ x'}\\ \tau _{x'y'}\\ \tau _{x'z'}\\[.15cm]  z'\sigma _{x'}\\ -y'\sigma _{x'}\\ \omega \sigma _{x'}\\  - \zeta \left(2 + {c_n\over R}\right)\tau _{x's} \end{matrix}\right\}dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.138)
|}

donde <math display="inline">M_{\omega }</math> se denomina ''bimomento'' (Figura [[#img-4.24|4.24]]) [BC,OR,Ti3].

<div id='img-4.24'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_24.png|600px|Bimomento M_ω en una sección en T]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.24:''' Bimomento <math>M_\omega </math> en una sección en T
|}

Sustituyendo la tensión tangencial <math display="inline">\tau _{x's}</math> en función de <math display="inline">\tau _{x'y'}</math> y <math display="inline">\tau _{x'z'}</math> mediante la Ec.(4.136) y usando la relación tensión-deformación (Ec.(4.1)) en (4.138) se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol \sigma }' = \hat {\boldsymbol D}' \hat {\boldsymbol \varepsilon }' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.139)
|}

donde <math display="inline">\hat {\boldsymbol \varepsilon }'</math> es el vector de deformaciones generalizadas y <math display="inline">\hat {\boldsymbol D}'</math> es la matriz  constitutiva generalizada dados por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle \hat {\boldsymbol \varepsilon }' = \left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } ,  \left(\! - \theta _{z'}\!\!\right), \left(\! + \theta _{y'}\!\!\right),{{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial   x' }, {{ \partial \theta _ {z' } }\over   \partial x' }, {\partial ^2 \theta _{\hat x'}\over \partial x^{'2}} , {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x'}  \right]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.140.a)
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol D' } = \left[\begin{matrix}\hat {D}_a & {\boldsymbol 0} &{\boldsymbol 0}\\ {\boldsymbol 0}&\hat {\boldsymbol D}_f & {\boldsymbol 0}\\ {\boldsymbol 0} & {\boldsymbol 0}& \hat {\boldsymbol D}_t \end{matrix} \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.140.b)
|}

donde <math display="inline">\hat {D}_a</math> y <math display="inline">\hat {\boldsymbol D}_f</math> se obtienen por las Ecs.(4.36) y la matriz de torsión constitutiva es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol D}_t = \left[\begin{matrix}\hat {D}_w & {0}\\ {0} & \hat {D}_t \end{matrix} \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.141.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle \hat D_{\omega } = \iint _A  \omega ^2 E \, dA \quad ,\quad \displaystyle \hat D_t = \iint _A \zeta ^2 \left(2 + {c_n\over R}\right)^2 G\, dA   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.141.b)
|}

En la expresión de <math display="inline">\hat {D}_t</math> hemos supuesto que <math display="inline">G_{y'} = G_{z'} = G</math>.

Para material homogéneo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat D_t = GJ\quad \hbox{y } \hat D_\omega =EI_\omega  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.142)
|}

donde <math display="inline">J=\iint _A \zeta ^2 \left(2 + {c_n^2\over R}\right)dA</math> es la ''inercia torsional'' y <math display="inline">I_\omega = \int \!\!\int _A  \omega ^2 dA</math> es el ''módulo de inercia de alabeo''. La Figura [[#img-4.27|4.27]] muestra los valores de <math display="inline">J</math> y <math display="inline">I_w</math> de varias secciones.

Para una sección curva de espesor uniforme

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>J \simeq {1\over 3} L_s \frac{t^3}{3}\quad \hbox{y }\quad \hat D_t \simeq \frac{G}{3} \sum \limits _{i=1}^n L_s \frac{t^3}{3} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.143.a)
|}

donde <math display="inline">L_s</math> es la longitud de la línea media (Figura [[#img-4.22|4.22]]). Estas expresiones son exactas para una sección circular [OR,Ti3].

Para secciones abiertas de pared delgada homogéneas formadas por <math display="inline">n</math> segmentos rectos de espesor <math display="inline">t_i</math> y longitud <math display="inline">l_i</math> [OR,Ti3],

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>J = {1\over 3} \sum \limits _{i=1}^n t_i^3 l_i \quad \hbox{y }\quad \hat D_t = \frac{G}{3} \sum \limits _{i=1}^n t_i^3 l_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.143.b)
|}

La tensión tangencial máxima en cada segmento ocurrirá en los bordes situados a una distancia <math display="inline">\pm t/2</math> de la línea media. Su valor se deduce de la Ec.(4.134b) para <math display="inline">\zeta =\pm \frac{t}{2}</math> y <math display="inline">R=\infty </math> y la Ec.(4.139) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _s^{\max }=\pm Gt {\partial \theta _{\hat x'} \over \partial x'} =\pm Gt \frac{M_{\hat x'}}{\hat {D}_t} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.144)
|}

Claramente, la tensión tangencial máxima se encuentra en el segmento de mayor espesor.

<span id='theorem-ejem4.3'></span>'''Ejemplo 4.3: '''

Comparación de secciones de pared delgada abiertas y cerradas.

El comportamiento torsional de secciones  de pared delgada cerradas es bastante diferente del de las secciones abiertas. Para secciones cerradas, la tensión tangencial se distribuye uniformemente en el espesor de la pared (Figura&nbsp;[[#img-4.25|4.25]]), mientras que en las secciones abiertas se tiene una distribución lineal. La rigidez torsional <math display="inline">\hat D_t</math> es proporcional al cuadrado del área encerrada para secciones cerradas (Ec.(4.53)) mientras que es proporcional al cubo del espesor en secciones abiertas (Ec.(4.143a) [BC].

<div id='img-4.25'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_25.png|410px|Tubos de pared delgada cerrados y abiertos]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.25:''' Tubos de pared delgada cerrados y abiertos
|}

Considérense, por ejemplo, dos anillos de radio <math display="inline">R_m</math> y espesor <math display="inline">t</math> idénticos pero uno abierto y el otro cerrado (Figura [[#img-4.25|4.25]]). La rigidez torsional de las secciones abierta <math display="inline">\hat  D_t^{cerrado}</math> y cerrada <math display="inline">\hat D_t^{abierto}</math> se dan en las Ecs.(4.53) y (4.143a), respectivamente, como <math display="inline">\hat D_t^{cerrado}=2\pi GR_m^3 t</math> y <math display="inline">\hat D_t^{abierto}=2\pi GR_m t^3/3</math>. Su cociente es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\hat D_t^{cerrado}}{\hat D_t^{abierto}}= 3 \left(\frac{R_m}{t} \right)^2</math>
|}
|}

Si las dos secciones están sometidas al mismo torsor <math display="inline">M_{\hat x'}</math>, las tensiones tangenciales máximas en la sección abierta <math display="inline">\tau _{\max }^{abierto}</math> y cerrada <math display="inline">\tau _{\max }^{cerrado}</math> se obtienen de las Ecs.(4.144) y (4.54), respectivamente como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \tau _{\max }^{abierto} = \frac{M_{\hat x'} t}{\hat D_t^{abierto}}= \frac{3M_{\hat x'}}{2\pi R_m t^2}\quad , \quad \tau _{\max }^{cerrado} = \frac{M_{\hat x'}}{2\pi R_m^2t} </math>
|}
|}

Su cociente se puede expresar como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \frac{\tau _{\max }^{abierto}}{\tau _{\max }^{cerrado}}= 3 \left(\frac{R_m}{t} \right) </math>
|}
|}

Para una sección típica de pared delgada con <math display="inline">R_m =20t</math> la rigidez torsional de la sección cerrada será 1200 veces más grande que la de la sección abierta. Bajo el mismo torsor, la tensión tangencial máxima en la sección abierta será 60 veces mayor que en la sección cerrada. En otras palabras, la sección cerrada puede soportar 60 veces más torsor para alcanzar un nivel de tensiones igual al de la abierta [BC].

===4.10.5 Principio de trabajos virtuales===

El PTV para una carga distribuida es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\iiint _V \delta {\boldsymbol \varepsilon }^{'T } {\boldsymbol \sigma }'\,dV  - \!\int _l \delta   {\boldsymbol u }^ {\prime \scriptscriptstyle T } {\boldsymbol t}' dx' =0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.145)
|}

El trabajo virtual interno se puede escribir usando las Ecs.(4.137)&#8211;(4.139) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\int \!\!\! \int \!\!\! \int _V \delta {\boldsymbol \varepsilon }^{\prime T} {\boldsymbol \sigma }'\, dV =\!\! \int _L\bigg(\delta \hat  {\varepsilon }^{\prime }_{x'} N_{x'} +  \delta \left(\frac{\partial {v'}_c}{\partial x'}-\theta _{z'}  \right)Q_{y'} + \delta  \left(\frac{\partial {w'}_c}{\partial x'}+\theta _{y'}  \right)Q_{z'}</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> + {\partial \delta \theta _{y'}\over \partial    x'}M_{y'} +{\partial \delta \theta _{z'}\over \partial x'}M_{z'}+ \underline{{\partial ^2  \delta \theta _{\hat x'}\over \partial x^{'2}} M_{\omega }}+\underline{{\partial    \delta \theta _{\hat x'}\over \partial x'}M_{\hat x'}}\bigg)\,dx' </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> =\int _L \delta \hat {\boldsymbol \varepsilon }^{\prime T} \hat {\boldsymbol \sigma }' \, dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.146)
|}

donde <math display="inline">\hat {\boldsymbol \sigma }'</math> y <math display="inline">\hat {\boldsymbol \varepsilon }'</math> se definen en las Ecs.(4.138) y (4.140a).

Los términos subrayados en la Ec.(4.146) se deben a efectos torsionales.

