4 VIGAS TRIDIMENSIONALES DE MATERIAL COMPUESTO

4 VIGAS TRIDIMENSIONALES DE MATERIAL COMPUESTO

4.1 INTRODUCCIÓN

Una viga tridimensional (3D), también llamada pieza, es un sólido prismático alargado sometido a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de torsión. Se pueden encontrar estructuras con vigas 3D en edificios y construcciones industriales, arcos, placas rigidizadas, partes estructurales de vehículos de transporte terrestre, fuselajes de aviones y naves espaciales, cascos de barcos, piezas mecánicas, etc. La Figura 4.1 muestra ejemplos esquemáticos de estructuras formadas por piezas rectas.

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Figura 4.1: Representación esquemática de estructuras de vigas 3D formadas por ensamblaje de piezas rectas sometidas a esfuerzos axiles, de flexión, de cortante y de torsión. Los puntos señalan la unión entre piezas

En este capítulo estudiaremos el cálculo por el MEF de vigas 3D de sección arbitraria y material compuesto. Muchos de los conceptos son extensiones de los estudiados para vigas planas en los Capítulos 1–3 y se añaden algunos temas avanzados. En aras de la exhaustividad, se explican los principales conceptos teóricos de la teoría de vigas 3D, aunque de forma concisa. Se recomienda a los lectores que no estén familiarizados con el análisis de vigas 3D, el estudio de libros clásicos de Resistencia de Materiales y Análisis Estructural [Li,OR,SJ,Ti2,3].

En la primera parte del capítulo se aborda el estudio de una viga 3D de material compuesto mediante una extensión de las teorías de vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko estudiadas en los Capítulos 1 y 2. Se describe la formulación de elementos de viga 3D de dos nodos rectos y curvos. Se supone que la relación constitutiva entre las tres tensiones y deformaciones significativas tiene forma diagonal. Esto restringe la aplicabilidad de la formulación a un rango específico (aunque amplio) de materiales compuestos. La torsión libre (torsión de Saint-Venant) se estudia primero. Esta teoría supone que las tensiones y deformaciones inducidas por el alabeo de la sección son nulas. Esta hipótesis es exacta cuando el momento torsor es constante a lo largo de la longitud de la viga y el alabeo no está restringido en ningún punto. La teoría de Saint-Venant es también una buena aproximación cuando el torsor no es uniforme en vigas de secciones macizas (rectangular, cuadrada, circular, etc.), en secciones formadas por piezas rectangulares delgadas (sección angular, sección en T, etc) y en secciones huecas celulares (tubos, cajones con ancho/largo ${\textstyle \leq 4}$, etc.). Se explica también una particularización del elemento de viga 3D de dos nodos basado en la teoría de Saint-Venant para emparrillados planos.

Para otros tipos de secciones bajo torsión no uniforme, o torsión uniforme restringida, deben tenerse en cuenta las tensiones y deformaciones de alabeo [MB,OR,Vl]. Se presenta con detalle una teoría de torsión para vigas de pared delgada abierta que exhiben fuertes efectos de alabeo. También se describe brevemente una versión refinada de esta teoría que tiene en cuenta las deformaciones tangenciales inducidas por la torsión.

Al final del capítulo, presentamos un procedimiento para desarrollar elementos de viga 3D mediante una degeneración de elementos de sólido 3D. Esta formulación es aplicable a vigas de material compuesto y es una alternativa a los métodos tradicionales para desarrollar elementos de viga usando teorías ``clásicas de vigas. En el Capítulo 10 se aplican los elementos de viga 3D para su uso como rigidizadores de placas.

4.2 DEFINICIONES BÁSICAS PARA UNA VIGA 3D DE MATERIAL COMPUESTO

4.2.1 Ejes locales y globales

Una viga 3D es un sólido prismático de longitud ${\textstyle L}$ y área transversal ${\textstyle A}$, orientado en la dirección longitudinal ${\textstyle x'}$, cuyas dimensiones en el plano ${\textstyle y'z'}$, ortogonal a ${\textstyle x'}$, son relativamente pequeñas comparadas con la longitud ${\textstyle L}$. El punto O obtenido por intersección del eje de la viga ${\textstyle x'}$ con la sección transversal se supone situado en el eje neutro. Por lo tanto, el eje ${\textstyle x'}$ se denomina en adelante eje de la viga o eje neutro indistintamente.

La geometría de la viga se define en un sistema de coordenadas global ${\textstyle x,y,z}$ (Figura 4.2).

En lo que sigue supondremos que el eje de la viga es recto y las propiedades de los materiales y las geométricas constantes a lo largo del eje ${\textstyle x'}$.

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Figura 4.2: Viga 3D homogénea. Sistemas de referencia global ($x,y,z$) y local ($x',y',z'$). Ejes neutro y elástico. Desplazamientos y giros globales

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Figura 4.3: Centros de gravedad y de cortante (G y C) y posición del eje neutro (O) en una sección con material compuesto

La definición del eje ${\textstyle x'}$ de la viga como el eje neutro desacopla los efectos de flexión y axial (Apartado 3.6). Los efectos de flexión y de torsión también están desacoplados cuando las fuerzas externas en las direcciones ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ actúan sobre el centro de cortantes (denominado también centro de esfuerzos cortantes o centro de torsión) ${\textstyle C}$. La línea recta que conecta los puntos ${\textstyle C}$ de todas las secciones es el eje elástico ${\textstyle {\hat {x}}'}$. En nuestros desarrollos supondremos que los ejes neutro y elástico son paralelos, aunque no coincidentes (Figura 4.2).

El punto ${\textstyle O}$ sobre el eje neutro coincide con el centro de gravedad de la sección ${\textstyle G}$ para secciones homogéneas (Figura 4.2 y Apartado 3.6).

Para secciones macizas homogéneas, secciones de pared delgada cerradas y secciones de pared delgada abiertas con simetría doble, los puntos ${\textstyle O}$, ${\textstyle G}$ y ${\textstyle C}$ coinciden (Figuras 4.2 y 4.6).

Para vigas de material compuesto, el centro de gravedad (G), el centro de cortantes (C) y el eje neutro (O) no suelen coincidir (Figura 4.3).

4.2.2 Comportamiento constitutivo

Las tres tensiones locales en una sección (${\textstyle \sigma _{x'},\tau _{x'y'},\tau _{x'z'}}$) (Figura 4.4) se relacionan con las deformaciones conjugadas (${\textstyle \varepsilon _{x'},\gamma _{x'y'},\gamma _{x'z'}}$) mediante la ecuación constitutiva

${\boldsymbol {\sigma }}_{x'}=\left\{{\begin{matrix}\sigma _{x'}\\\tau _{x'y'}\\\tau _{x'z'}\end{matrix}}\right\}={\boldsymbol {D}}'\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\\gamma _{x'y'}\\\gamma _{x'z'}\end{matrix}}\right\}={\boldsymbol {D}}'{\boldsymbol {\varepsilon }}'$

(4.1)

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Figura 4.4: Tensiones en una viga 3D

La matriz constitutiva ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ de dimensión ${\textstyle 3\times 3}$ se deduce de la ecuación constitutiva general de la elasticidad 3D [On4] haciendo cero las deformaciones que se desprecian en la teoría de vigas 3D (es decir, ${\textstyle \varepsilon _{y'}=\varepsilon _{z'}=\gamma _{y'z'}=0}$). Para un material heterogéneo, ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ es una matriz llena (simétrica). Para las teorías de vigas estudiadas en este capítulo supondremos que el material es ortótropo con la orientación de uno de los ejes principales del material coincidente con el eje de la viga. Bajo esta hipótesis, la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ tiene una simple (y estándar) forma diagonal

${\boldsymbol {D}}'=\left[{\begin{matrix}E&0&0\\0&G_{y'}&0\\0&0&G_{z'}\end{matrix}}\right]$

(4.2)

donde ${\textstyle E}$ es el módulo de Young longitudinal (${\textstyle E=E_{x'}}$) y ${\textstyle G_{y'}}$ y ${\textstyle G_{z'}}$ son los módulos de rigidez transversal (${\textstyle G_{y'}=G_{x'y'}}$; ${\textstyle G_{z'}=G_{x'z'}}$). Para material isótropo

$G_{y'}=G_{z'}=G={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

(4.3)

Los parámetros del material pueden variar en cada punto de la sección, siempre que la anterior hipótesis se mantenga.

La forma simple de ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ de la Ec.(4.2) nos permitirá hacer uso de conceptos de la teoría clásica de vigas que probablemente sean familiares para muchos lectores.

Sección de materiales compuesto laminados

Para una sección de material compuesto laminado (Figura 4.5a) supondremos que los parámetros constitutivos son constantes dentro de cada capa. Los valores de ${\textstyle E}$, ${\textstyle G_{y'}}$ y ${\textstyle G_{z'}}$ para la capa se pueden calcular rotando las ecuaciones constitutivas para el material de la capa (supuesto en estado de tensión plana, es decir, ${\textstyle \sigma _{n}=0}$) de los ejes laminares (${\textstyle L,T,n}$) a los ejes locales de la viga (${\textstyle x',y',z'}$), siguiendo un procedimiento similar al explicado en el Apartado 8.3.3. La matriz ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ resultante es una matriz llena que puede diagonalizarse eliminando en primer lugar ${\textstyle \varepsilon _{y'}}$ y ${\textstyle \gamma _{y'z'}}$, que se suponen nulos, e imponiendo después que las relaciones constitutivas de ${\textstyle \sigma _{x'}}$, ${\textstyle \tau _{x'y'}}$ y ${\textstyle \tau _{y'z'}}$ estén desacopladas.

Un procedimiento alternativo es mantener la expresión completa de la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ y después simplificar su forma generalizada (${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$) que relaciona los esfuerzos y las deformaciones generalizadas [Va,VOO].

En nuestros desarrollos aceptaremos que ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ es diagonal, lo cual ocurre invariablemente cuando el ángulo entre el eje longitudinal laminar ${\textstyle L}$ y el eje ${\textstyle x'}$ es ${\textstyle 0^{\circ }}$ o ${\textstyle 90^{\circ }}$ (Figura 4.5a). A pesar de esta simplificación, este modelo es aplicable a un gran número de vigas de material compuesto laminado.

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Figura 4.5: (a) Ejes laminares ($L,T,n$) en una sección de material compuesto laminado. (b) Ejes principales de inercia ($y',z'$) de una sección

Bajo las hipótesis anteriores es útil definir ${\textstyle x'}$ como el eje neutro, e ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ como los ejes principales de inercia de la sección.

4.2.3 Parámetros constitutivos resultantes y eje neutro

Elijamos un sistema de coordenadas ortogonal arbitrario ${\textstyle {\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}}}$ vinculado al centro de gravedad ${\textstyle G}$, con ${\textstyle {\bar {x}}}$ paralelo a ${\textstyle x'}$. Una simple traslación de este sistema al eje neutro O (cuya posición es aún desconocida) da el sistema ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ vinculado al punto O (Figura 4.5b). Los parámetros constitutivos resultantes (generalizados) axiales y flectores se definen como

${\hat {D}}_{a}=\iint _{A}E\,dA\quad ,\quad {\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}=\iint _{A}E{\bar {y}}'{\bar {z}}'dA$ ${\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}=\iint _{A}E{\bar {z'}}^{2}\,dA\quad ,\quad {\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}}=\iint _{A}E{\bar {y'}}^{2}\,dA$ (4.4) ${\hat {D}}_{ab_{{\bar {y}}'}}=\iint _{A}E{\bar {z}}'\,dA\quad ,\quad {\hat {D}}_{ab_{{\bar {z}}'}}=\iint _{A}E{\bar {y}}'\,dA$ (4.5)

Para vigas 3D de materiales compuestos e isótropos, el eje local ${\textstyle x'}$ del sistema ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ se define como el eje neutro si

${\hat {D}}_{ab_{{\bar {y}}'}}=\iint _{A}E({\bar {y}}',{\bar {z}}'){\bar {z}}'\,dA=0$

(4.6.a)

${\hat {D}}_{ab_{{\bar {z}}'}}=\iint _{A}E({\bar {y}}',{\bar {z}}'){\bar {y}}'\,dA=0$

(4.6.b)

El eje neutro en el sistema de coordenadas ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ satisface

${\begin{array}{l}\displaystyle \iint _{A}E{\bar {z}}'\,dA=\iint _{A}E({\bar {z}}-{\bar {z}}_{0})\,dA=0\\[.4cm]\displaystyle \iint _{A}E{\bar {y}}'\,dA=\iint _{A}E({\bar {y}}-{\bar {y}}_{0})\,dA=0\end{array}}$

(4.7)

Las Ecs.(4.7) dan la posición del punto neutro ${\textstyle O({\bar {y}}_{0},{\bar {z}}_{0})}$ en el sistema ${\textstyle x',{\bar {y}},{\bar {z}}}$ como (Figura 4.5b)

${\bar {z}}_{0}=\displaystyle {\frac {\displaystyle \iint _{A}E{\bar {z}}dA}{\displaystyle \iint _{A}E\,dA}}={\frac {{\hat {D}}_{ab_{\bar {y}}}}{{\hat {D}}_{a}}}\quad ,\quad {\bar {y}}_{0}=\displaystyle {\frac {\displaystyle \iint _{A}E{\bar {y}}dA}{\displaystyle \iint _{A}E\,dA}}={\frac {{\hat {D}}_{ab_{\bar {z}}}}{{\hat {D}}_{a}}}$

(4.8)

La posición del eje neutro no cambia si el sistema local ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ se gira alrededor de ${\textstyle x'}$ para dar el sistema de coordenadas local final ${\textstyle x',y',z'}$ donde ${\textstyle y',z'}$ son los ejes principales de inercia.

4.2.4 Ejes principales de inercia

Los ejes principales de inercia ${\textstyle y',z'}$ que definen el sistema de coordenadas local ${\textstyle x',y',z'}$ (en el punto sobre el eje neutro O) se obtienen en función de los parámetros constitutivos en el sistema ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ como sigue.

Las coordenadas ${\textstyle y',z'}$ de un punto arbitrario de la sección se expresan en función de las coordenadas ${\textstyle {\bar {y}}',{\bar {z}}'}$, es decir

${\begin{array}{l}y'=C{\bar {y}}'+S{\bar {z}}'\\z'=-S{\bar {y}}'+C{\bar {z}}'\qquad {\hbox{with }}C=\cos \alpha \,,S=\operatorname {sen} \alpha \end{array}}$

(4.9)

donde ${\textstyle \alpha }$ es el ángulo entre el eje principal ${\textstyle y'}$ y el ${\textstyle {\bar {y}}'}$ (Figura 4.5b). Usando las Ecs.(4.4) obtenemos

${\hat {D}}_{b_{y'z'}}=\iint _{A}Ey'z'dA=CS({\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}-{\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}})+(C^{2}-S^{2}){\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}$

(4.10)

Los ejes $y'$ y $z'$ son ejes principales de inercia si ${\hat {D}}_{b_{y'z'}}=0$, es decir, si

$\tan 2\alpha ={\frac {-2{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}}{{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}-{\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}}}}$

(4.11)

Los parámetros constitutivos de flexión principales ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{z'}}}$ y ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{y'}}}$ se obtienen en función de los parámetros constitutivos en el sistema de coordenadas ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ como

${\begin{array}{l}\displaystyle {\hat {D}}_{b_{z'}}=\iint {_{A}Ey'}^{2}\,dA=C^{2}{\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}}+2CS{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}+S^{2}{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}\\[.4cm]\displaystyle {\hat {D}}_{b_{y'}}=\iint {_{A}Ez'}^{2}\,dA=S^{2}{\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}}-2CS{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}+C^{2}{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}\end{array}}$

(4.12.a)

Usando la Ec.(4.10) se obtiene

$({\hat {D}}_{b_{y'}},{\hat {D}}_{b_{z'}})={\frac {1}{2}}({\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}+{\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}})\pm {\frac {1}{2}}\left[\left({\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}-{\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}}\right)^{2}+4{\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}^{2}\right]^{1/2}$

(4.12.b)

4.2.5 Resumen de los pasos para definir el sistema de coordenadas local

Los pasos para definir el sistema de coordenadas local ${\textstyle x',y',z'}$, vinculado al punto O sobre el eje neutro (Figura 4.5b), para una viga 3D son:

1. Encontrar el centro de gravedad ${\textstyle G}$ de la sección y definir el sistema ortogonal ${\textstyle {\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}}}$ vinculado al punto G, en el que ${\textstyle {\bar {x}}}$ es paralelo a ${\textstyle x'}$.
2. Encontrar la posición ${\textstyle {\bar {y}}_{0},{\bar {z}}_{0}}$ del punto O sobre el eje neutro que define los sistemas ${\textstyle x',{\bar {y}}',{\bar {z}}'}$ vinculados a dicho punto (Ecs.(4.7)). Calcular los parámetros constitutivos ${\textstyle {\hat {D}}_{a}}$, ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'}}}$, ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{{\bar {z}}'}}}$ y ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}}$ mediante las Ecs.(4.4).
3. Calcular el ángulo ${\textstyle \alpha }$ que define la posición del sistema de coordenadas local ${\textstyle x',y',z'}$ vinculado al punto O (Ec.(4.11)).
4. Calcular los parámetros de flexión en los ejes principales de inercia ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{y'}}}$, ${\textstyle {\hat {D}}_{b_{z'}}}$ mediante las Ecs.(4.12).

Para material homogéneo el eje neutro coincide con el centro de gravedad y

${\bar {z}}_{0}={\frac {1}{A}}\iint _{A}{\bar {z}}\,dA\quad ,\quad {\bar {y}}_{0}={\frac {1}{A}}\iint _{A}{\bar {y}}\,dA$

(4.13)

Las direcciones principales de inercia ${\textstyle y',z'}$ se definen en este caso por

$\tan 2\alpha =-{\frac {2I_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}}{I_{{\bar {y}}'}-I_{{\bar {z}}'}}}$

(4.14)

y los momentos principales de inercia son

$(I_{y'},I_{z'})={\frac {1}{2}}(I_{{\bar {y}}'}+I_{{\bar {z}}'})\pm {\frac {1}{2}}\left[(I_{{\bar {y}}'}-I_{{\bar {z}}'})^{2}+4I_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}\right]^{1/2}$

(4.15.a)

con

$(I_{{\bar {y}}'},I_{{\bar {z}}'},I_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'})=\iint _{A}({\bar {z'}}^{2},{\bar {y'}}^{2},{\bar {y}}'{\bar {z}}')dA$

(4.15.b)

Si ${\textstyle {\bar {y}}'}$ o ${\textstyle {\bar {z}}'}$ son ejes de simetría, entonces ${\textstyle I_{{\bar {y}}'{\bar {z}}'}=0}$ y ${\textstyle I_{y'}=I_{{\bar {y}}'}}$, ${\textstyle I_{z'}=I_{{\bar {z}}'}}$.

4.2.6 Cálculo del centro de esfuerzos cortantes

Sea ${\textstyle x'}$ el eje neutro y ${\textstyle y',z'}$ los ejes principales de inercia de una sección. El campo de tensiones está definido por las tensiones ${\textstyle \sigma _{x'}}$, ${\textstyle \tau _{x'y'}}$ y ${\textstyle \tau _{x'z'}}$ (Figura 4.4). Las tensiones tangenciales ${\textstyle \tau _{x'y'}}$ y ${\textstyle \tau _{x'z'}}$ definen los esfuerzos cortantes ${\textstyle Q_{y'}}$ y ${\textstyle Q_{z'}}$ y el momento torsor ${\textstyle M_{x'}}$ (denominado “el torsor” por brevedad)

$Q_{y'}=\!\iint _{A}\tau _{x'y'}\,dA~~,~~Q_{z'}=\!\iint _{A}\tau _{x'z'}\,dA~~,~~M_{x'}=\!\iint _{A}(\tau _{x'z'}y'-\tau _{x'y'}z')\,dA$

(4.16)

El torsor con respecto al eje elástico ${\textstyle {\hat {x}}'}$ que pasa por el punto ${\textstyle C}$ de coordenadas ${\textstyle {y'}_{c},z'_{c}}$ es

$M_{{\hat {x}}'}=\!\iint _{A}\left[\tau _{x'z'}{(y'-y'}_{c})-\tau _{x'y'}{(z'-z'}_{c})\right]dA=M_{x'}{-y'}_{c}Q_{z'}{+z'}_{c}Q_{y'}$

(4.17)

El punto ${\textstyle C}$ es el centro de esfuerzos cortantes si los esfuerzos debidos a los efectos de flexión satisfacen

$M_{{\hat {x}}'}=M_{x'}{-y'}_{c}Q_{z'}{+z'}_{c}Q_{y'}=0$

(4.18)

lo que da

$\displaystyle {y'}_{c}={M_{x'} \over Q_{z'}}\qquad {\hbox{ para }}Q_{y'}=0\quad {\hbox{ y }}Q_{z'}\not =0$

(4.19.a)

$\displaystyle {z'}_{c}=-{M_{x'} \over Q_{y'}}\qquad {\hbox{ para }}Q_{z'}=0\quad {\hbox{ y }}Q_{y'}\not =0$

(4.19.b)

El procedimiento para calcular ${\textstyle {y'}_{c}}$ en una viga de material compuesto es el siguiente:

• Calcular la distribución de ${\textstyle \tau _{x'y'}}$ y ${\textstyle \tau _{x'z'}}$ sobre la sección para un esfuerzo cortante ${\textstyle Q_{z'}}$ siguiendo el procedimiento explicado en el Apéndice D para el caso general, o el del Apartado 3.7 para flexión cilíndrica.
• Calcular ${\textstyle M_{x'}}$ mediante la Ec.(4.16) y después ${\textstyle {y'}_{c}}$ mediante la Ec.(4.19.a).

  Se repiten los mismos pasos para calcular ${\textstyle {z'}_{c}}$ empleando el cortante ${\textstyle Q_{y'}}$. Claramente, el método también es aplicable a vigas homogéneas.