El trabajo externo para cargas distribuidas se escribe como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\delta W = \int _L \delta {\boldsymbol u'}^T{\boldsymbol t}'\,dx' = \int _L\bigg[\delta  {\boldsymbol u'}^T {\boldsymbol t}' + {\partial \delta \theta _{\hat x'}\over \partial    x'}f_\omega \bigg]\,dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.147.a)
|}

con los vectores <math display="inline">\delta {\boldsymbol u}'</math> y <math display="inline">{\boldsymbol t}'</math> definidos como en la Ec.(4.64) y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle f_\omega =\iint _A \omega f_{x'} dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.147.b)
|}

La expresión de <math display="inline">\delta W</math> para cargas puntuales y momentos concentrados es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\delta W =\sum \limits _i \left[\delta {\boldsymbol u'}^T_i {\boldsymbol p'}_i + \delta \left({\partial      \theta _{\hat x'}\over \partial  x'}\right)_i F_{\omega _i}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.148.a)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol p'}_i</math> está definido en la Ec.(4.64) y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}F_{\omega _i}=\omega F_{{x'}_i} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.148.b)
|}

El subíndice <math display="inline">i</math> en las anteriores ecuaciones denota el punto del eje <math display="inline">x'</math> donde se aplica la carga axial <math display="inline">F_{{x'}_i}</math>.

===4.10.6 Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con sección    de pared delgada abierta===

La formulación de elementos de viga 3D de Timoshenko con sección  de pared delgada abierta se puede obtener superponiendo los efectos axil, de flexión (con y sin deformación de cortante) y de torsión. Se requiere continuidad <math display="inline">C^1</math> para aproximar el giro de torsión <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math>, ya que en el PTV aparecen sus segundas derivadas  (Ec.(4.146)). Esto se puede implementar con elementos rectos de dos nodos escogiendo <math display="inline">{{\partial \theta _{\hat        x'}}/{\partial x'}}</math> como el séptimo GDL nodal y una interpolación Hermítica cúbica estándar para <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math>.

La interpolación del campo de desplazamientos se escribe como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}'= \sum \limits _{i=1}^2 {\boldsymbol N}_i {\boldsymbol a}^{\prime }_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.149.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}^{\prime }=  \left[{u'}_{0}{, v'}_{c}{, w'}_{c}, \theta _{\hat x'}, \theta _{y'}, \theta _{z'}\right]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.149.b)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i=\left[{u'}_{0_i}{, v'}_{c_i}{, w'}_{c_i}, \theta _{\hat {x'}_i}, \theta _{{y'}_i}, \theta _{{z'}_i},{{\partial \theta _{\hat x'}}\over \partial {x'}_i} \right]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.149.c)
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol N}_i = \begin{bmatrix}N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\               0 & N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\               0 & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 & 0 \\               0 & 0 & 0 & N^H_i & 0 & 0 & \bar N_i^H  \\               0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0 \\               0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0  \\             \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.149.d)
|}

donde <math display="inline">N_i</math> es la función de forma lineal estándar y <math display="inline">N_i^H, \bar  N_i^H</math> son las funciones de forma Hermíticas cúbicas (Ecs.(1.11a)).

La relación entre las deformaciones generalizadas y los movimientos nodales se escribe como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol \varepsilon }' = \sum \limits _{i=1}^2 {\boldsymbol B'}_i {\boldsymbol a'}_i \quad \hbox{donde}\quad  {\boldsymbol B'}_ == \begin{bmatrix}{\boldsymbol B}_{a_i}\\                          \cdots \\                           {\boldsymbol B}_{f_i}  \\                              \cdots \\                           {\boldsymbol B}_{t_i} \\                        \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.150)
|}

con <math display="inline">{\boldsymbol B}_{a_i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol B}_{f_i}</math> dado por la Ec.(4.82b) y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B}_{t_i} = \begin{bmatrix}0&0&0&\displaystyle {\partial ^2 N_i^H \over \partial x_i^{'2}}& 0&0&\displaystyle {\partial ^2 \bar N_i^H\over \partial x_i^{'2}}\\[.3cm] 0&0&0&\displaystyle {\partial N_i^H\over \partial x_i^{'}}& 0&0& \displaystyle {\partial \bar N_i^H\over \partial x_i^{'}}  \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.151)
|}

La matriz de rigidez del elemento se obtiene como se explica en el Apartado 4.4.1. Sus diferentes términos coinciden con los del Cuadro [[#theorem-cuadro4.1|1]], con la excepción de los siguientes términos que completan la matriz de rigidez <math display="inline">14\times 14</math> del elemento en cuestión (7 GDLs por nodo)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle {k'}_{4,4}={{12 \hat D_\omega }\over (l^{(e)})^3}+{{6\hat D_t}\over 5l^{(e)}},\quad { k'}_{4,7}={{6 \hat D_\omega }\over (l^{(e)})^2}+{{\hat D_t}\over 10}\\[.3cm] \displaystyle {k'}_{4,11}{=-k'}_{4,4},\quad {k'}_{4,14}{=k'}_{4,7},\quad { k'}_{7,7}={{4 \hat D_\omega }\over l^{(e)}}+{{2l^{(e)}\hat D_t}\over 15}\\[.3cm] \displaystyle {k'}_{7,11}{=-k'}_{4,7},\quad {k'}_{7,14}={{2 \hat D_\omega }\over l^{(e)}}-{{l^{(e)}\hat D_t}\over 30},\quad { k'}_{11,11}{=k'}_{4,4}\\[.3cm] \displaystyle {k'}_{11,14}{=-k'}_{4,7},\quad {k'}_{14,14}{=k'}_{7,7}\end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.152)
|}

con <math display="inline">{k'}_{ij}{=k'}_{ji}</math>.

Se puede escoger una interpolación diferente para <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math> que conduce a resultados nodales “exactos” usando funciones de forma hiperbólicas como se describe en [BD5].

La transformación de los primeros seis GDLs nodales a ejes globales es idéntica a lo descrito en el Apartado 4.4.2. La transformación de <math display="inline">{{\partial \theta _{\hat x'}}\over {\partial x'}}</math> es más enrevesada para estructuras reticuladas y barras rectas de sección variable [GP,Gu,Sh]. El grado de compatibilidad nodal entre dos elementos depende del cumplimiento de la siguiente ecuación [BD5]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left({{\partial \theta _{\hat x'}}\over \partial x'}\right)^{(a)}_i=c  \left({{\partial \theta _{\hat x'}}\over \partial x'}\right)^{(b)}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.153)
|}

donde <math display="inline">c\le 1</math> y los subíndices <math display="inline">a</math> y <math display="inline">b</math> denotan valores en cada uno de los dos elementos adyacentes. Se han propuesto diferentes valores de <math display="inline">c</math> sobre la base de análisis por el MEF locales para vigas reticuladas con secciones en <math display="inline">H</math> y en <math display="inline">U</math> [Sh]. Una alternativa es suponer que las cantidades nodales <math display="inline">{{\partial \theta _{\hat x'}} \over \partial x'}</math> son discontinuas entre elementos y que hay tantas variables de alabeo en un nodo como elementos conectados a él [Ak,BD5].

===4.10.7 Cálculo de tensiones debidas a la torsión en secciones    de pared delgada abiertas===

Las tensiones axil y tangencial inducidas por la torsión en vigas  de pared delgada abiertas se pueden calcular mediante la Ec.(4.134). Para paredes rectas (<math display="inline">R\to \infty </math>) y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _{x's} =-2\zeta G {\partial \theta _{\hat x'} \over \partial x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.154)
|}

Los valores máximos ocurren en los bordes de las paredes (<math display="inline">\zeta = \pm  \frac{t}{2}</math>), es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\max \vert \tau _{x's} \vert =tG \bigg|{\partial \theta _{\hat x'} \over \partial x'} \bigg| </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.155)
|}

Esta tensión tangencial se llama a veces tensión tangencial de Saint-Venant (<math display="inline">\tau _{x's}^{sv}</math>), indicando que no incluye la tensión tangencial inducida por la tensión axil debida al alabeo.

La tensión axil inducida por el alabeo se puede calcular usando las Ecs.(4.134a) y (4.138) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sigma _{x'}^\omega (s,\zeta ) = \omega (s,\zeta ) E \frac{\partial ^2\theta _{\hat x'}}{\partial x^{'2}} = \omega (s,\zeta ) \frac{E}{\hat D_\omega } M_\omega  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.156)
|}

con <math display="inline">\omega (s,\zeta )= g(s) - c_t (s)\zeta </math> (Ec.(4.125)).

<div id='img-4.26'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_26a.png|600px|]]
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_26b.png|600px|(a) Distribución de g(s), σ<sub>x'</sub>^ω(s,0), S_ω(s) y (b) τ<sub>x's</sub>^ω(s) para tres secciones      de pared delgada abiertas]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="2" | '''Figura 4.26:''' (a) Distribución de <math>g(s)</math>, <math>\sigma _{x'}^\omega (s,0)</math>, <math>S_\omega (s)</math> y (b) <math>\tau _{x's}^\omega (s)</math> para tres secciones      de pared delgada abiertas
|}

Si <math display="inline">g(s)\not =0</math>, la contribución del término <math display="inline">c_t \xi </math> es generalmente despreciable. La Figura [[#img-4.26|4.26]] muestra la distribución de <math display="inline">g(s)</math> y <math display="inline">\sigma _{x'}^\omega (s,0)</math> para tres secciones. El cálculo completo para una de las secciones se presenta en el Ejemplo 4.4. Los valores máximos de <math display="inline">\sigma _{x'}^\omega </math> se encuentran usualmente en los extremos de la sección (puntos D en la Figura [[#img-4.27|4.27]]) y son independientes de <math display="inline">\zeta </math>. Si <math display="inline">g(s)=0</math> estos valores se encuentran en los puntos extremos y en las esquinas. En general podemos escribir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\max \vert \sigma _{x'}^\omega \vert = \beta _1 E \vert  \frac{\partial ^2\theta _{\hat x'}}{\partial x^{'2}} \vert  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.157)
|}

La Figura [[#img-4.27|4.27]] muestra el valor y la posición de <math display="inline">\beta _1</math> (y por consiguiente de <math display="inline">\max \vert \sigma _{x'}^\omega \vert </math>) para diferentes secciones.

<div id='img-4.27'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_27.png|374px|Inercia torsional (J), módulo de inercia de alabeo     (I_ω) y valor y posición de las tensiones máximas debidas     al alabeo para diferentes secciones de pared delgada abiertas]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.27:''' Inercia torsional (<math>J</math>), módulo de inercia de alabeo     (<math>I_\omega </math>) y valor y posición de las tensiones máximas debidas     al alabeo para diferentes secciones de pared delgada abiertas
|}

====Tensión tangencial debida a la tensión axil de alabeo σ<sub>x'</sub>^ω====

La tensión axil <math display="inline">\sigma _{x'}^\omega </math> induce un campo de tensiones tangenciales adicional. La llamada tensión tangencial de alabeo (<math display="inline">\tau _{x's}^\omega </math>) se puede calcular ''integrando las   ecuaciones de equilibrio locales a posteriori''. El método sigue los razonamientos usados para calcular la distribución de tensiones tangenciales en vigas planas bajo cargas de flexión (Apartado 3.7 y Apéndice D). Las ecuaciones de equilibrio son

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial \sigma _{x'}^\omega  \over \partial x'} + {\partial \tau _{x's}^\omega  \over \partial s}=0 \quad \hbox{con}\quad \tau _{x's}^\omega =0 \quad \hbox{at } s=0,L_s </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.158)
|}

Introduciendo la Ec.(4.156) en (4.158) da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial \tau _{x's}^\omega  \over \partial s}= - \omega (s,\zeta ) E \frac{\partial ^3\theta _{\hat x'}}{\partial x^{'3}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.159)
|}

Es usual despreciar la variación sobre el espesor de las tensiones tangenciales de alabeo. En ese caso, la Ec.(4.159) se reescribe (usando la Ec.(4.125)) para dar

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\tau _{x's}^\omega (s,\zeta ) = -S_\omega (s) E \frac{\partial ^3\theta _{\hat x'}}{\partial x^{'3}}\quad \hbox{with}\quad  S_\omega (s) = \int _0^s g(s) ds </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.160)
|}

Consecuentemente, las tensiones tangenciales debidas al alabeo son nulas si <math display="inline">g(s)=0</math>. Los valores máximos se encuentran en los puntos en los que <math display="inline">S_\omega </math> toma un valor máximo, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\max \vert \tau _{x's}^\omega \vert = \beta _2 E \vert  \frac{\partial ^3\theta _{\hat x'}}{\partial x^{'3}} \vert  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.161)
|}

La Figura [[#img-4.27|4.27]] muestra el valor y la posición de <math display="inline">\beta _2</math> (y <math display="inline">\max \vert \tau _{x's}^\omega \vert </math>) para diferentes secciones.

La tensión tangencial total debida a la torsión es la suma de   la tensión tangencial de Saint-Venant (Ec.(4.154)) y la tensión   tangencial de alabeo (Ec.(4.160)).

La Figura [[#img-4.28|4.28]] muestra la distribución de <math display="inline">\tau _{x's}</math> en una sección abierta de pared delgada.

<div id='img-4.28'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_28.png|600px|Tensión tangencial a lo largo del espesor en     una sección  de pared delgada abierta. La tensión tangencial total debida a la torsión es la suma de   la tensión tangencial de Saint-Venant y la tensión tangencial de alabeo]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.28:''' Tensión tangencial a lo largo del espesor en     una sección  de pared delgada abierta. La tensión tangencial total debida a la torsión es la suma de   la tensión tangencial de Saint-Venant y la tensión tangencial de alabeo
|}

''' Ejemplo&nbsp;4.4:''' Cálculo de <math display="inline">\omega </math>, <math display="inline">S_\omega </math> y <math display="inline">I_\omega </math> para una sección en doble L.

- Solución

Consideremos una sección de pared delgada en forma de doble <math display="inline">L</math> como la que se muestra en la figura siguiente:

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Figejemplo4_3.png|420px|]]
|}

==Distribución de <math>\omega _s(s)</math>==

'''Segmento DA:''' <math display="inline">0\le s\le b</math> ; <math display="inline">-b\le y \le 0</math> ; <math display="inline">z = -\frac{h}{2}</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>ds=dy \quad ,\quad c_n =-\frac{h}{2}\quad ,\quad \omega _s (s) =\int _0^s c_nds=-\frac{h}{2}s</math>
|}
|}

'''Segmento AB:''' <math display="inline">b\le s\le b+h</math> ; <math display="inline">y=0</math> ; <math display="inline"> -\frac{h}{2}\le z \le \frac{h}{2}</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>ds=dz \quad ,\quad c_n =0 \quad ,\quad \omega _s (s=b) =-\frac{h}{2}b</math>
|}
|}

'''Segmento BF:''' <math display="inline">b+h\le s\le b+2h</math> ; <math display="inline">0\le y \le b</math> ; <math display="inline">z = \frac{h}{2}</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>ds=dy \quad ,\quad c_n =\frac{h}{2}\quad ,\quad \omega _s (s) =- \frac{h}{2}b + \int _{b+h}^s \frac{h}{2} ds=-\frac{h}{2}b+\frac{h}{2}(s-b-h)</math>
|}
|}

'''Valor medio:''' <math display="inline">\omega _m=-\omega _D</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\omega _m = \frac{1}{2b+h} \int _0^{2b+h} \omega _s ds = - \frac{bh(b+h) }{2L_s} </math>
|}
|}

'''Área sectorial''' <math display="inline">\omega </math> y <math display="inline">S_\omega </math>:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\omega (s,\zeta ) = g(s) - c_t (s) \zeta  \quad \hbox{con}\quad g(s) = \omega _s(s) +\omega _D</math>
|}
|}

Despreciando la variación en el espesor, <math display="inline">\omega (s)=g(s)</math> y <math display="inline">S_\omega (s,0) = \int _0^s g(s) ds</math>.

'''Módulo de inercia sectorial:''' <math display="inline">I_\omega = \int _A \omega ^2 dA = \frac{th^2b^3}{12}\left(\frac{b+2h}{2b+h}\right)</math>

La contribución del término <math display="inline">-c_t\zeta </math> de <math display="inline">\omega (s,\zeta )</math> en <math display="inline">I_\omega </math> es despreciable. Su valor es <math display="inline">I_\omega = \frac{t^3}{12} \left(\frac{2b^3}{3}+\frac{h^3}{12}\right)</math>

Las siguientes figuras muestran la distribución de <math display="inline">\omega _s (s), g(s)</math> y <math display="inline">S_\omega (s)</math> en la sección en doble L considerada.

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_pag_215.png|600px|]]
|}

==4.11 ELEMENTOS DE VIGA DE PARED DELGADA ABIERTA DE TIMOSHENKO QUE   CONSIDERAN LA TENSIÓN TANGENCIAL DEBIDA A LA TORSIÓN==

===4.11.1 Ecuaciones básicas===

Las tensiones tangenciales inducidas por la torsión pueden ser importantes en vigas cortas empotradas y en vigas de pared delgada abierta con material compuesto. Estos términos se pueden tener en cuenta en la teoría presentada anteriormente siguiendo razonamientos similares a los usados para introducir el efecto de la deformación de cortante  en la teoría clásica de vigas. La tasa de torsión (<math display="inline">\phi _\omega </math>) se define ahora como suma del cambio del giro de torsión <math display="inline">\left(\frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'} \right)</math> y una tasa adicional (<math display="inline">\phi _s</math>) inducida por las tensiones tangenciales debidas a la torsión, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\phi _\omega = \frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}+ \phi _s </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.162)
|}

La tasa <math display="inline">\phi _s</math> se puede interpretar como (el valor negativo de) la deformación de cortante <math display="inline">\gamma _t</math> introducida por los efectos de torsión (Figura [[#img-4.29|4.29]]). Claramente, si <math display="inline">\phi _s=0</math>, entonces <math display="inline">\phi _\omega = \frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}</math> y se recupera la definición clásica de la tasa de torsión de la Ec.(4.25) [Va,VOO].

El campo de desplazamientos inducido por los efectos de torsión se escribe en ejes locales <math display="inline">x',t,n</math> en la nueva teoría como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>u'= \omega \phi _\omega \quad , \quad u_t = -(c_n +\zeta )\theta _{\hat x'}\quad , \quad  u_n =c_t\theta _{\hat x'} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.163)
|}

<div id='img-4.29'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_29.png|600px|Efecto de la deformación de cortante   debida a la torsión (γₜ) en la tasa de torsión (ϕ_ω)]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.29:''' Efecto de la deformación de cortante   debida a la torsión (<math>\gamma _t</math>) en la tasa de torsión (<math>\phi _\omega </math>)
|}

La única diferencia con la Ec.(4.119) es la definición del desplazamiento axial. Nótese que <math display="inline">\phi _\omega </math> se toma ahora como una variable independiente.

Las ''deformaciones inducidas por la torsión'' (denominadas <math display="inline">{\boldsymbol \varepsilon }^\prime _t</math>) son

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon '}_t==  \left\{\begin{matrix}\displaystyle \omega \frac{\partial \phi _\omega }{\partial x'}\\ \displaystyle {\partial \omega  \over \partial s}\phi _\omega -(c_n +\zeta )\frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}\\ \displaystyle {\partial \omega  \over \partial \zeta }\phi _\omega + c_t \frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'} \end{matrix}  \right\} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.164)
|}

Usando la Ec.(4.130) y suponiendo <math display="inline">{\partial \omega  \over \partial \zeta } = -c_t</math> y <math display="inline"> {\partial c_t \over \partial s}=1</math> se obtiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon '}_t==  \left\{\begin{matrix}\displaystyle \omega \frac{\partial \phi _\omega }{\partial x'}\\ \displaystyle c_n  \phi _s - \zeta \left(\phi _\omega +\frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}\right)\\  c_t \left(\frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}-\phi _\omega  \right) \end{matrix}  \right\}= {\boldsymbol S}_t \hat {\boldsymbol \varepsilon '}_t </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.165.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol S}_t = \left[\begin{matrix}\omega & 0 & 0\\ 0 & -2\zeta & c_n\\ 0 & 0 &  c_t \end{matrix}   \right]\quad ,\quad \hat {\boldsymbol \varepsilon '}_ == \left\{\begin{matrix}\kappa _w\\ \kappa _{x's}\\\gamma _t \end{matrix}  \right\}= \left\{\begin{matrix}\frac{\partial \phi _\omega }{\partial x'}\\ \frac{1}{2} \left(\phi _\omega +\frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}\right)\\ \frac{\partial \theta _{\hat x'}}{\partial x'}-\phi _\omega  \end{matrix}  \right\} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.165.b)
|}