La Figura 4.6 muestra la posición del centro de gravedad O y del centro de esfuerzos cortantes C para algunas secciones. Para otras secciones ver [PCh,Yo].

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Figura 4.6: Posición del centro de gravedad (G), el centro de esfuerzos cortantes (C) y el eje neutro (O) de algunas secciones homogéneas

Por conveniencia, se define un nuevo sistema de referencia local ${\textstyle {\hat {x}}',{\hat {y}}',{\hat {z}}'}$ en el centro de esfuerzos cortantes C tal que ${\textstyle {\hat {x}}',{\hat {y}}'}$ y ${\textstyle {\hat {z}}'}$ son paralelos a ${\textstyle x',y'}$ y ${\textstyle z'}$, respectivamente (Figura 4.7).

4.2.7 Propiedades del centro de esfuerzos cortantes

Las propiedades del centro de esfuerzos cortantes son las siguientes:

• Las fuerzas externas ${\textstyle F_{{\hat {y}}'}}$ y ${\textstyle F_{{\hat {z}}'}}$ aplicadas en el centro de esfuerzos cortantes no producen un giro de la sección. Esto quiere decir que las tensiones tangenciales ${\textstyle \tau _{x'y'}}$ y ${\textstyle \tau _{x'z'}}$ debidas a ${\textstyle F_{y'}}$ y ${\textstyle F_{z'}}$ se asocian a una flexión únicamente.

• Las fuerzas externas ${\textstyle F_{y'}}$ y ${\textstyle F_{z'}}$ aplicadas en un punto arbitrario ${\textstyle D}$ se equilibran por tensiones tangenciales debidas a los esfuerzos cortantes ${\textstyle Q_{z'}=F_{{\hat {z}}'}}$ y ${\textstyle Q_{y'}=F_{{\hat {y}}'}}$ y a un torsor ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}=F_{z'}{(y'}_{D}-c'_{c})-F_{y'}{(z'}_{z}'_{c}'_{c})}$.

• Por lo anterior, cualquier carga contenida en el plano ${\textstyle y'z'}$ se puede reducir a dos cargas (${\textstyle F_{{\hat {y}}'}}$, ${\textstyle F_{{\hat {z}}'}}$) actuando en el centro de esfuerzos cortantes y un torsor ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ alrededor del eje elástico ${\textstyle {\hat {x}}'}$. Las dos fuerzas originan desplazamientos en los ejes ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ y los correspondientes estados de flexión (en los planos ${\textstyle x'y'}$ y ${\textstyle x'z'}$, respectivamente), mientras que el torsor induce un giro de la sección (${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$) alrededor del eje elástico (Figura 4.7).

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Figura 4.7: Fuerzas externas $F_{x'}$, $F_{z'}$ y torsor $M_{{\hat {x}}'}$ actuando en el centro de esfuerzos cortantes C

• La tensiones tangenciales debidas a la flexión en el plano ${\textstyle x'y'}$ satisfacen

$Q_{y'}=\!\!\iint _{A}\tau _{x'y'}\,dA\not =0\quad ,\quad Q_{z'}=0\quad ,\quad M_{{\hat {x}}'}=0$

(4.20.a)

las debidas a la flexión en el plano ${\textstyle x'z'}$ (${\textstyle \tau _{x'z'}}$) satisfacen

$Q_{z'}=\!\!\iint _{A}\tau _{x'z'}\,dA\not =0\quad ,\quad Q_{y'}=0\quad ,\quad M_{{\hat {x}}'}=0$

(4.20.b)

y las debidas al torsor ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ (${\textstyle \tau _{x'y'}}$, ${\textstyle \tau _{x'z'}}$) satisfacen

$Q_{y'}=Q_{z'}=0\quad ,\quad M_{{\hat {x}}'}=\!\!\iint _{A}[\tau _{x'z'}{(y'-y'}_{c})-\tau _{x'y'}{(z'-z'}_{c})]\,dA\not =0$

(4.21)

• Para torsión uniforme no coaccionada, un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes induce únicamente tensiones tangenciales en la sección. Para un torsor no uniforme o una torsión uniforme coaccionada, se inducen también tensiones axiales de alabeo. En todos los casos, el esfuerzo axil y los momentos flectores inducidos por un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes son cero (Apéndice F).

• El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza cuando la sección está sometida a un torsor actuando en el punto neutro O. Esta propiedad se deduce del teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti (Figura 4.8), es decir

$F_{{\hat {z}}'}w_{c}^{'M}=M_{x'}\theta _{x'}^{F}$

(4.22)

Si ${\textstyle F_{{\hat {z}}'}}$ pasa por ${\textstyle C}$ entonces el giro ${\textstyle \theta _{z'}^{F}}$ debido a la fuerza ${\textstyle F_{{\hat {z}}'}}$ es cero. Por consiguiente, el desplazamiento vertical del centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle w_{c}^{'M}}$ debido a ${\textstyle M_{x'}}$ es también cero. Lo mismo ocurre para una fuerza ${\textstyle \theta _{y'}^{F}}$ actuando en ${\textstyle C}$. Esto explica porqué el centro de esfuerzos cortantes también se llama en ocasiones centro de giro.

Figura 4.8: El centro de esfuerzos cortantes no se desplaza bajo un torsor $M_{x'}$ actuando en el punto O sobre el eje neutro

• Si la sección es simétrica respecto a ${\textstyle y'}$, el punto ${\textstyle C}$ se ubica sobre ese eje y ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}=0}$. También si ${\textstyle O}$ es un punto de doble simetría, los puntos ${\textstyle O}$ y ${\textstyle C}$ coinciden. Finalmente si la sección se define como un ensamblaje de paredes delgadas que intersectan en un único punto, el centro de esfuerzos cortantes prácticamente coincide con dicho punto (Figura 4.6).

• Para material homogéneo la posición de ${\textstyle C}$ es normalmente una propiedad geométrica de la sección. La posición del centro de esfuerzos cortantes para distintas secciones homogéneas se puede encontrar en muchas publicaciones [PCh,Yo].

• Una excepción de la anterior afirmación son las vigas de pared delgada muy deformables y con sección abierta. En este caso el centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$ ya no es una propiedad de la sección y depende de las condiciones de contorno y las fuerzas externas (ya que las tensiones tangenciales debidas a la torsión no son nulas en la línea media) [Hy].

• Para una viga de material compuesto laminado la posición del centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$ depende de la geometría y de las propiedades de cada capa. El Apéndice I describe un procedimiento para calcular la posición de C en secciones abiertas de pared delgada y material compuesto laminado.

4.3 VIGAS 3D DE MATERIAL COMPUESTO DE SAINT-VENANT

Estudiamos en primer lugar el cálculo por el MEF de vigas 3D de material compuesto que satisfacen la hipótesis de torsión libre de Saint-Venant, es decir, la sección de la viga se puede deformar libremente debido al torsor. Como consecuencia, la tensiones (y las deformaciones) axiles debidas a la torsión (efectos de alabeo) son cero, o de poca importancia. Como ya se ha mencionado anteriormente, esta hipótesis la cumplen las secciones macizas, las secciones en T y las secciones cerradas de pared delgada (incluyendo las secciones multicelulares). La formulación también es aplicable a secciones abiertas de pared delgada, si el torsor es uniforme y el alabeo no está coaccionado a lo largo de la viga. En el Apartado 4.10 se presenta una formulación refinada para secciones abiertas de pared delgada que tiene en cuenta los efectos de alabeo. En todos los casos, se admiten las hipótesis de Timoshenko para la flexión, es decir, la secciones planas permanecen planas pero no necesariamente ortogonales al eje de la viga. Esto introduce efectos de deformación de cortante en los modos de flexión, como se describe en el Capítulo 2 para vigas planas.

En el Apartado 4.7 se explica brevemente la formulación de vigas 3D de Saint-Venant siguiendo las hipótesis de Euler-Bernoulli.

4.3.1 Campos de desplazamientos y de deformaciones. Teoría de Timoshenko

Asumiremos que el centro de esfuerzos cortantes C y el eje neutro O no coinciden. Por consiguiente, existirá un acoplamiento entre los efectos axiles, de flexión/cortante y torsor si las variables cinemáticas se eligen en ${\textstyle O}$ o en ${\textstyle C}$.

Se puede, sin embargo, conseguir un desacoplamiento de dichos efectos eligiendo las siguientes variables cinemáticas [BD5]:

• el desplazamiento axial ${\textstyle u'}$ en el punto neutro ${\textstyle O}$ (${\textstyle {u'}_{0}}$),
• los desplazamiento ${\textstyle v'}$ y ${\textstyle w'}$ en la dirección de los ejes ${\textstyle {\hat {y}}'}$ y ${\textstyle {\hat {z}}'}$, respectivamente, en el centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$ (${\textstyle {v'}_{c},w'_{c}}$),
• el giro de torsión ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$, y
• los giros ${\textstyle \theta _{y'}}$ y ${\textstyle \theta _{z'}}$ alrededor de los ejes ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ en O (Figura 4.9).

Nótese que, al contrario que en capítulos anteriores, hemos elegido la representación vectorial para los giros (Figura 4.9).

Se destaca también que como el eje elástico es paralelo al eje neutro, los giros torsores ${\textstyle \theta _{x'}}$ y ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ tienen el mismo valor (Figura 4.9). En lo que sigue mantendremos el giro ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ como variable cinemática, por conveniencia.

Las variables cinemáticas en el punto ${\textstyle C}$ se expresan en función de sus valores en el punto ${\textstyle O}$, antes de su transformación a ejes globales.

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Figura 4.9: Puntos de muestreo para las variables cinemáticas y los esfuerzos asociados

El campo de desplazamientos sobre la sección de la viga debido a los efectos flectores, según la teoría de Timoshenko (Capítulo 2), se escribe como

${u'=u'}0+z'\theta _{y'}-y'\theta _{z'}\qquad ;\qquad {v'=v'}_{c}\qquad ;\qquad {w'=w'}_{c}$

(4.23)

donde los subíndices ${\textstyle 0}$ y ${\textstyle c}$ denotan los puntos de muestreo de cada desplazamiento.

El campo de desplazamientos se completa con el movimiento debido a la torsión. En la teoría de Saint-Venant se supone que las secciones de la viga giran libremente alrededor del eje ${\textstyle x'}$ por efecto de un giro torsor ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ que varía linealmente a lo largo de ${\textstyle {\hat {x}}'}$ (y también de ${\textstyle x'}$). Los desplazamientos en las direcciones ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ son ${\textstyle {-(z'-z'}_{c})\theta _{{\hat {x}}'}}$ y ${\textstyle {(y'-y'}_{c})\theta _{{\hat {x}}'}}$, respectivamente, donde ${\textstyle {y'}_{c}}$ y ${\textstyle {z'}_{c}}$ son las coordenadas del centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$.