Los esfuerzos debidos a la torsión son (aceptando que <math display="inline">\frac{c_n}{R}=0</math>)

<span id="eq-4.166"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol \sigma '}_ == \left\{\begin{matrix}M_\omega \\M_{\hat x'}\\M_t\end{matrix}  \right\}= \iint _A  \left\{\begin{matrix}\omega \sigma _{x'}\\ -2\zeta \tau _{x's}\\ c_t \tau _{x'\zeta } +c_n \tau _{x's} \end{matrix}  \right\}dA = \iint _A [{\boldsymbol S}_t]^T {\boldsymbol \sigma }^\prime _t dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.166)
|}

La ecuación constitutiva se supone de la forma

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \sigma '}_ == \left\{\begin{matrix}\sigma _{x'}\\\tau _{x's}\\\tau _{x'\zeta } \end{matrix}  \right\}=\left[\begin{matrix}E&0&0\\ 0&G&0\\ 0&0&G\end{matrix}  \right]= \left\{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\ \gamma _{x's}\\\gamma _{x'\zeta } \end{matrix}  \right\}= {\boldsymbol D}' {\boldsymbol \varepsilon '}_t </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.167)
|}

Sustituyendo esta ecuación en (4.166) se obtiene

<span id="eq-4.168"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol \sigma '}_ == \hat {\boldsymbol D}_t \hat {\boldsymbol \varepsilon '}_t \quad \hbox{con} \quad   \hat {\boldsymbol D}_t = \iint _A [{\boldsymbol S}_t]^T  {\boldsymbol D}'{\boldsymbol S}_t dA </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.168)
|}

Una simple multiplicación da

<span id="eq-4.169"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol D}_t = \iint _A \left[\begin{matrix}E\omega ^2 & 0 &0\\ 0 & 4\zeta ^2 G & -2 \zeta c_n G\\ 0 & -2\zeta c_n G & |c|^2 G \end{matrix}\right]dA \quad \hbox{con}\quad  |c|^2 = c^2_n+c_t^2  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.169)
|}

Una comparación de las Ecs.(4.141a) y ([[#eq-4.169|4.169]]) muestra los términos introducidos por la deformación de cortante  en la matriz constitutiva de torsión. Para material homogéneo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol D}_t =  \left[\begin{matrix}\hat D_\omega &0&0\\ 0& \hat D_t &0\\ 0&0& \hat D_{s_t} \end{matrix}  \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.170)
|}

donde <math display="inline">\hat D_\omega </math> y <math display="inline">\hat D_t </math> coinciden con las expresiones de la Ec.(141b) <math display="inline">\displaystyle \left(\hbox{para } \frac{c_n}{R}=0\right)</math> y <math display="inline">\displaystyle \hat D_{s_t} = \iint _A  |c|^2 GdA</math>.  Usando las Ecs.(4.167), (4.165b) y (4.168) se deduce que los efectos de torsión contribuyen los siguientes términos al PTV

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\iiint _V \left(\delta \varepsilon _{x'} \sigma _{x'} +  \delta \varepsilon _{x's} \tau _{x's} + \delta \varepsilon _{x'\zeta } \tau _{x'\zeta } \right)dA dx'=</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> =\int _L \left(\delta \kappa _\omega  M_\omega + \delta \gamma _t M_t + \delta \kappa _s M_{\hat x'} \right)dx' = \int _L  \delta \hat {\boldsymbol \varepsilon '}_t {\boldsymbol \sigma '}_t dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.171)
|}

Si <math display="inline">\phi _s =0</math> entonces <math display="inline">\gamma _t =0</math>, <math display="inline">\kappa _s = {{ \partial \theta      _ { \hat x' } }\over  \partial  x' } </math>, <math display="inline">\kappa _\omega = {{ \partial ^2 \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x^{\prime 2} } </math> y el PTV recupera la expresión de la Ec.(4.146) para los términos de torsión.

Nótese que en el PTV sólo aparece la derivada primera del ángulo de torsión <math display="inline">\theta _{\hat x'}</math>. Esto permite emplear una ''interpolación de continuidad <math>C^0</math> para todas las variables de   movimiento''. Estas variables incluyen la tasa de torsión <math display="inline">\phi _\omega </math> como un GDL adicional.

===4.11.2 Discretización por elementos finitos===

La interpolación de los movimientos para un elemento de viga de dos nodos se escribe como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u }^{'} = \sum \limits _e N_i  {\boldsymbol a }^{'(e)}_i \quad  \hbox{con} \quad  {\boldsymbol a }^{'(e)}{_i = [ u'}_{0_i}{, v'}_{c_i}{, w'}_{c_i},\theta _{\hat {x'}_i},\theta _{{ y'}_i},\theta _{{ z'}_i} ,\phi _{\omega _i}]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.172)
|}

En la Ec.(4.172) <math display="inline">N_i</math> son las funciones de forma 1D lineales estándar (Figura 2.4).

Las deformaciones generalizadas se expresan en función de los GDLs nodales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol \varepsilon } ' = \sum ^2_{i=1} {\boldsymbol B '}i   {\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.173.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol \varepsilon } ' = \left[{{ \partial {  u'}_0 }\over  \partial  x' } , \left(\frac{\partial {v'}_c}{\partial x'}-\theta _{z'}  \right),\left(\frac{\partial {w'}_c}{\partial x'}+\theta _{y'}  \right),{{ \partial \theta _ {y' }}\over  \partial x' }, {{ \partial \theta _ {z' } }\over  \partial z' } , {{ \partial \phi _ {\omega } }\over \partial x' },\right.</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left.\frac{1}{2}\left(\phi _ {\omega }+  {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x'  } \right),\left( {{ \partial \theta _ { \hat x' } }\over  \partial  x'} -\phi _ {\omega }\right)\right]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.173.b)
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B'}_ == \begin{bmatrix}{\boldsymbol B}_{a_i}\\                          \cdots \\                          {\boldsymbol B}_{f_i}  \\                              \cdots \\                          {\boldsymbol B}_{t_i} \\                        \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.173.c)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol B}_{a_i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol B}_{f_i}^\prime </math> se obtienen ampliando las expresiones de la Ec.(4.79) con una columna de ceros y <math display="inline">{\boldsymbol    B}^\prime _{t_i}</math> son las contribuciones de la torsión a la matriz de de deformaciones generalizadas dadas por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B}_{t_i}^\prime = \begin{bmatrix}0& 0&0&0&0&0&\displaystyle {\partial N_i \over \partial x^{'}}\\[.4cm]  0&0&0&\displaystyle \frac{1}{2}{\partial N_i\over \partial x^{'}}& 0&0&\displaystyle \frac{1}{2} N_i\\[.4cm] 0&0&0&\displaystyle {\partial N_i\over \partial x^{'}} &0& 0& - N_i  \end{bmatrix} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.174)
|}

La matriz de rigidez del elemento tiene la forma estándar

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K }_ { ij } ^{\prime (e)} = \int _ { l ^{(e)} } {\boldsymbol   B } _i^ {\prime  T } \hat {\boldsymbol D }' {\boldsymbol B }' _j\,dx'\quad , \quad i,j = 1,2 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.175.a)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat {\boldsymbol D }' = \left[\begin{matrix}\hat {D}_a & {\boldsymbol 0} &{\boldsymbol 0}\\[.15cm] {\boldsymbol 0}&\hat {\boldsymbol D}_f & {\boldsymbol 0}\\[.15cm] {\boldsymbol 0} & {\boldsymbol 0}& \hat {\boldsymbol D}_t \end{matrix} \right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.175.b)
|}

Introduciendo las Ecs.(4.173c) y (4.175b) en (4.175a) da

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K }_ { ij } ^{\prime (e)} = \int _ { l ^{(e)} }\left[{\boldsymbol B}_{a_i}^T  \hat {D} _a {\boldsymbol B}_{a_j}+{\boldsymbol B}_{f_i}^T \hat {\boldsymbol D}_f {\boldsymbol B}_{f_j}+ {\boldsymbol B}_{t_i}^T \hat {\boldsymbol D}_t {\boldsymbol B}_{t_j}\right]dx' </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.176)
|}

El bloqueo de cortante inducido por los efectos de flexión y torsión se puede eliminar en el elemento de viga de dos nodos usando una cuadratura reducida de un punto para integrar ''todos los términos'' de la matriz de rigidez del elemento.

Se puede seguir el mismo procedimiento para desarrollar elementos de viga 3D  de pared delgada abierta de tres y cuatro nodos que tengan en cuenta los efectos de la deformación de cortante  debidos a la torsión. El comportamiento del elemento cuadrático mejora usando una cuadratura reducida de dos puntos. El elemento cúbico tiene un comportamiento excelente usando una cuadratura completa de cuatro puntos [Va,VOS].

Se pueden encontrar otros procedimientos numéricos y analíticos para el análisis de vigas de pared delgada abierta que tengan en cuenta la deformación de cortante inducida por la torsión en [BT2,BW2,FM2, Ko2,KP,KSK,Le,LL3,PK,ST].

===4.11.3 Ejemplos===

====Viga de material compuesto laminado en voladizo   sometida a torsor en el extremo====

La Figura [[#img-4.30|4.30]] muestra una viga en voladizo de material compuesto laminado de <math display="inline">L=1000</math> mm con sección en doble T. Tanto la pared central como las dos alas tienen siete capas con orientaciones simétricas [0,90,0,90,0,90,0] con respecto al eje de la viga. Hemos considerado dos casos de carga: (a) un torsor de 1 KN<math display="inline">\times </math>mm actuando en el extremo libre, y (b) una carga vertical de 1KN actuando también en el extremo libre. Ambos problemas se han resuelto con diferentes mallas de elementos de viga lineales de dos nodos y cuadráticos de tres nodos con integración completa y reducida y con elementos cúbicos de cuatro nodos con integración completa. Se han analizado los mismos problemas con una malla de 550 cuadriláteros de lámina plana DKQ (Apartado 8.12.3) mostrada  en la Figura [[#img-4.30|4.30]] para obtener una solución de referencia a efectos de comparación.