El desplazamiento axial introducido por el giro torsor es ${\textstyle \omega \phi _{\omega }}$ donde ${\textstyle \omega }$ es la función de alabeo y ${\textstyle \phi _{\omega }}$ es la tasa de torsión. Se supone también que ${\textstyle \phi _{\omega }}$ coincide con la variación del giro torsor a lo largo del eje de la viga, es decir

$\phi _{\omega }={\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}$

(4.24)

La Figura 4.10 muestra los desplazamientos de torsión libre de Saint-Venant de un punto arbitrario ${\textstyle P}$ de la sección.

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Figura 4.10: Representación gráfica de los desplazamientos de torsión libre de Saint-Venant de un punto $P$ en los eje locales $x',y,z'$

La hipótesis (4.24) equivale a despreciar en el análisis los efectos de las deformaciones de cortante inducidas por la torsión. En el Apartado 4.11 se estudia cómo tener en cuenta esas deformaciones en vigas de sección abierta de pared delgada.

El desplazamiento de torsión se superpone al inducido por los movimientos axial y de flexión. El campo de desplazamientos resultante se puede escribir como

${\boldsymbol {u}}'=\left\{{\begin{matrix}u'\\[.3cm]v'\\[.3cm]w'\end{matrix}}\right\}={\underset {\hbox{ axial}}{\left\{{\begin{matrix}{u'}0\\[.3cm]0\\[.3cm]0\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\hbox{ flexion}}{\left\{{\begin{matrix}z'\theta _{y'}-y'\theta _{z}'\\[.3cm]{v'}_{c}\\[.3cm]{w'}_{c}\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\hbox{torsion libre}}{\left\{{\begin{matrix}\omega {d\theta _{{\hat {x}}'} \over dx'}\\[.3cm]{-(z'-z'}_{c})\theta _{{\hat {x}}'}\\[.3cm]{(y'-y'}_{c})\theta _{y'}\end{matrix}}\right\}}}$

(4.25)

El vector de movimientos locales es

${\boldsymbol {u}}{'=[u'}_{0},v'_{c},w'_{c},\theta _{{\hat {x}}'},\theta _{y'},\theta _{z'}]^{T}$

(4.26)

El campo de deformaciones (local) se puede deducir de las Ecs.(4.1) y (4.24) como

${\boldsymbol {\varepsilon }}'=\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\[.3cm]\gamma _{x'y'}\\[.3cm]\gamma _{x'z'}\end{matrix}}\right\}={\underset {\begin{array}{c}{\hbox{axial}}\end{array}}{\left\{{\begin{matrix}{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}\\[.3cm]0\\[.3cm]0\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\begin{array}{c}{\hbox{ flexion en}}\\[-.2cm]{\hbox{el plano x'z'}}\end{array}}{\left\{{\begin{matrix}z'{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'}\\[.3cm]0\\[.3cm]{{\partial {w'}_{c}} \over \partial x'}+\theta _{y'}\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\begin{array}{c}{\hbox{ flexion en}}\\[-.2cm]{\hbox{el plano x'y'}}\end{array}}{\left\{{\begin{matrix}-y'{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'}\\[.3cm]{{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}-\theta _{z'}\\[.3cm]0\end{matrix}}\right\}}}+$

$+{\underset {\begin{array}{c}{\hbox{ torsion libre}}\end{array}}{\left\{{\begin{matrix}0\\[.3cm]\left({{\partial \omega } \over \partial y'}{-(z'-z'}_{c})\right){{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\\[.3cm]\left({{\partial \omega } \over \partial z'}{+(y'-y'}_{c})\right){{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\end{matrix}}\right\}}}$

(4.27)

Las Ecs.(4.25) y (4.27) muestran la superposición de los movimientos y las deformaciones debidos a los efectos axil, flector y torsor.

Como se supone que el giro torsor ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ varía linealmente a lo largo del eje elástico ${\textstyle {\hat {x}}'}$, entonces ${\textstyle {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'} \over {\partial {x'}^{2}}}=0}$, y el ángulo de torsión no contribuye a la deformación axil ${\textstyle \varepsilon _{x'}}$. Este no ocurre así en vigas con secciones de pared delgada abierta (Apartado 4.10).

La Ec.(4.27) se puede reescribir como

${\boldsymbol {\varepsilon }}'={\boldsymbol {S}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'$

(4.28.a)

donde ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$ es el vector de deformaciones generalizadas locales dado por

$\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'},\left({{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}-\theta _{z'}\right),\left({{\partial {w'}_{c}} \over \partial x'}+\theta _{y'}\right),{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'},{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'},{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right]^{T}$

(4.28.b)

y ${\textstyle {\boldsymbol {S}}_{1}}$ es la matriz de transformación de deformaciones

${\boldsymbol {S}}_{1}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&z'&-y'&0\\0&1&0&0&0&\left[\displaystyle {{\partial \omega } \over \partial y'}{-(z'-z'}_{c})\right]&\\[.4cm]0&0&1&0&0&\left[\displaystyle {{\partial \omega } \over \partial z'}{+(y'-y'}_{c})\right]&\end{matrix}}\right]$

(4.29)

Recordemos que si el centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$ y el eje neutro ${\textstyle O}$ coinciden entonces ${\textstyle {y'}_{z}'_{c}=c=0}$.

4.3.2 Tensiones, esfuerzos y matriz constitutiva generalizada

El vector de esfuerzos se define como

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\left\{{\begin{matrix}N\\Q_{y'}\\Q_{z'}\\M_{y'}\\M_{z'}\\M_{{\hat {x}}'}\end{matrix}}\right\}=\iint _{A}\left\{{\begin{matrix}\sigma _{x'}\\\tau _{x'y'}\\\tau _{x'z'}\\z'\sigma _{x'}\\-y'\sigma _{x'}\\{\Big [}{(y'-y'}_{c})\tau _{x'z'}{-(z'-z'}_{c})\tau _{x'y'}{\Big ]}\end{matrix}}\right\}dA$

(4.30)

donde ${\textstyle N}$ es el esfuerzo axil, ${\textstyle Q_{y'}}$ y ${\textstyle Q_{z'}}$ son los esfuerzos cortantes según los ejes ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$, respectivamente, ${\textstyle M_{y'}}$ y ${\textstyle M_{z'}}$ son los momentos flectores alrededor de ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$, respectivamente y ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ es el torsor alrededor del eje ${\textstyle {\hat {x}}'}$ (Figura 4.9).

La Ec.(4.30) se puede reescribir como

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\iint _{A}{\boldsymbol {S}}_{2}{\boldsymbol {\sigma }}'\,dA\quad {\hbox{donde}}\quad {\boldsymbol {S}}_{2}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\z'&0&0\\-y'&0&0\\0&{-(z'-z'}_{c})&{(y'-y'}_{c})\end{matrix}}\right]$

(4.31)

Nótese que

${\boldsymbol {S}}_{1}={\boldsymbol {S}}_{2}^{T}+\left[{\begin{matrix}0&0&0&0&0&0\\[.15cm]0&0&0&0&0&\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial y'}}\\[.35cm]0&0&0&0&0&\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial x'}}\end{matrix}}\right]$

(4.32)

Recuérdese que en un estado de flexión, los esfuerzos cortantes ${\textstyle Q_{y'}}$ y ${\textstyle Q_{z'}}$ no son nulos mientras que ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}=0}$. Por el contrario, en un estado de torsión pura ${\textstyle Q_{y'}=Q_{z'}=0}$, mientras que ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ no es nulo (Ecs.(4.20) y (4.21)).

4.3.3 Matriz constitutiva generalizada

El desacoplamiento entre los efectos de flexión y torsión implica que los esfuerzos cortantes ${\textstyle Q_{y'}}$ y ${\textstyle Q_{z'}}$ se calculan a partir de las tensiones tangenciales inducidas por la flexión únicamente, mientras que el torsor ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ se calcula a partir de las tensiones tangenciales debidas a la torsión. Teniendo esto en cuenta, la relación entre esfuerzos y las deformaciones generalizadas se puede obtener a partir de la Ec.(4.30), usando las Ecs.(4.1) y (4.27), como

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\left\{{\begin{matrix}N\\Q_{y'}\\Q_{z'}\\M_{y'}\\M_{z'}\\M_{{\hat {x}}'}\end{matrix}}\right\}=\iint _{A}\left\{{\begin{matrix}E\varepsilon _{x'}\\[.15cm]G_{y'}\left({{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}-\theta _{x'}\right)\\[.15cm]G_{z'}\left({{\partial {w'}_{c}} \over \partial z'}+\theta _{y'}\right)\\[.15cm]z'E\varepsilon _{x'}\\[.15cm]-y'E\varepsilon _{x'}\\[.15cm]D_{t}\end{matrix}}\right\}dA$

(4.33)

donde

$D_{t}=\left[G_{z'}\left({{\partial w} \over \partial z'}{+y'-y'}_{c}\right){(y'-y'}_{)}-G_{y'}\left({{\partial w} \over \partial y'}{-z'+z'}_{c}\right){(z'-z'}_{c})\right]{\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}$

(4.34)

Sustituyendo en (4.33) la expresión de ${\textstyle \varepsilon _{x'}}$ de la Ec.(4.27) y recordando que ${\textstyle y',z'}$ son los ejes principales de inercia se obtiene

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'={\hat {\boldsymbol {D}}}'{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'$

(4.35)

La matriz constitutiva generalizada ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ tiene la siguiente forma diagonal

${\hat {\boldsymbol {D}}}'=\left[{\begin{matrix}{\hat {D}}_{a}&\vdots &0&0&0&0&\vdots &0\\[-.15cm]\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\[-.15cm]0&\vdots &{\hat {D}}_{s_{y'}}&0&0&0&\vdots &0\\0&\vdots &0&{\hat {D}}_{s_{z'}}&0&0&\vdots &0\\0&\vdots &0&0&{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&\vdots &0\\0&\vdots &0&0&0&{\hat {D}}_{b_{z'}}&\vdots &0\\[-.15cm]\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\[-.15cm]0&\vdots &0&0&0&0&\vdots &{\hat {D}}_{t}\\\end{matrix}}\right]={\begin{bmatrix}{\hat {D}}_{a}&\mathbf {0} &{0}\\\mathbf {0} &{\hat {{\boldsymbol {D}}'}}_{f}&\mathbf {0} \\{0}&\mathbf {0} &{\hat {D}}_{t}\\\end{bmatrix}}$

(4.36.a)

donde ${\textstyle {\hat {D}}_{a},{\hat {{\boldsymbol {D}}'}}_{f}}$ y ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ denotan las contribuciones axil, de flexión y de torsión en la matriz ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ con

${\begin{array}{l}\displaystyle {\hat {D}}_{a}=\!\iint _{A}E\,dA\,\,;\quad {\hat {D}}_{s_{y'}}=k_{y'}\iint _{A}G_{y'}dA\,\,;\quad {\hat {D}}_{s_{z'}}=k_{z'}\iint _{A}G_{z'}dA\\[.3cm]\displaystyle {\hat {D}}_{b_{y'}}=\!\iint {_{A}Ez'}^{2}\,dA\,\,;\quad {\hat {D}}_{b_{z'}}=\!\iint {_{A}Ey'}^{2}\,dA\\[.3cm]\displaystyle {\hat {D}}_{t}=\!\iint _{A}\left[G_{z'}\left({{\partial \omega } \over \partial z'}{+y'-y'}_{c}\right){(y'-y'}_{c})-G_{y'}\left({{\partial \omega } \over \partial y'}{-z'+z'}_{c}\right){(z'-z'}_{c})\right]dA\end{array}}$

(4.36.b)

donde ${\textstyle k_{y'}}$ y ${\textstyle k_{z'}}$ son los coeficientes de corrección del cortante que tienen en cuenta una distribución no uniforme de las tensiones tangenciales. Estos coeficientes se pueden calcular como se describe en el Apartado 3.8 y en el Apéndice D

La forma diagonal de ${\hat {\boldsymbol {D}}}'$ en la Ec.(4.36.a) se obtiene sólo si $x'$ es el eje neutro e $y'$ y $z'$ son ejes principales de inercia. De lo contrario, ${\hat {\boldsymbol {D}}}'$ es una matriz llena (Ejemplo 1).

Las integrales de la Ec.(4.36.b) para vigas de material compuesto se llevan a cabo teniendo en cuenta la distribución de las propiedades del material sobre la sección. Para una viga de material heterogéneo (que satisfaga la Ec.(4.1)) es conveniente dividir la sección en celdas, cada una con propiedades del material diferentes. La integración se lleva a cabo evaluando las integrales de la Ec.(4.36.b) para cada celda y efectuando tras ello la suma correspondiente.

Para vigas de material compuesto laminado con una orientación del material como la mostrada en la Figura 3.3, los parámetros constitutivos generalizados axiles, flectores y de cortante se pueden calcular a partir de las Ecs.(3.12) como

${\begin{array}{l}\displaystyle {\hat {D}}_{a}=\sum \limits _{k=1}^{n_{l}}b_{k}h_{k}E^{k}~,~{\hat {D}}_{s_{y'}}=k_{y'}\sum \limits _{k=1}^{n_{l}}b_{k}h_{k}G_{y'}^{k}~,~{\hat {D}}_{s_{z'}}=k_{z'}\sum \limits _{k=1}^{n_{l}}b_{k}h_{k}G_{z'}^{k}\\[.3cm]\displaystyle {\hat {D}}_{b_{y'}}=\sum \limits _{k=1}^{n_{l}}{\frac {b_{k}}{3}}{(z'}_{k+1}^{3}{-z'}_{k}^{3})E^{k}~,~{\hat {D}}_{b_{z'}}=\sum \limits _{k=1}^{n_{l}}{\frac {h_{k}b_{k}^{3}}{12}}E^{k}\end{array}}$

(4.37)

donde ${\textstyle {h_{k}=z'}_{k+1}{-z'}_{k}}$ y ${\textstyle b_{k}}$ son el espesor y el ancho de la capa ${\textstyle k}$, ${\textstyle n_{l}}$ es el número de capas y ${\textstyle (\cdot )^{k}}$ denota valores para la capa ${\textstyle k}$.

El cálculo de la rigidez torsional ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ depende de la función de alabeo ${\textstyle \omega }$. Esta función se puede obtener como se explica en el Apartado 4.3.4.

La Tabla 4.1 muestra el valor promedio de ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ para dos secciones de material compuesto laminado obtenido resolviendo las Ecs.(4.45) para obtener la función de alabeo ${\textstyle w}$ y luego calculando ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ por la Ec.(4.35b). Para ambos cálculos se utilizó el MEF con mallas de triángulos de tres nodos para discretizar la sección [DB5,Bo].

Tabla. 4.1 Rigidez torsional ${\hat {D}}_{t}$ para dos vigas laminadas. Los resultados muestran el valor promedio de ${\hat {D}}_{t}$ en la sección obtenido resolviendo las Ecs.(4.36b) y (4.45) con el MEF usando diferentes mallas de triángulos de tres nodos [DB5,Bo]

	Material 1	Material 2
Piel	Aluminio	Aluminio
	G=23664 MPa	G=23664 MPa
		Espuma de poliestireno	Araldita
		G=7.7 MPa	G=1362 MPa

	Nº de triángulos de tres nodos por capa	8	32	72	128
	Nº de nodos	15	45	91	153
Material 1 ~	${\hat {D}}_{t}\times 10^{-6}$N/m${\textstyle ^{2}}$	7.23	7.55	7.61	7.62
Material 2  ~	${\hat {D}}_{t}\times 10^{-6}$N/m${\textstyle ^{2}}$	28.05	26.30	26.00	25.86

Las expresiones (4.37) se simplifican para material homogéneo a

${\begin{array}{l}\displaystyle {\hat {D}}_{a}=EA\quad ,\quad {\hat {D}}_{s_{y'}}=k_{y'}G_{y'}A\quad ,\quad {\hat {D}}_{s_{z'}}=k_{z'}G_{z'}A\\[.3cm]\displaystyle {\hat {D}}_{b_{y'}}=EI_{y'}\quad ,\quad D_{b_{z'}}=EI_{z'}~,~{\hat {D}}_{t}=GJ\end{array}}$

(4.38.a)

donde ${\textstyle I_{y'}}$ y ${\textstyle I_{z'}}$ son los momentos principales de inercia, ${\textstyle k_{y'}}$ y ${\textstyle k_{z'}}$ dependen de la geometría de la sección (${\textstyle k_{y'}=k_{z'}=5/6}$ para sección rectangular) y ${\textstyle J}$ es la inercia torsional dada por

$J=\iint _{A}\left({\hat {y}}{\partial \omega \over \partial z'}-{\hat {z}}{\partial \omega \over \partial y'}+{\hat {y}}^{2}+{\hat {z}}^{2}\right)dA$

(4.38.b)

donde ${\textstyle {\hat {y=y'-y'}}_{c}}$, ${\textstyle {\hat {z=z'-z'}}_{c}}$.

La Figura 4.11 muestra los valores de ${\textstyle J}$ para algunas secciones homogéneas [BD5,PCh,Yo].

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Figura 4.11: Inercia torsional $J$ y tensión tangencial máxima $\tau _{i}$ para algunas secciones homogéneas. El punto $i$ muestra la posición de $\tau _{i}$

Las tres tensiones y deformaciones locales en un punto de una sección se pueden calcular a partir de los esfuerzos. Teniendo en cuenta el desacoplamiento entre las tensiones de flexión y torsión, deducimos de las Ecs.(4.28a), (4.35) y (4.1)

${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\varepsilon }}'={\boldsymbol {S}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'={\boldsymbol {S}}_{1}{\hat {\boldsymbol {D}}}^{'-1}{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'\\[.35cm]{\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {D}}'{\boldsymbol {\varepsilon }}'={\boldsymbol {D}}'{\bar {\boldsymbol {S}}}_{1}{\hat {\boldsymbol {D}}}^{'-1}{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'\end{array}}$

(4.39.a)

donde

${\bar {\boldsymbol {S}}}_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&-z'&y'&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

(4.39.b)

para las tensiones y deformaciones inducidas por los efectos axil y flector, y

${\bar {\boldsymbol {S}}}_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&\displaystyle {{\partial w} \over \partial y'}{-(z'-z'}_{c})\\[.4cm]0&0&0&0&0&\displaystyle {{\partial w} \over \partial z'}{+(y'-y'}_{c})\\\end{bmatrix}}$

(4.39.c)

para las tensiones y deformaciones de cortante inducidas por la torsión libre.

El cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión presenta algunas características particulares, ya que requiere el conocimiento de la función de alabeo. Este tema se trata en los próximos apartados para el caso general y para secciones cerradas de pared delgada. Las secciones abiertas de pared delgada se tratan en el Apartado 4.10.

Ejemplo 4.1:

Obtener la matriz constitutiva generalizada ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ para una posición arbitraria del eje de la viga.

Supongamos que el eje ${\textstyle x'}$ no coincide con el eje neutro y que ${\textstyle y',z'}$ no son ejes principales de inercia. Sustituyendo las expresión de la tensión axil ${\textstyle \sigma _{x'}}$ (Ec.(4.27)) en la integral para el vector de esfuerzos (Ec.(4.33)) da

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\iint _{A}\left\{{\begin{matrix}\displaystyle E\left({{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}+z'{{\partial \theta _{x'}} \over \partial x'}-y'{{\partial \theta _{x'}} \over \partial x'}\right)\\\displaystyle G_{y'}\left({{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}-\theta _{x'}\right)\\\displaystyle G_{z'}\left({{\partial {w'}_{c}} \over \partial x'}+\theta _{y'}\right)\\\displaystyle z'E\left({{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}+z'{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'}-y'{{\partial \theta _{x'}} \over \partial x'}\right)\\-y'E\\D_{t}\end{matrix}}\right\}dA$

donde ${\textstyle D_{t}}$ se define en la Ec.(4.34). Con un poco de álgebra se obtiene

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'={\hat {\boldsymbol {D}}}'{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'\quad {\hbox{con}}\quad {\hat {\boldsymbol {D}}}'=\iint _{A}\left[{\begin{matrix}E&0&0&z'E&-y'E&0\\0&G_{y'}&0&0&0&0\\0&0&G_{z'}&0&0&0\\z'E&0&0&{z'}^{2}E&-y'z'E&0\\-y'E&0&0&-y'z'E&{y'}2E&0\\0&0&0&0&0&D_{t}\end{matrix}}\right]dA$

con ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$ dado por la Ec.(4.28b).

Vemos que ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ es ahora una matriz llena (simétrica). Esto implica que los efectos axiles y flectores están acoplados; es decir, que una fuerza axial induce efectos de flexión y viceversa. Los términos de fuera de la diagonal en ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ desaparecen si ${\textstyle x'}$ es el eje neutro y ${\textstyle y',z'}$ son los ejes principales de inercia (Apartado 4.2.3).

En la práctica, se puede emplear tanto la forma llena de ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ o la diagonal dada en la Ec.(4.36a) obteniéndose resultados idénticos. La más sencilla forma diagonal requiere del cálculo “a priori” de la posición del eje neutro y los ejes principales de inercia.

Estas consideraciones no afectan al valor de la rigidez torsional ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$.