<div id='img-4.30'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_30.png|600px|Viga en voladizo en doble T. Geometría y malla de 500     cuadriláteros de lámina plana DKQ usada como solución de referencia [VA]]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.30:''' Viga en voladizo en doble T. Geometría y malla de 500     cuadriláteros de lámina plana DKQ usada como solución de referencia [VA]
|}

<div id='img-4.31'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_31.png|358px|Viga  en doble T de material compuesto en voladizo. Resultados para el cociente del giro de    torsión θ<sub>A</sub><sup>b</sup>/θ<sub>A</sub><sup>s</sup> bajo un torsor en el extremo (a) y     cociente de flechas w<sub>A</sub><sup>b</sup>/w<sub>A</sub><sup>s</sup> para  carga puntual en el extremo     (b) en función del coeficiente de esbeltez  (λ) para mallas     de un elemento lineal (L), cuadrático (Q) y cúbico (C) con     integración completa (F) y reducida (R). (⋅)<sup>b</sup>: solución de      viga; (⋅)<sup>s</sup>: solución con 500 elementos de lámina  DKQ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.31:''' Viga  en doble T de material compuesto en voladizo. Resultados para el cociente del giro de    torsión <math>\theta _A^b/\theta _A^s</math> bajo un torsor en el extremo (a) y     cociente de flechas <math>w_A^b/w_A^s</math> para  carga puntual en el extremo     (b) en función del coeficiente de esbeltez  (<math>\lambda </math>) para mallas     de un elemento lineal (L), cuadrático (Q) y cúbico (C) con     integración completa (F) y reducida (R). <math>(\cdot )^b</math>: solución de      viga; <math>(\cdot )^s</math>: solución con 500 elementos de lámina  DKQ
|}

La Figura [[#img-4.31|4.31]] muestra el cociente entre los resultados de viga y lámina plana para el ángulo de torsión (para la carga de torsión) y la flecha (para la carga vertical) en el extremo, en función del coeficiente de esbeltez <math display="inline">\lambda =L/h</math> ''para la malla de un   solo elemento''. El gráfico muestra que

* El elemento de viga lineal de dos nodos con integración completa     de dos puntos (L-F) se bloquea para vigas esbeltas. La cuadratura     reducida de un punto (L-R) elimina el bloqueo de cortante y     proporciona resultados excelentes para vigas cortas y esbeltas.
* El elemento de viga cuadrático de tres nodos con integración     completa de tres puntos (Q-F) presenta un ligero bloqueo  para vigas     esbeltas. Se obtienen resultados excelentes para todos los casos     empleando la cuadratura reducida de dos puntos uniforme (Q-R).
* El elemento de viga cúbico de cuatro nodos con integración completa     de cuatro puntos (C-F) no bloquea y da resultados precisos     para vigas cortas y esbeltas.

La Figura [[#img-4.32|4.32]] muestra la convergencia de los cocientes de flechas y giros en el extremo para una viga esbelta (<math display="inline">\lambda =20</math>) con el número de elementos para todos los casos estudiados. Todas las soluciones convergen a los valores de referencia.

Nótese que se ha usado <math display="inline">\theta \equiv \theta _{\hat x'}</math> en las Figuras [[#img-4.31|4.31]] y [[#img-4.32|4.32]] por simplicidad.

<div id='img-4.32'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_32.png|600px|Viga esbelta de doble T en voladizo (λ=20) de material compuesto laminado. Cargas como en Figura [[#img-4.31|4.31]]. Convergencia de los cocientes     de la flecha y el giro de torsión en el extremo con el número de elementos de viga     (NEL). (⋅)<sup>b</sup> y (⋅)<sup>s</sup> denotan las soluciones de viga     y lámina]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.32:''' Viga esbelta de doble T en voladizo (<math>\lambda      =20</math>) de material compuesto laminado. Cargas como en Figura [[#img-4.31|4.31]]. Convergencia de los cocientes     de la flecha y el giro de torsión en el extremo con el número de elementos de viga     (NEL). <math>(\cdot )^b</math> y <math>(\cdot )^s</math> denotan las soluciones de viga     y lámina
|}

<div id='img-4.33'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_33.png|600px|Viga en U en voladizo bajo cargas puntuales en el     extremo. Geometría  y cargas. Dimensiones: h=200 mm; b=60 mm; t=10 mm; L=2000  mm]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.33:''' Viga en U en voladizo bajo cargas puntuales en el     extremo. Geometría  y cargas. Dimensiones: <math>h=200\hbox{ mm}; b=60\hbox{ mm}; t=10\hbox{ mm}; L=2000 \hbox{ mm}</math>
|}

====Vigas en U en voladizo y empotradas bajo cargas   puntuales en el extremo====

El siguiente ejemplo es el análisis de una viga en voladizo con sección en U de material compuesto laminado  sometida a dos cargas puntuales actuando en el extremo libre. La Figura [[#img-4.33|4.33]] muestra la geometría de la viga y las propiedades del material. El problema se ha resuelto con los siguientes tres elementos:

* Malla de 20 elementos de viga  de pared delgada abierta de     Timoshenko de dos nodos teniendo en cuenta las tensiones     tangenciales debidas a la torsión con integración reducida     uniforme de un punto (Apartado 4.11).

* Malla de 20 elementos de viga  de pared delgada abierta de     Euler-Bernoulli de tres nodos basada en la teoría de Saint-Venant     (Apartado 4.7).

* Malla de 550 cuadriláteros de lámina DKQ de nueve nodos (Apartado 8.12.3).

El problema se ha resuelto para los dos materiales y cargas siguientes:

''Material homogéneo isótropo (acero).''

<math display="inline">E=210000</math> MPa &nbsp;,&nbsp;<math display="inline">\nu =0,30</math>

Cargas: <math display="inline">P_{y'}=25000</math> N&nbsp;,&nbsp;<math display="inline">P_{z'}=-25000</math> N

''Material compuesto laminado''. Laminado de 10 capas [90,0<math display="inline">_{4}]_s</math> de matriz de cristal epoxi con las siguientes propiedades:


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|-
| <math>E_1=53780</math>MPa &nbsp; ,&nbsp; <math display="inline">E_2 =17930</math> MPa&nbsp; ,&nbsp; <math display="inline">\nu _{12} =0,25</math> 
| 
|-
| <math>G_{12}=G_{11}=8960</math>MPa &nbsp; ,&nbsp; <math display="inline">G_{23}=3450</math> MPa 
| 
|-
| Cargas: <math display="inline">P_{y'}=250</math> N,<math display="inline">P_{z'}=-250</math> N
|-
| 
| [[Image:Draft_Garcia_387683411-Figura.png|300px|Figura]]

|}

<div id='img-4.34'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_34.png|366px|Viga en U en voladizo homogénea   bajo cargas puntuales en el     extremo. Distribución de la flecha del centro de esfuerzos cortantes (a) y     del ángulo de torsión (b). Resultados para mallas de 20 elementos de     viga de Timoshenko y de Euler-Bernoulli (Saint-Venant) de dos nodos y de 500     cuadriláteros de lámina DKQ (mostrada en la figura). Los resultados     están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la     malla de elementos DKQ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.34:''' Viga en U en voladizo homogénea   bajo cargas puntuales en el     extremo. Distribución de la flecha del centro de esfuerzos cortantes (a) y     del ángulo de torsión (b). Resultados para mallas de 20 elementos de     viga de Timoshenko y de Euler-Bernoulli (Saint-Venant) de dos nodos y de 500     cuadriláteros de lámina DKQ (mostrada en la figura). Los resultados     están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la     malla de elementos DKQ
|}


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-4.3'></span>Tabla. 4.3 Viga en U  en voladizo  bajo cargas puntuales en el     extremo. Valor máximo de los desplazamientos verticales y     laterales del centro de esfuerzos cortantes (<math>v_c</math> y <math>w_c</math>) y del giro de torsión (<math>\theta _{\hat x'}</math>)
|-
| style="text-align: left;" |  
| colspan='6' style="border-right: 2px solid;" | ~&nbsp;
|-
| style="text-align: left;" | 
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;" | Elemento de viga                            de
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Elemento de viga                            de
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Elemento de lámina
|-
| style="text-align: left;" | 
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;" | Euler-Bernoulli/Saint-Venant&nbsp;
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Timoshenko de dos nodos 
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | DKQ
|-
| style="text-align: left;" | 
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;" | (Apartado 4.7)
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | (Apartado 4.10)
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | ~&nbsp;

|-
| style="text-align: left;" | 
| style="border-right: 2px solid;" | Material 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material
| style="border-left: 2px solid;" | Material
|-
| style="text-align: left;" | 
| style="border-right: 2px solid;" | Homogéneo 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Compuesto 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Homogéneo 
| colspan='1' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Compuesto
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Homogéneo 
| style="border-left: 2px solid;" | Compuesto

|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | <math>v_c</math>mm 
| style="border-right: 2px solid;" | 301.86  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 13.648
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 301.91
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 13.662  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 304.68 
| style="border-left: 2px solid;" | 13.676
|-
| style="text-align: left;" | <math>w_c</math>mm 
| style="border-right: 2px solid;" | -16.998 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.766 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -17.219 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.787 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -18.667 
| style="border-left: 2px solid;" | -0.790
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | <math>\theta _{\hat x'}</math>rad  
| style="border-right: 2px solid;" | -0.692 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.062 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.545 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.044 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.512 
| style="border-left: 2px solid;" | -0.045

|}

<br/>


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-4.4'></span>Tabla. 4.4 Viga homogénea en U biempotrada bajo cargas puntuales     excéntricas actuando en el centro. Valor máximo de los desplazamientos verticales y     laterales del centro de esfuerzos cortantes (<math>v_c</math> y <math>w_c</math>) y del giro de torsión (<math>\theta _{\hat x'}</math>)
|-
| style="text-align: left;" |  
| colspan='6' style="border-right: 2px solid;" | ~&nbsp;
|-
| style="text-align: left;" | 
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;" | Elemento de viga                            de
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Elemento de viga                            de
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Elemento de lámina
|-
| style="text-align: left;" | 
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;" | Euler-Bernoulli/Saint-Venant
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Timoshenko de   dos nodos
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | DKQ
|-
| style="text-align: left;" | 
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;" | de dos nodos (Apartado 4.7)
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | (Apartado 4.10)
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | ~&nbsp;

|-
| style="text-align: left;" | 
| style="border-right: 2px solid;" | Material 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Material
| style="border-left: 2px solid;" | Material
|-
| style="text-align: left;" | 
| style="border-right: 2px solid;" | Homogéneo 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Compuesto 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Homogéneo 
| colspan='1' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Compuesto
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Homogéneo 
| style="border-left: 2px solid;" | Compuesto

|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | <math>v_c</math>mm 
| style="border-right: 2px solid;" | 0.472  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.213
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.473
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.217  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 0.492 
| style="border-left: 2px solid;" | 0.233
|-
| style="text-align: left;" | <math>w_c</math>mm 
| style="border-right: 2px solid;" | -0.0266 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.01197 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.0321 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.01733 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.0328 
| style="border-left: 2px solid;" | -0.01762
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| style="text-align: left;" | <math>\theta _{\hat x'}</math>rad  
| style="border-right: 2px solid;" | -0.0173 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.01560 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.0051 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.00281 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | -0.0052  
| style="border-left: 2px solid;" | -0.00292

|}

<div id='img-4.35'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_35.png|346px|Viga en U biempotrada homogénea bajo cargas puntuales     excéntricas actuando en el centro. Distribución  de la flecha en     centro de esfuerzos cortantes (a) y del ángulo de torsión (b) para mallas de 20     elementos de viga de Timoshenko y de Euler-Bernoulli (Saint-Venant) de dos nodos y de 500     cuadriláteros de lámina DKQ (mostrada en la figura). Los resultados     están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la     malla de elementos DKQ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.35:''' Viga en U biempotrada homogénea bajo cargas puntuales     excéntricas actuando en el centro. Distribución  de la flecha en     centro de esfuerzos cortantes (a) y del ángulo de torsión (b) para mallas de 20     elementos de viga de Timoshenko y de Euler-Bernoulli (Saint-Venant) de dos nodos y de 500     cuadriláteros de lámina DKQ (mostrada en la figura). Los resultados     están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la     malla de elementos DKQ
|}

La Figura [[#img-4.34|4.34]] muestra la distribución de la flecha del centro de esfuerzos cortantes y del ángulo de torsión para material homogéneo para los tres elementos considerados. Los resultados están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la malla de elementos de lámina DKQ. Los resultados para  material compuesto laminado son prácticamente coincidentes con los de la Figura [[#img-4.34|4.34]].

El elemento de viga de Timoshenko de dos nodos proporciona resultados muy precisos.  Nótese la discrepancia en los resultados del ángulo de torsión para el elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos basado en la teoría de Saint-Venant.

La Tabla [[#table-4.3|4.3]] muestra los valores máximos de los desplazamientos laterales y verticales del centro de esfuerzos cortantes y el giro de torsión para los tres elementos considerados con secciones de material homogéneo y material compuesto laminado. Las distribuciones son prácticamente coincidentes para los tres elementos.

La Figura [[#img-4.35|4.35]] y la Tabla [[#table-4.4|4.4]] muestran una serie de resultados similares para una viga en U ''biempotrada'' de las mismas dimensiones. Las conclusiones son las mismas que para la viga en voladizo.

Como conclusión general, el sencillo elemento de barra 3D de Timoshenko de dos nodos con integración reducida de un punto tiene un comportamiento excelente para el análisis de vigas abiertas de pared delgada.

==4.12 ELEMENTOS DE VIGA 3D DEGENERADOS==

Los elementos de viga 3D también se pueden obtener imponiendo las siguientes restricciones a los elementos de sólido 3D [On4]:

<ol>

<li>Variación lineal de los desplazamientos en cada sección   (hipótesis de sección plana de Saint-Venant), </li>
<li>Las dimensiones de la sección no cambian (lo que limita los   GDLs nodales), </li>
<li>Hipótesis de tensión plana en ejes locales <math display="inline">(\sigma _{y'}=\sigma _{z'}=\gamma _{y'z'}=0)</math>. </li>

</ol>

El proceso es análogo al explicado para obtener elementos de lámina degenerados en el Capítulo 10.

El punto de partida es un elemento prismático. Por simplicidad sólo consideraremos hexaedros (Figura 4.36). Esto limita la formulación a vigas con sección rectangular. Se pueden modelar otras secciones empleando una sección rectangular de igual área y las mismas propiedades de inercia.

<div id='img-4.36'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Garcia_387683411-Fig4_36.png|600px|(a) Elemento hexaédrico cuadrático de veinte nodos y (b)     Elemento de viga 3D cuadrático de tres nodos degenerado]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4.36:''' (a) Elemento hexaédrico cuadrático de veinte nodos y (b)     Elemento de viga 3D cuadrático de tres nodos degenerado
|}

===4.12.1 Descripción de la geometría y el campo de desplazamientos===

El eje de referencia de la viga se define como la línea que une los centros de gravedad de las secciones. Se define en cada nodo un sistema de coordenadas curvilíneo local <math display="inline">x',y',z'</math> de tal manera que <math display="inline">x'</math> es tangente al eje de la viga e <math display="inline">y',z'</math> son las direcciones principales de inercia (Figura [[#img-4.36|4.36]]). La geometría se expresa en forma isoparamétrica como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{\boldsymbol x}=\left\{\begin{matrix} x\\ y\\ z\end{matrix}\right\}=\sum _{i=1}^n N_i(\xi )\left({\boldsymbol x}_i+{\eta a_i\over 2}{\boldsymbol  e}_{2_i}+{\zeta b_i\over 2}{\boldsymbol e}_{3_i}\right)} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.177)
|}

donde <math display="inline">n</math> es el número de elementos, <math display="inline">N_i(\xi )</math> es la función de forma 1D Lagrangiana del nodo <math display="inline">i</math> [On4], <math display="inline">{\boldsymbol    x}_i=[x_i,y_i,z_i]^{\scriptscriptstyle T }</math> contiene las coordenadas cartesianas del nodo, <math display="inline">a_i</math> y <math display="inline">b_i</math> son las dimensiones de la sección en el nodo y <math display="inline">\eta </math>, <math display="inline">\zeta </math> son las coordenadas naturales transversales (Figura [[#img-4.36|4.36]]).

El campo de desplazamientos se define siguiendo la hipótesis de la teoría de vigas de Timoshenko para el giro de la sección como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol u}=\!\left\{\begin{matrix}u\\ v\\ w\end{matrix}\right\}=\sum _{i=1}^n N_i(\xi )\!\left[{\boldsymbol u}_i + {\boldsymbol T}_i \!\left(\! \left\{\begin{matrix}-\theta _{{ z'}_i}\\ 0\\ \theta _{{ x'}_i}\end{matrix}\right\}\!\left\{\begin{matrix}\theta _{{ y'}_i}\\ -\theta _{{ x'}_i}\\ 0\end{matrix}\right\}\right)\!\right]=</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>=\sum \limits ^n_{i=1}{\boldsymbol N}_i{\boldsymbol a}^{\prime (e)_i} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.178.a)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i=[u_i, v_i, w_i, \theta _{{x'}_i}, \theta _{{y'}_i}, \theta _{{z'}_i}]^{ \scriptscriptstyle T}</math>, y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol N}_i=\left[N_i(\xi ){\boldsymbol I}_3, {\boldsymbol T}_i\left({{\eta a_i}\over 2}{\boldsymbol  I}_\eta{+}{{\xi b_i}\over 2}{\boldsymbol I}_\zeta \right)\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.178.b)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol I}_\eta =\left[\begin{matrix}0&0&-1\\ 0&0&0\\ 1&0&0\end{matrix}\right],\quad  {\boldsymbol I}_\zeta =\left[\begin{matrix}0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0\end{matrix}\right],\quad {\boldsymbol T}_i=[{\boldsymbol e}_{1i}, {\boldsymbol e}_{2i},{\boldsymbol e}_{3i}] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.178.c)
|}

Nótese que las componentes de los vectores <math display="inline">{\boldsymbol e}_{1i}, {\boldsymbol e}_{2i}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol e}_{3i}</math> se expresan en el sistema de coordenadas global.

El vector <math display="inline">{\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i</math> contiene los tres desplazamientos ''globales'' del nodo <math display="inline">i</math>: <math display="inline">u_i</math>, <math display="inline">v_i</math>, <math display="inline">w_i</math> y los tres giros ''locales'': <math display="inline">\theta _{{ x'}_i}</math>, <math display="inline">\theta _{{ y'}_i}</math>, <math display="inline">\theta _{{ z'}_i}</math> (definidos en forma vectorial).

===4.12.2 Campo de deformaciones===

Teniendo en cuenta que los desplazamientos se expresan en ejes diferentes, las deformaciones locales (<math display="inline">{\boldsymbol \varepsilon }'</math>) y globales (<math display="inline">{\boldsymbol \varepsilon }</math>) en un punto se relacionan por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon }'=\left\{\begin{matrix}\varepsilon _{ x'}\\ \gamma _{x' y'}\\ \gamma _{ x' z'}\end{matrix}\right\}={\boldsymbol S}~{\boldsymbol \varepsilon } </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.179.a)
|}

donde <math display="inline">{\boldsymbol \varepsilon }</math> es el vector de deformaciones estándar de la elasticidad 3D [On4,ZTZ]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon }=[\varepsilon _x,\varepsilon _y,\varepsilon _z,\gamma _{xy},\gamma _{xz}, \gamma _{yz}]^{\scriptscriptstyle {T}} \!= \!\left[{\partial u \over \partial x}, {\partial v \over \partial y}, {\partial w \over \partial z},{\partial u \over \partial y}\!+\! {\partial v \over \partial x}, {\partial u \over \partial z}\!+\!{\partial w \over \partial x}, {\partial v \over \partial z}\!+\!{\partial w \over \partial y}    \right]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.179.b)
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol S}\!=\!\left[\begin{matrix}(e^x_{\scriptscriptstyle {1}})^2&(e^y_{\scriptscriptstyle {1}})^2& (e^z_{\scriptscriptstyle {1}})^2&e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_ {\scriptscriptstyle {1}}&e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle  {1}}&e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle {1}}\\ &&&&&\\ 2e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^x_{\scriptscriptstyle {2}}& 2e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_{\scriptscriptstyle {2}}& 2e^z_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle {2}}& (e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^x_{\scriptscriptstyle {2}}+ e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_{\scriptscriptstyle {2}})\!& \!(e^z_{\scriptscriptstyle {1}}e^x_{\scriptscriptstyle {2}}+ e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle {2}})\!&\! (e^z_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_{\scriptscriptstyle {2}}+ e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle {2}})&\\ &&&&&\\ 2e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^x_{\scriptscriptstyle {3}}& 2e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_{\scriptscriptstyle {3}}& 2e^z_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle {3}}& (e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^x_{\scriptscriptstyle {3}}+ e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_{\scriptscriptstyle {3}})\!&\! (e^z_{\scriptscriptstyle {1}}e^x_{\scriptscriptstyle {3}}+ e^x_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle {3}})\!&\! (e^z_{\scriptscriptstyle {1}}e^y_{\scriptscriptstyle {3}}+ e^y_{\scriptscriptstyle {1}}e^z_{\scriptscriptstyle  {3}})&\end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.179.c)
|}