4.3.4 Cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión y de la función de alabeo

Las tensiones tangenciales debidas a la torsión libre de Saint-Venant se expresan en función de los desplazamientos como (ver Ecs.(4.1) y (4.27))

${\begin{array}{l}\displaystyle \tau _{x'y'}=G_{y'}\gamma _{x'y'}=G_{y'}{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\left[{{\partial \omega } \over \partial y'}{-(z'-z'}_{c})\right]\\[.3cm]\displaystyle \tau _{x'z'}=G_{z'}\gamma _{x'z'}=G_{z'}{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\left[{{\partial \omega } \over \partial z'}{+(y'-y'}_{c})\right]\end{array}}$

(4.40)

La ecuación de equilibrio en la dirección ${\textstyle x'}$ (teniendo en cuenta que ${\textstyle \sigma _{x'}}$ es cero bajo torsión pura) es (Apéndice B)

${\frac {\partial \tau _{x'y'}}{\partial y'}}+{\frac {\partial \tau _{x'z'}}{\partial z'}}=0\qquad {\hbox{en }}A$

(4.41)

donde ${\textstyle A}$ es la sección de la viga. Sustituyendo las Ecs.(4.40) en (4.41) da

${{\partial } \over \partial y^{\prime }}\left(G_{y'}{{\partial \omega } \over \partial y'}\right)+{{\partial } \over \partial z^{\prime }}\left(G_{z'}{{\partial \omega } \over \partial z'}\right)=0\quad {\hbox{en }}A$

(4.42)

La Ec.(4.42) es una ecuación de Laplace que debe satisfacer la siguiente condición en la frontera de la sección transversal ${\textstyle \Gamma }$ [ZTZ]

$\tau _{n}=\tau _{x'y'}n_{y'}+\tau _{x'z'}n_{z'}=0\quad {\hbox{en }}\Gamma$

(4.43)

Teniendo en cuenta que ${\textstyle n_{y'}=-{\partial z' \over \partial s}}$ y ${\textstyle n_{z'}={\partial y' \over \partial s}}$ y usando las Ecs.(4.40) tenemos

$G_{y'}{{\partial \omega } \over \partial y'}n_{y'}+G_{z'}{{\partial \omega } \over \partial z'}n_{z'}+G_{y'}{(z'-z'}_{c}){\partial z' \over \partial s}+G_{z'}{(y'-y'}_{c}){\partial y' \over \partial s}=0\qquad {\hbox{en }}\Gamma$

(4.44)

Las Ecs.(4.42) y (4.44) se simplifican para material homogéneo a

${{\partial ^{2}\omega } \over \partial y^{\prime 2}}+{{\partial ^{2}\omega } \over \partial z^{\prime 2}}=0\quad {\hbox{en}}\quad A$

(4.45.a)

${{\partial \omega } \over \partial n}+{1 \over 2}{\frac {\partial }{\partial s}}\left[{(z'-z'}_{c})^{y}'_{c}y'-y'_{c})^{2}\right]=0\quad {\hbox{en }}\Gamma$

(4.45.b)

La solución de estas ecuaciones diferenciales proporciona la distribución de ${\textstyle \omega }$ para secciones de forma geométrica sencilla y material homogéneo. Para el caso general, las Ecs.(4.45) se resuelven típicamente empleando el MEF o el método de diferencias finitas [BD4,Bo,OR,PCh,Yo,ZTZ].

Las Ecs.(4.45) proporcionan una distribución de ${\textstyle \omega }$ sobre la sección que no es única, ya que su solución no se ve afectada por añadir una constante a ${\textstyle \omega }$. Esto no es un problema ya que las tensiones tangenciales dependen de las derivadas de ${\textstyle \omega }$ (Ec.(4.40)) y, por consiguiente, los resultados no están influenciados por el valor de dicha constante.

Una vez se ha encontrado la distribución de ${\textstyle \omega }$ sobre la sección, se puede calcular la rigidez torsional ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ mediante la Ec.(4.36b). Esto se suele hacer normalmente con la misma malla de elementos finitos, o de diferencias finitas, utilizada para resolver las Ecs.(4.45) [BD4,Bo]. La Tabla 4.1 muestra un ejemplo de este procedimiento para calcular ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ en dos vigas de material compuesto laminado empleando el MEF.

La Figura 4.11 muestra la posición de la tensión tangencial máxima en algunas secciones homogéneas [BD5,PCh,Yo].

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Figura 4.12: Tubo de pared delgada de forma arbitraria

4.3.5 Secciones de pared delgada cerradas

Dada la geometría de las secciones de pared delgada cerradas es conveniente separar las tensiones tangenciales en sus componentes normal y tangencial a la línea media de la pared ${\textstyle \tau _{x's}}$ y ${\textstyle \tau _{x'n}}$, denominadas en adelante ${\textstyle \tau _{s}}$ y ${\textstyle \tau _{n}}$ por simplicidad (Figura 4.12). Es también usual suponer que la tensión tangencial normal ${\textstyle \tau _{n}}$ es nula en todo el espesor de la pared, ya que las caras externas de la viga no tienen tensiones y el espesor de la pared es pequeño. El flujo de las tensiones tangenciales ${\textstyle \tau _{s}}$ (en adelante flujo de cortante) se define como

$f(s)=t\tau _{s}(s)$

(4.46)

De la ecuación de equilibrio local para un elemento diferencial de la viga de pared delgada (Ec.(4.41)) deducimos (suponiendo ${\textstyle \tau _{n}=0}$) [BC]

${\partial \tau _{s} \over \partial s}+{\partial \tau _{n} \over \partial n}={\partial \tau _{s} \over \partial s}={\frac {1}{t}}{\partial f \over \partial s}=0\quad \to \quad f(s)=f={\hbox{constante}}$

(4.47)

Esta distribución de flujo de cortante constante genera un torsor ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ alrededor del punto O sobre el eje neutro (coincidente con el centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$) dado por

$M_{{\hat {x}}'}=\int _{L_{s}}frds=f\int _{L_{s}}rds=2Af$

(4.48)

donde ${\textstyle A}$ es el área encerrada por la linea central de la pared con perímetro ${\textstyle {L_{s}}}$. De las Ecs.(4.46) y (4.48) la tensión tangencial resultante del torsor se encuentra como

$\tau _{s}={\frac {M_{{\hat {x}}'}}{2At}}$

(4.49)

Esta ecuación se completa con la variación del giro torsor a la largo de la viga (Ec.(4.24))

$\phi _{w}:={\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}={\frac {M_{{\hat {x}}'}}{{\hat {D}}_{t}}}$

(4.50)

La rigidez torsional ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ se puede obtener igualando el trabajo virtual externo complementario [ZTZ,BC] realizado por la tensión tangencial y usando la Ec.(4.49), es decir

$\phi _{w}\delta M_{{\hat {x}}'}=\int _{L_{s}}\gamma _{s}\delta \tau _{s}ds=\int _{L_{s}}\tau _{s}{\frac {\delta \tau _{s}}{G}}tds=\left[\int _{L_{s}}{\frac {M_{{\hat {x}}'}}{4A^{2}Gt}}ds\right]\delta M_{{\hat {x}}'}$

(4.51)

De la Ec.(4.51) encontramos, después de simplificar y tener en cuenta que ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ es constante a lo largo de ${\textstyle {L_{s}}}$,

$\phi _{\omega }={\frac {1}{{\hat {D}}_{t}}}M_{{\hat {x}}'}\quad {\hbox{con}}\quad {\hat {D}}_{t}=4A^{2}\left[\int _{L_{s}}{\frac {ds}{Gt}}\right]^{-1}$

(4.52)

Para una sección cerrada arbitraria de espesor de pared constante

${\hat {D}}_{t}={\frac {4GtA^{2}}{L_{s}}}=GJ\quad {\hbox{con}}\quad J={\frac {4tA^{2}}{L_{s}}}$

(4.53)

La Ec.(4.53) muestra que la sección de rigidez torsional máxima es el tubo circular de pared delgada. La tensión tangencial se deduce de la Ec.(4.49) como

$\tau _{s}={\frac {M_{{\hat {x}}'}}{2\pi R_{m}^{2}t}}$

(4.54)

donde ${\textstyle R_{m}}$ es el radio medio del tubo.

4.3.6 Torsión de secciones multicelulares

En secciones multicelulares, por razones de equilibrio se requiere que el flujo de cortante sea constante en cada pared. Además, en cada nudo de conexión, la suma de flujos que concurren en él debe ser cero [AMR,BC,OR].

Estos requerimientos de continuidad se satisfacen automáticamente si los flujos de cortante se suponen constantes en cada celda. Para la sección de cuatro celdas de la Figura 4.13 los flujos de cortante que circulan alrededor de cada celda se denominan ${\textstyle f^{(1)},f^{(2)},f^{(3)}}$ y ${\textstyle f^{(4)}}$, y se indica su sentido positivo [BC]. La Figura 4.13 también ilustra los flujos de cortante que concurren en el nudo ${\textstyle {E}}$. La condición de continuidad en el nudo se satisface porque ${\textstyle (f^{(4)})+(f^{(3)}-f^{(4)})+(f^{(2)}-f^{(3)})+(-f^{(2)})=0}$.

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Figura 4.13: Flujos de cortante en una sección multicelular de pared delgada [BC]

La solución del problema requiere el cálculo de los flujos de cortante constantes, uno alrededor de cada celda. El torsor total de la sección ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$ es la suma de los torsores de las celdas individuales, ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}^{(i)}}$, donde ${\textstyle i}$ indica el número de celda, es decir

$M_{{\hat {x}}'}=\sum \limits _{i=1}^{N_{cel}}M_{{\hat {x}}'}^{(i)}=2\sum \limits _{i=1}^{N_{cel}}{A}^{(i)}f^{(i)}$

(4.55)

donde ${\textstyle N_{cel}}$ es el número de celdas y ${\textstyle {A}^{(i)}}$ el área encerrada por la celda ${\textstyle i}$ de perímetro ${\textstyle C^{(i)}}$. Esta ecuación por si sola no permite la determinación de los flujos de cortante de las ${\textstyle N_{cel}}$ celdas.

Se pueden encontrar ecuaciones adicionales expresando las condiciones de compatibilidad que requieren que la tasa de torsión de las distintas celdas sea idéntica. En respuesta al flujo de cortante ${\textstyle f^{(i)}}$ que actúa dentro de una celda, se desarrolla en la celda una tasa de torsión ${\textstyle \phi _{\omega }^{(i)}}$. La compatibilidad de las deformaciones de todas las celdas proporciona ${\textstyle N_{cel}-1}$ ecuaciones adicionales

$\phi _{\omega }^{(1)}=\phi _{\omega }^{(2)}=\cdots =\phi _{\omega }^{(i)}=\cdots =\phi _{\omega }^{(N_{cel})}$

(4.56)

La relación entre la tasa de torsión y el torsor de cada celda se deduce de la Ec.(4.51) como

$\phi _{\omega }^{(i)}=\int _{L_{s}^{(i)}}{\frac {M_{{\hat {x}}'}^{(i)}}{4({A}^{(i)})^{2}}}{\frac {ds}{Gt}}=\int _{L_{s}^{(i)}}{\frac {2{A}^{(i)}f}{4({A}^{(i)})^{2}}}{\frac {ds}{Gt}}={\frac {1}{2{A}^{(i)}}}\int _{L_{s}^{(i)}}{\frac {f}{Gt}}ds$

(4.57)

Las Ecs.(4.56) y (4.57) proporcionan las ${\textstyle N_{cells}}$ ecuaciones necesarias para encontrar los ${\textstyle N_{cel}}$ flujos de cortante en las celdas de una sección multicelular sometida a torsión.

Ejemplo 4.2:

Sección transversal de dos celdas.

La sección de pared delgada mostrada en la Figura 4.14 (tomada de [BC]) representa una sección muy idealizada de una estructura de perfil aerodinámico. La parte frontal (curva) se llama borde de ataque, el pilar vertical se llama larguero y la parte trasera borde de salida. La Ec.(4.55) da

$M_{{\hat {x}}'}=2\sum \limits _{i=1}^{N_{cel}}{A}^{(i)}f^{(i)}=\pi R^{2}f^{(1)}+6R^{2}f^{(2)}$

(4.58)

Figura 4.14: Sección de pared delgada de dos celdas sometida a torsión [BC]

La condición de compatibilidad requiere tasas de torsión idénticas para las dos celdas. La Ec.(4.57) proporciona la tasa de torsión para la celda frontal como

${\begin{array}{l}\phi _{\omega }^{(1)}&=&\displaystyle {\frac {1}{2{A}^{(1)}}}\int _{C^{(1)}}{\frac {f}{Gt(s)}}ds={\frac {1}{G\pi R^{2}/2}}\left[{\frac {f^{(1)}}{t}}\pi R+{\frac {f^{(1)}-f^{(2)}}{3t}}2R\right]\\&=&\displaystyle {\frac {1}{G\pi Rt}}\left[\pi f^{(1)}+{\frac {2}{3}}(f^{(1)}-f^{(2)})\right]\end{array}}$

(4.59)

y la tasa de torsión para la celda del borde de salida es

$\phi _{\omega }^{(2)}=\displaystyle {\frac {1}{2{A}^{(2)}}}\int _{C^{(2)}}{\frac {f}{Gt(s)}}ds={\frac {1}{6G3R^{2}}}\left[{\frac {f^{(2)}-f^{(1)}}{3t}}2R+f^{(2)}2{\sqrt {10}}{\frac {R}{t}}\right]$ $=\displaystyle {\frac {1}{6GRt}}\left[{\frac {2}{3}}(f^{(2)}-f^{(1)})+2{\sqrt {10}}f^{(2)}\right]$

(4.60)

Igualando las dos tasas de torsión se llega a la segunda ecuación de los flujos de cortante

${\frac {1}{\pi }}\left[\pi f^{(1)}+{\frac {2}{3}}(f^{(1)}-f^{(2)})\right]={\frac {1}{6}}\left[{\frac {2}{3}}(f^{(2)}-f^{(1)})+2{\sqrt {10}}f^{(2)}\right]$

(4.61)

que se simplifica a ${\textstyle f^{(1)}=1.04f^{(2)}}$.

Este resultado, junto con la Ec.(4.58), se usan para obtener ${\textstyle f^{(1)}}$ y ${\textstyle f^{(2)}}$ como

$R^{2}f^{(1)}=1.04M_{{\hat {x}}'}/(6+1.04\pi )\quad {\hbox{and}}\quad R^{2}f^{(2)}=M_{{\hat {x}}'}/(6+1.04\pi )$

Nótese que el flujo de cortante en la celda frontal, ${\textstyle f^{(1)}}$, es sólo un 4% mayor que en el borde de salida, ${\textstyle f^{(2)}}$. Por consiguiente, el flujo de cortante en el larguero, ${\textstyle R^{2}(f^{(1)}-f^{(2)})=0.04M_{1}/(6+1.04\pi )}$, que es un valor muy pequeño.

Como la rigidez torsional de la sección cerrada es proporcional al cuadrado del área encerrada, la mayor contribución a la rigidez torsional es de la sección cerrada exterior, que es la unión de las dos celdas. Así, el mayor flujo de cortante circula por el exterior, dejando el larguero prácticamente sin carga.

La rigidez torsional se calcula como el cociente entre el torsor y la tasa de torsión (Ec.(4.50)). Como las tasas de torsión de las dos celdas son iguales, se puede emplear tanto ${\textstyle \phi _{\omega }^{(1)}}$ como ${\textstyle \phi _{\omega }^{(2)}}$. Utilizando, por ejemplo, ${\textstyle \phi _{\omega }^{(1)}}$ da

$\!\!\!{\hat {D}}_{t}={\frac {M_{{\hat {x}}'}}{\phi _{\omega }^{(1)}}}={\frac {(\pi 1.04+6)R^{2}f^{(2)}}{1/\pi GRt[1.04\pi +2/3(1.04-1)]f^{(2)}}}=2.81\pi GR^{3}t$

(4.62)

4.3.7 Principio de trabajos virtuales

El PTV se escribe como

$\iiint _{V}[\delta \varepsilon _{x'}\sigma _{x'}+\delta \gamma _{x'y'}\tau _{x'y'}+\delta \gamma _{x'z'}\tau _{x'z'}]dV\!=\!\!\int _{L}\delta {{\boldsymbol {u}}'}^{T}{\boldsymbol {t}}'dx'+\sum _{i}\delta {\boldsymbol {u}}_{i}^{\prime T}{{\boldsymbol {p}}'}_{i}$

(4.63)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {t}}'}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {p}}'_{i}}$ son fuerzas distribuidas en el eje de la viga y cargas puntuales, respectivamente, y ${\textstyle V}$ y ${\textstyle L}$ son el volumen y la la longitud de la viga.

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Figura 4.15: Fuerzas y momentos actuando en una viga 3D

Las componentes del vector de desplazamientos virtuales ${\textstyle \delta {\boldsymbol {u}}'}$ y los vectores de fuerzas externas ${\textstyle {\boldsymbol {t}}'}$ y ${\textstyle {{\boldsymbol {p}}'}_{i}}$ se expresan en el sistema de coordenadas local como (Figura 4.15)

${\begin{array}{l}\displaystyle \delta {\boldsymbol {u}}'=[\delta {u'},~,~\delta {v'},~,~\delta {w'},~,~\delta \theta _{{\hat {x}}'},~\delta \theta _{y'},~\delta \theta _{z'}]^{T}\\\displaystyle {\boldsymbol {t}}'=[f_{x'},~f_{{\hat {y}}'},~f_{{\hat {z}}'},~m_{{\hat {x}}'},~m_{y'},~m_{z'}]^{T}\\\displaystyle {{\boldsymbol {p}}'}_{i}=[F_{{x'}_{i}},~F_{y{\hat {'}}_{i}},~F_{{\hat {z'}}_{i}},~M_{{\hat {x'}}_{i}},~M_{{y'}_{i}},~M_{{z'}_{i}}]^{T}\end{array}}$

(4.64)

Nótese que las fuerzas distribuidas y puntuales que actúan a lo largo de los ejes ${\textstyle {\hat {y}}'}$ y ${\textstyle {\hat {z}}'}$ (${\textstyle f_{y'},f_{z'},F_{{y'}_{i}},~F_{{z'}_{i}}}$) así como el torsor (${\textstyle m_{{\hat {x}}'},M_{{\hat {x'}}_{i}}}$) actúan en el eje elástico ${\textstyle {\hat {x}}'}$, mientras que las fuerzas axiales (${\textstyle f_{x'},F_{{x'}_{i}}}$) y los momentos flectores (${\textstyle m_{y'},m_{z'},M_{{y'}_{i}},~M_{{z'}_{i}}}$) actúan en el eje neutro ${\textstyle x'}$ (Figura 4.15).

El trabajo virtual interno se puede escribir en función de los esfuerzos y las deformaciones virtuales generalizadas. Empleando notación matricial podemos escribir el primer miembro de la Ec.(4.63) usando las Ecs.(4.28a) y (4.32) como

$\iiint _{V}\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}^{\prime T}{\boldsymbol {\sigma }}'dV=\iiint _{V}\delta {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\prime T}{\boldsymbol {S}}_{1}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}'\,dV=\iiint _{V}\delta {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\prime T}{\boldsymbol {S}}_{2}{\boldsymbol {\sigma }}'dV+$ $+\iiint _{V}{\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial {\hat {x}}'}\left({\partial \omega \over \partial y'}\tau _{x'y'}+{\partial \omega \over \partial z'}\tau _{x'z'}\right)\,dV$

(4.65)

La primera integral del primer miembro de la ecuación anterior se puede expresar, usando la Ec.(4.31), como

$\iiint _{V}\delta {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{'T}{\boldsymbol {S}}_{2}{\boldsymbol {\sigma }}'\,dV=\!\!\int _{L}\delta {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{'T}\left(\iint _{A}{\boldsymbol {S}}_{2}{\boldsymbol {\sigma }}'dA\right)dx'=\!\int _{L}\delta {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{'T}{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'dx'$

(4.66)

La última integral del segundo miembro de la Ec.(4.65) vale cero como se muestra a continuación. Recordando que ${\textstyle \displaystyle {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}}$ es constante e integrando por partes tenemos

${\begin{array}{ll}I&=\displaystyle {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\!\iiint _{V}\!\left({\partial \omega \over \partial y'}\tau _{x'y'}+{\partial \omega \over \partial z'}\tau _{x'z'}\right)dV=\\[.3cm]&\displaystyle {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}{\Bigg [}-\iiint _{V}\!\omega \left({\partial \tau _{x'y'} \over \partial y'}+{\partial \tau _{x'z'} \over \partial z'}\right)dV\!+\!\!\iint _{S}\omega (\tau _{x'y'}n_{y'}+\tau _{x'z'}n_{z'})\,dsdx'{\Bigg ]}\end{array}}$

(4.67)

La integral de superficie del segundo miembro de la Ec.(4.67) es cero ya que ${\textstyle \tau _{x'y'}n_{y'}+\tau _{x'z'}n_{z'}=0}$ en los contornos de la viga, en ausencia de otras fuerzas de superficie (Apéndice B). Por otra parte, la tensión axil ${\textstyle \sigma _{x'}}$ originada por la de torsión es nula, y de las ecuaciones de equilibrio de la elasticidad 3D (Apéndice B) se tiene

${\partial \sigma _{x'} \over \partial x'}+{\partial \tau _{x'y'} \over \partial y'}+{\partial \tau _{x'z'} \over \partial z'}={\partial \tau _{x'y'} \over \partial y'}+{\partial \tau _{x'z'} \over \partial z'}=0$

(4.68)

y, por tanto, se deduce de la Ec.(4.67) que ${\textstyle I=0}$ en un estado de torsión.