donde <math display="inline">e^x_{\scriptscriptstyle {1}},e^y_{\scriptscriptstyle    {1}},e^z_{\scriptscriptstyle {1}}</math> son las componentes en ejes globales de <math display="inline">{\boldsymbol e}_1</math> en el punto en el que se calculan las deformaciones. Estas componentes se pueden obtener por interpolación de los valores nodales. Lo mismo aplica para las componentes de <math display="inline">{\boldsymbol e}_2</math> y <math display="inline">{\boldsymbol e}_3</math>.

Las componentes de deformación global se obtienen en función de los movimientos  nodales como sigue.

Primero, se obtienen las derivadas de los desplazamientos globales con respecto a las coordenadas naturales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial {\boldsymbol u}\over \partial \xi }=\sum ^n_{i=1}{\partial  N_i\over \partial \xi }\left[{\boldsymbol u}_i + {\boldsymbol T}_i \left({\eta  a_i\over 2} \left\{\begin{matrix} -\theta _{{z'}_i}\\ 0\\ \theta _{{ x'}_i}\end{matrix}\right\}+{\zeta b_i\over 2}\left\{\begin{matrix} \theta _{{y'}_i}\\ -\theta _{{x'}_i}\\ 0\end{matrix}\right\}\right)\right]</math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\partial{\boldsymbol u}\over \partial \eta }=\sum ^n_{i=1}{a_i\over 2}N_i{\boldsymbol  T}_i\left\{\begin{matrix}-\theta _{{z'}_i}\\ 0\\ \theta _{{ x'}_i}\end{matrix}\right\};\qquad  {\partial{\boldsymbol u}\over \partial \zeta }=\sum ^n_{i=1}{b_i\over 2}N_i{\boldsymbol  T}_i\left\{\begin{matrix}\theta _{{y'}_i}\\ -\theta _{{x'}_i}\\ 0\end{matrix}\right\} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.180)
|}

Las derivadas  de los desplazamientos globales con respecto a las coordenadas cartesianas  y naturales se relacionan por la inversa de la matriz jacobiana 3D <math display="inline">{\boldsymbol J}</math> como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left[{\partial {\boldsymbol u}\over \partial x},{\partial{\boldsymbol u}\over \partial y}, {\partial{\boldsymbol u}\over \partial z}  \right]= {\boldsymbol J}^{-1} \left[{\partial {\boldsymbol u}\over \partial \xi },{\partial{\boldsymbol u}\over \partial \eta }, {\partial{\boldsymbol u}\over \partial \zeta }  \right]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.181.a)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol J} = \left[{\partial {\boldsymbol x}\over \partial \xi },{\partial{\boldsymbol x}\over \partial \eta }, {\partial{\boldsymbol x}\over \partial \zeta }  \right]^T \quad \hbox{with}\quad {\boldsymbol x} = [x,y,z]^T </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.181.b)
|}

Los elementos de la matriz jacobiana <math display="inline">{\boldsymbol J}</math> se calculan de la descripción isoparamétrica (4.177) como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\displaystyle {\partial {\boldsymbol x}\over \partial \xi }=\sum ^n_{i=1}{\partial N_i\over \partial \xi } \left({\boldsymbol x}_i+{\eta a_i\over 2}{\boldsymbol e}_{2_i}+{\zeta b_i\over 2}{\boldsymbol e}_{3_i} \right)\\[.3cm] \displaystyle {\partial {\boldsymbol x}\over \partial \eta }=\sum ^n_{i=1}{a_i\over 2}N_i {\boldsymbol e}_{2_i};\qquad{\partial {\boldsymbol x}\over \partial \zeta }=\sum ^n_{i=1} {b_i\over 2}N_i{\boldsymbol e}_{3_i} \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.182)
|}

La matriz de deformaciones globales <math display="inline">{\boldsymbol B}</math> se obtiene sustituyendo la interpolación de los desplazamientos (4.178a) en (4.179b). La expresión completa se muestra en el Cuadro [[#theorem-Cuadro4.5|5]]. Usando este resultado y la Ec.(4.179a) se obtiene la relación entre las deformaciones locales y los movimientos locales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{\boldsymbol \varepsilon }'=\sum ^n_{i=1}\bar{\boldsymbol B}'{\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i}= {\bar{\boldsymbol B}'}_i{\boldsymbol a}^{\prime (e)} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.183.a)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\bar{\boldsymbol B}'}_i=\left\{\begin{matrix}{\bar{\boldsymbol B}'}_{ab_i}\\ {\bar{\boldsymbol B}'}_{s_i}\end{matrix}\right\}={\boldsymbol S}{\boldsymbol B}_i;\quad {\bar{\boldsymbol B}'}_{ab_i}={\boldsymbol  S}_1{\boldsymbol B}_i;\quad {\bar{\boldsymbol B}'}_{s_i}={\boldsymbol S}_2{\boldsymbol B}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.183.b)
|}

donde <math display="inline">{\bar{\boldsymbol B}'}_{ab_i}</math> y <math display="inline">{\bar{\boldsymbol B}'}_{s_i}</math> contienen las contribuciones axil-flector y de cortante a la matriz de deformaciones locales y <math display="inline">{\boldsymbol S}_1</math> y <math display="inline">{\boldsymbol S}_2</math> son la primera y últimas dos filas de la matriz <math display="inline">{\boldsymbol S}</math> de la Ec.(4.179c), respectivamente.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol \varepsilon }~=~[\varepsilon _x, \varepsilon _y, \varepsilon _z, \varepsilon _{xy},  \varepsilon _{xz}, \varepsilon _{yz}]^T ~=~\sum ^n_{i=1}{\boldsymbol B}_i{\boldsymbol a}_i^{\prime (e)} = {\boldsymbol B}{\boldsymbol a}^{\prime (e)}</math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B}~=~\left[{\boldsymbol B}_1,{\boldsymbol B}_2,\cdots \cdots \cdots ,{\boldsymbol B}_n \right],\qquad {\boldsymbol a}^{\prime (e)}_i~=~[u_i, v_i, w_i, \theta _{x^\prime _i}, \theta _{y^\prime _i}, \theta _{z^\prime _i}]^T </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B}_i\!=\!\left[\begin{matrix} N_i^1&0&0&({\boldsymbol G}_i^1)_{11}&({\boldsymbol G}_i^1)_{12}&({\boldsymbol G}_i^1)_{13}\\ 0&N_i^2&0&({\boldsymbol G}_i^2)_{21}&({\boldsymbol G}_i^2)_{22}&({\boldsymbol G}_i^1)_{23}\\ 0&0&N_i^3&({\boldsymbol G}_i^3)_{31}&({\boldsymbol G}_i^3)_{32}&({\boldsymbol G}_i^1)_{33}\\ N_i^2&N_i^1&0&\left[({\boldsymbol G}_i^2)_{11}+({\boldsymbol G}_i^1)_{21}\right]& \left[({\boldsymbol G}_i^2)_{12}+({\boldsymbol G}_i^1)_{22}\right] &\left[({\boldsymbol G}_i^2)_{13}+({\boldsymbol G}_i^1)_{23}\right]&\\ N_i^3&0&N_i^1& \left[({\boldsymbol G}_i^3)_{11}+({\boldsymbol G}_i^1)_{31}\right]& \left[({\boldsymbol G}_i^3)_{12}+({\boldsymbol G}_i^1)_{32}\right] &\left[({\boldsymbol G}_i^3)_{13}+({\boldsymbol G}_i^1)_{33}\right]&\\ 0&N_i^3&N_i^2& \left[({\boldsymbol G}_i^3)_{21}+({\boldsymbol G}_i^2)_{31}\right]& \left[({\boldsymbol G}_i^3)_{22}+({\boldsymbol G}_i^2)_{32}\right] &\left[({\boldsymbol G}_i^3)_{23}+({\boldsymbol G}_i^1)_{33}\right]&\end{matrix} \right]</math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>N_i^j~=~J_{j_1}^{-1}{{\partial N_i}\over \partial \xi };\qquad  {\boldsymbol G}_i^j~=~N_i^j\hat{\boldsymbol  T}_i+{{a_i}\over 2}J_{j_2}^{-1}N_i{\boldsymbol T}_i {\boldsymbol T}_\eta{+}{{b_i}\over 2}J_{j_3}^{-1}N_i{\boldsymbol T}_i{\boldsymbol T}_\xi </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{\boldsymbol T}_i~=~{\boldsymbol T}_i+{{\eta a_i}\over 2}{\boldsymbol I}_\eta{+}{{\zeta b_i} \over 2}{\boldsymbol I}_\xi ,\qquad {\boldsymbol T}_i~=~[{\boldsymbol e}_{1_i},~ {\boldsymbol e}_{2_i},~ {\boldsymbol e}_{3_i}]</math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol I}_\eta ~=~\left[\begin{matrix} 0&0&-1\\ 0&0&0\\ 1&0&0&\\\end{matrix}\right],\qquad  {\boldsymbol I}_\zeta ~=~\left[\begin{matrix} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0&\end{matrix}\right],\qquad  \begin{array}{ll} J_{ij}^{-1}:&\hbox{ termino}~ij~\hbox{ de la matriz}\\ & \hbox{ jacobiana inversa}\end{array}</math>
|}
|}

<span id='theorem-Cuadro4.5'></span>'''Cuadro 4.5: '''Matriz de deformaciones globales de un elemento de viga 3D degenerado

Los giros nodales se expresan a continuación en ejes globales, obteniéndose la relación final entre las ''deformaciones locales'' y los ''movimientos globales'' como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{{\boldsymbol \varepsilon }'=\sum ^n_{i=1}{\bar{\boldsymbol B}'}_i~{\boldsymbol Q}_i{\boldsymbol a}_i ^{\scriptscriptstyle {(e)}}=\sum ^n_{i=1}{\boldsymbol B'}_i~{\boldsymbol a} ^{\scriptscriptstyle {(e)}}} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.184.a)
|}

donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol B'}_i=\left\{\begin{matrix}{\boldsymbol B'}_{ab_i}\\     {\boldsymbol B'}_{s_i}\end{matrix}\right\}\quad \hbox{con}\quad {\boldsymbol B'}_{ab_i}={\bar{\boldsymbol B}'}_{mb_i}{\boldsymbol Q}_i\quad ,\quad {\boldsymbol B'}_{s_i} =\bar   {\boldsymbol B'}_{s_i}{\boldsymbol Q}_i </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.184.b)
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol Q}_i=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol I}_3&{\boldsymbol 0}\\ {\boldsymbol 0}&{\boldsymbol T}_i\end{matrix}\right] </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.184.c)
|}

En lo anterior <math display="inline">{\boldsymbol a}^{(e)}_i=[u_i, v_i, w_i, \theta _{x_i}, \theta _{y_i}, \theta _{z_i}]^{ \scriptscriptstyle T}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol  T}_i</math> es la matriz de transformación de la Ec.(4.178c). La Ec.(4.184a) ''relaciona las deformaciones locales'' y ''los movimientos nodales globales''.

La ecuación constitutiva se expresa en ejes locales mediante la Ec.(4.1). Esta formulación  permite considerar secciones de la viga de material heterogéneo, tal y como se explica en el apartado siguiente.

===4.12.3 Matriz de rigidez y vector de fuerzas nodales equivalentes   del elemento===

Sustituyendo las Ec.(4.178a) y (4.183a) y la ecuación constitutiva (4.1) en la expresión de PTV (Ec.(4.63)) se obtiene la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento en ''ejes globales'' como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\displaystyle {\boldsymbol K}_{ij}^{(e)}= \iiint _{V^{(e)}} \left[{\boldsymbol B}^{\prime ^T}_{ab_i}~ {\boldsymbol D}'~{\boldsymbol B'}_{ab_j}+  {\boldsymbol B}^{\prime ^T}_{s_i}~ {\boldsymbol D}'~{\boldsymbol B'}_{s_j}\right]dV = {\boldsymbol K}^{(e)}_{ab_{ij}} + {\boldsymbol K}^{(e)}_{s_{ij}}</math>
|-
| style="text-align: center;" | 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.185.a)
|-
| style="text-align: center;" | <math> \displaystyle {\boldsymbol f}^{(e)}_i = \iiint _{V^{(e)}} {\boldsymbol N}_i^T~{\boldsymbol b}\,dV+ \iint _{A^{(e)}} {\boldsymbol N}_i^T{\boldsymbol t}\,dA+ {\boldsymbol p}^{(e)}_i </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.185.b)
|}
|}

donde <math display="inline">V^{(e)}</math> es el ''volumen'' del elemento sólido original. <math display="inline">{\boldsymbol K}^{(e)}_{ab}</math> y <math display="inline">{\boldsymbol K}^{(e)}_{s}</math> son las contribuciones de los efectos de axil-flexión y de cortante a la matriz de rigidez global, respectivamente, <math display="inline">{\boldsymbol b}</math> son las fuerzas de volumen (peso propio), '''t''' son las fuerzas distribuidas actuando en alguna de las caras del elemento (<math display="inline">\eta =\pm{1}</math> o <math display="inline">\xi{-\pm}1</math>) y <math display="inline">{\boldsymbol    p}^{(e)}_i</math> son vectores de fuerzas puntuales nodales. Todas las componentes se definen en ejes globales como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}{\boldsymbol b} =[b_x,b_y,b_z,0,0,0]^{ \scriptscriptstyle T}\\ {\boldsymbol t} =[f_x,f_y,f_z,m_x,m_y,m_z]^{ \scriptscriptstyle T}\\ {\boldsymbol p}_i =[F_{x_i},F_{y_i},F_{z_i},M_{x_i},M_{y_i},M_{z_i}]^ { \scriptscriptstyle T}\end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.186)
|}

Si las fuerzas distribuidas <math display="inline">{\boldsymbol t}</math> actúan en el eje de la viga, entonces la integral de área de la Ec.(4.185b) se sustituye por una integral de línea sobre la longitud del elemento y <math display="inline">\eta =\zeta=0</math> en la expresión de <math display="inline">N_i</math> de la Ec.(4.178b).

La integración explícita sobre la sección para elementos curvos tiene algunas dificultades. Es sin embargo posible siguiendo procedimientos similares a los explicados en el Capítulo 10 para elementos de lámina degenerados. Para vigas rectas, puede calcularse de forma analítica  la matriz de rigidez del elemento. Para un elemento de viga de dos nodos la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes tiene expresiones idénticas a las obtenidas en el Apartado 4.4 partiendo de la teoría de vigas 3D. En la práctica, se emplea una cuadratura de Gauss 3D para la integración de las matrices y vectores del elemento; es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\boldsymbol K}_{ij}^{(e)} = \sum _{p=1}^{n_\xi }\sum _{q=1}^{n_\eta }\sum ^{n_\zeta }_{r=1}  \left({\boldsymbol B}^{\prime ^T}_i~{\boldsymbol D}'~{\boldsymbol B'}_j\vert{\boldsymbol J}^{(e)}\vert \right)_{p,q,r}~W_pW_qW_r</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> {\boldsymbol f}^{(e)}_i = \sum _{p=1}^{n_\xi }\sum _{q=1}^{n_\eta }\sum ^{n_\zeta }_{r=1}  \left({\boldsymbol N}_i^T~{\boldsymbol b}\vert{\boldsymbol J}^{(e)}\vert ~\right)_{p,q,r}~W_pW_qW_r +</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.187)
|-
| style="text-align: center;" | <math> +\sum \limits ^{n_\xi }_{p=1}[{\boldsymbol N}_i^{ \scriptscriptstyle T}{\boldsymbol t}\vert  {\boldsymbol J}\vert ]_{P,\eta=0,~\zeta=0} W_p </math>
|}
|}

donde <math display="inline">n_\xi ,~n_\eta ~ n_\zeta </math> son los puntos de integración en las direcciones <math display="inline">\xi ,\eta ,\zeta </math>, respectivamente y <math display="inline">W_p, W_q,W_r</math> son los pesos correspondientes. Para material homogéneo es habitual escoger <math display="inline">n_\eta =n_\zeta=2</math>. Para vigas de material heterogéneo es necesaria una cuadratura de mayor orden (o incluso integración por celdas). Para una sección de material compuesto laminado es suficiente una integración por capas.

El bloqueo de cortante se evita usando una cuadratura reducida para integrar la matriz de rigidez de cortante <math display="inline">{\boldsymbol K}_s^{(e)}</math> Típicamente se escoge <math display="inline">n_\xi=1</math> y <math display="inline">n_\xi=2</math> para los elementos de viga degenerados de dos y tres nodos, como en vigas planas. Para elementos rectos <math display="inline">{\boldsymbol    K}_{ab}^{(e)}</math> es usual emplear una cuadratura completa (<math display="inline">\eta _\xi=2</math> y <math display="inline">\eta _\xi=3</math> para elementos de viga de dos y tres nodos, respectivamente). Se recomienda la integración uniforme reducida para ''todos los términos de la matriz de rigidez'' en el caso curvo para aliviar el bloqueo debido a los efectos axiles (Apartados 9.5 y 10.11.1).

Esta formulación se puede adaptar a la teoría de Euler-Bernoulli haciendo <math display="inline">\theta _{ z'}={\partial v'\over \partial x'},\quad \theta _{x'}= -{\partial  w'\over \partial x'}</math>,  satisfaciendo así la condición de ortogonalidad del giro de la normal. Esto lleva a la desaparición de las deformaciones de cortante  debidas a la flexión, e introduce la necesidad de aproximaciones de continuidad <math display="inline">C^1</math> para los desplazamientos locales <math display="inline">v'</math> y <math display="inline">w'</math>, ya que aparecen sus segundas derivadas en la expresión de la deformación axil. Se puede seguir utilizando una interpolación de continuidad <math display="inline">C^0</math> para el desplazamiento axial <math display="inline">u'</math>. Esto se puede implementar definiendo la interpolación de los desplazamientos en los ejes locales seguida de su transformación a ejes globales. El elemento de viga de Euler-Bernoulli degenerado de dos nodos más simple emplea una aproximación cúbica Hermítica para <math display="inline">v'</math> y <math display="inline">w'</math> y un campo lineal para <math display="inline">u'</math>. Para material homogéneo, sección constante y carga uniforme, la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes coinciden con las expresiones obtenidas mediante la teoría de vigas 3D clásica (Apartado 4.7).

==4.13 CONCLUSIONES==

En este capítulo hemos estudiado la formulación de elementos de viga 3D, válidos para el análisis de vigas de material compuesto, usando las teorías de Timoshenko y Euler-Bernoulli. Se ha presentado  la teoría de torsión libre de Saint-Venant y la más sofisticada teoría de torsión que tiene en cuenta los efectos de alabeo en secciones  de pared delgada abiertas. El elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con un único punto de integración es probablemente la opción más útil para el análisis de todo tipo de vigas 3D.

Los elementos de viga 3D obtenidos por degeneración de elementos sólidos 3D pueden ser una opción interesante en algunos casos.

Es posible acoplar los elementos de viga 3D con elementos de placa o de lámina. Esto es de  utilidad  para el análisis de estructuras de placas y láminas rigidizadas con vigas. Este tema se estudia en el Apartado 10.21.