Para las tensiones tangenciales originadas por la flexión, de la anterior ecuación de equilibrio se deduce

${\partial \tau _{x'y'} \over \partial y'}+{\partial \tau _{x'z'} \over \partial z'}=-{\partial \sigma _{x'} \over \partial x'}$

(4.69.a)

y, por tanto

$I=-\displaystyle {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\iiint _{V}\omega {\partial \sigma _{x'} \over \partial x'}dV$

(4.69.b)

De las Ecs.(4.69) y (4.27) se llega a

${\partial \sigma _{x'} \over \partial x'}=E{\partial \varepsilon _{x'} \over \partial x'}=E\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}+z'{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'}-y'{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'}\right]$

(4.70)

Sustituyendo (4.70) en (4.69b) se obtiene

${\begin{array}{ll}I&=-\displaystyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\iiint _{V}\omega E\left({{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}+z'{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'}-y'{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'}\right)dV=\\[.3cm]&=-\displaystyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\int _{L}\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}\iint _{A}E\omega dA+{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'}\iint _{A}z'E\omega dA-{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'}\iint _{A}y'E\omega dA\right]dx'\end{array}}$

(4.71)

Esta integral se anula si

$\iint _{A}E\omega \,dA=\iint _{A}z'E\omega \,dA=\iint _{A}y'E\omega \,dA=0$

(4.72)

Estas condiciones se cumplen siempre y pueden demostrarse teniendo en cuenta que el esfuerzo axil y los momentos flectores inducidos por un torsor actuando en el centro de esfuerzos cortantes son cero (Apartado 4.2.7). En conclusión, el PTV se puede escribir como

$\displaystyle \int _{L}\delta {\hat {{\boldsymbol {\varepsilon }}'}}^{T}{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'dx'=\int _{L}\delta {\boldsymbol {u}}^{\prime T}{\boldsymbol {t}}'\,dx'+\sum _{i}\delta {\boldsymbol {u}}_{i}^{\prime T}{{\boldsymbol {p}}'}_{i}$

(4.73)

4.4 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS RECTOS. ELEMENTO DE VIGA DE TIMOSHENKO 3D DE DOS NODOS

4.4.1 Definición del eje neutro y la obtención de las matrices del elemento

La línea de referencia de la viga (eje neutro) se discretiza en elementos finitos rectos 1D de continuidad ${\textstyle C^{0}}$ y longitud ${\textstyle l^{(e)}}$, como el elemento de viga de dos nodos de la Figura 4.16. Las coordenadas de un punto en la línea de referencia se obtienen por interpolación isoparamétrica [On4]

${\boldsymbol {x}}=[x_{\scriptscriptstyle 0},y_{\scriptscriptstyle 0},z_{\scriptscriptstyle 0}]^{\scriptscriptstyle T}~=~\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{n}{\boldsymbol {N}}_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}$

(4.74)

siendo ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$ el vector de coordenadas del nodo ${\textstyle i}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {N}}_{i}=N_{i}(\xi ){\boldsymbol {I}}_{3}}$, donde ${\textstyle {\boldsymbol {I}}_{3}}$ es la matriz unidad ${\textstyle 3\times 3}$ y ${\textstyle N_{i}(\xi )}$ es la función de forma 1D del nodo (Figura 2.4) y ${\textstyle n}$ es el número de nodos del elemento. El vector unitario tangente al eje neutro en un nodo se puede obtener de manera sencilla por

${\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 1_{i}}={\frac {{\boldsymbol {x}}_{\scriptscriptstyle i+1/2}-{\boldsymbol {x}}_{\scriptscriptstyle i-1/2}}{\left|{\boldsymbol {x}}_{\scriptscriptstyle i+1/2}-{\boldsymbol {x}}_{\scriptscriptstyle i-1/2}\right|}}$

(4.75)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{\scriptscriptstyle i+1/2}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{\scriptscriptstyle i-1/2}}$ son las coordenadas de los puntos medios de los elementos adyacentes al nodo ${\textstyle i}$.

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Figura 4.16: Discretización de una viga 3D en elementos rectos de dos nodos y curvos de tres nodos. Definición de los vectores tangentes unitarios en los nodos

Los vectores unitarios ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 2_{i}}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 3_{i}}}$ se definen en las direcciones principales ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ en cada nodo, respectivamente. Para vigas con sección no uniforme las direcciones principales pueden variar en cada punto. La posición de los vectores ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 1}}$, ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 2}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 3}}$ se interpolan dentro de cada elemento a partir de los valores nodales como

${\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle a}=\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{n}{\boldsymbol {N}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{{\scriptscriptstyle a}_{i}}\quad ,\quad a=1,2,3$

(4.76)

Las expresiones anteriores son particularmente útiles para elementos 1D curvos (Apartado 4.6).

Los desplazamientos locales se interpolan como

${\boldsymbol {u}}'=\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{n}N_{i}(\xi ){\boldsymbol {I}}_{\scriptscriptstyle {6}}{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)};\quad {\boldsymbol {a}}^{\prime (e)}{_{i}=[u'}_{0_{i}}{,v'}_{c_{i}}{,w'}_{c_{i}},\theta _{{\hat {x'}}_{i}},\theta _{{y'}_{i}},\theta _{{z'}_{i}}]^{T}$

(4.77)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {I}}_{\scriptscriptstyle {6}}}$ es la matriz unidad ${\textstyle 6\times 6}$. Sustituyendo la Ec.(4.77) en el vector de deformaciones generalizadas ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$ de (4.28b) se obtiene

${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'},\left({{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}-\theta _{z'}\right),\left({{\partial {w'}_{c}} \over \partial x'}+\theta _{y'}\right),{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'},{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'},{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right]^{T}=\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{n}{{\boldsymbol {B}}'}{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}$

(4.78)

con

${{\boldsymbol {B}}'}_{=}=\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&0&0&0&0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&0&0&-N_{i}&\\0&0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&N_{i}&0\\0&0&0&0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0\\0&0&0&0&0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&0\\\end{matrix}}\right]={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}\\\end{bmatrix}}$

(4.79)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{a_{i}}}$, ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{f_{i}}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{t_{i}}}$ son las contribuciones axil, de flexión y de torsión a la matriz de deformaciones generalizadas del nodo ${\textstyle i}$.

Sustituyendo la expresión de ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$ de la Ec.(4.78) en el PTV (Ec.(4.73)) y usando las Ecs.(4.35) y (4.77) se obtiene la matriz de rigidez del elemento y el vector de fuerzas nodales equivalentes para cargas distribuidas expresadas en ejes locales como

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=\int _{l^{(e)}}{\boldsymbol {B}}_{i}^{\prime \scriptscriptstyle T}{\hat {\boldsymbol {D}}}'{\boldsymbol {B}}'_{j}\,dx'\quad ,\quad {{\boldsymbol {f}}'}_{i}^{(e)}=\int _{l^{(e)}}{N}_{i}{\boldsymbol {t}}'\,dx'\quad ,\quad i,j=1,2$

(4.80)

Introduciendo las Ecs.(4.36a) y (4.79) en ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$ da

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime }=\int _{l^{(e)}}\left[{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}^{T}{\hat {D}}_{a}{\boldsymbol {B}}_{a_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}^{T}{\hat {\boldsymbol {D}}}_{f}{\boldsymbol {B}}_{f_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}^{T}{\hat {D}}_{t}{\boldsymbol {B}}_{t_{j}}\right]dx'$

(4.81)

Las matrices del elemento se evalúan normalmente mediante cuadraturas numéricas. El bloqueo por cortante se puede evitar subintegrando las contribuciones del cortante en ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$. El elemento de viga 3D más simple es el elemento de dos nodos lineal con una cuadratura uniforme de un punto. Su matriz de rigidez local se puede obtener explícitamente como

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=[{\boldsymbol {B}}_{i}^{\prime \scriptscriptstyle T}{\hat {\boldsymbol {D}}}{\boldsymbol {B}}'_{j}]_{c}l^{(e)}=\left[{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}^{T}{\hat {D}}_{a}{\boldsymbol {B}}_{a_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}^{T}{\hat {\boldsymbol {D}}}_{f}{\boldsymbol {B}}_{f_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}^{T}{\hat {D}}_{t}{\boldsymbol {B}}_{t_{j}}\right]_{c}l^{(e)}$

(4.82.a)

donde ${\textstyle (\cdot )_{c}}$ indica valores en el centro del elemento. La expresión de ${\textstyle [{\boldsymbol {B}}_{i}^{\prime }]_{c}}$ es

$[{\boldsymbol {B}}_{i}^{\prime }]_{c}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{i}&0&0&0&0&0\\[-.2cm]\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\[-.2cm]0&a_{i}&0&0&0&-1/2\\0&0&a_{i}&0&1/2&0\\0&0&0&0&a_{i}&0\\0&0&0&0&0&a_{i}\\[-.2cm]\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\[-.2cm]0&0&0&a_{i}&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\hbox{con }}~a_{i}=(-1/l^{(e)})^{i}~$

(4.82.b)

El Cuadro 1 muestra la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$ para el elemento de viga 3D de dos nodos. Nótese que es una extensión de la matriz de rigidez para el elemento de viga plana de Timoshenko de dos nodos con una cuadratura de un punto (Ec.(2.39)).

$~$ ${\boldsymbol {K}}_{11}^{\prime (e)}=\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\hat {D}}_{a} \over l^{(e)}}&0&0&0&0&0\\0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over l^{(e)}}&0&0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 2}\\0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over l^{(e)}}&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 2}&0\\0&0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{t} \over l^{(e)}}&0&0\\0&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 2}&0&\left(\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 4}l^{(e)}+\displaystyle {{\hat {D}}_{b_{y'}} \over l^{(e)}}\right)&0\\0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 2}&0&0&0&\left(\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 4}l^{(e)}+\displaystyle {{\hat {D}}_{b_{z'}} \over l^{(e)}}\right)&\\\end{matrix}}\right]$ , ${\boldsymbol {K}}_{12}^{\prime (e)}=\left[{\begin{matrix}-\displaystyle {{\hat {D}}_{a} \over l^{(e)}}&0&0&0&0&0\\0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over l^{(e)}}&0&0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 2}\\0&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over l^{(e)}}&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 2}&0\\0&0&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{t} \over l^{(e)}}&0&0\\0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 2}&0&\left(\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 4}l^{(e)}-\displaystyle {{\hat {D}}_{b_{y'}} \over l^{(e)}}\right)&0\\0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 2}&0&0&0&\left(\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 4}l^{(e)}-\displaystyle {{\hat {D}}_{bz'} \over l^{(e)}}\right)\end{matrix}}\right]$ ${\boldsymbol {K}}_{22}^{\prime (e)}=\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\hat {D}}_{a} \over l^{(e)}}&0&0&0&0&0\\0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over l^{(e)}}&0&0&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 2}&\\0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over l^{(e)}}&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 2}&0\\0&0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{t} \over l^{(e)}}&0&0\\0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 2}&0&\left(\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{z'}} \over 4}l^{(e)}+\displaystyle {\hat {D}}_{b_{y'}}\right)&0\\0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 2}&0&0&0&\left(\displaystyle {{\hat {D}}_{s_{y'}} \over 4}l^{(e)}+\displaystyle {{\hat {D}}_{b_{z'}} \over l^{(e)}}\right)\\\end{matrix}}\right]$ ${\boldsymbol {K}}_{21}^{\prime (e)}=[{\boldsymbol {K}}_{12}^{\prime (e)}]^{T}$ $~$

Cuadro 4.1: Matrices de rigidez locales ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$ de un elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos con una cuadratura uniforme de un punto

4.4.2 Transformaciones de rigidez y de fuerzas

Antes del ensamblaje es necesario referir todas las variables nodales al punto O sobre el eje neutro. De las Ecs.(4.25) obtenemos (para ${\textstyle y'=z'=0}$)

${\begin{array}{l}{v'}_{=}v'_{0}-z'_{c}_{c}\theta _{{\hat {x}}'}\\[.2cm]{w'}_{w}'_{0}+y'_{c}'_{c}\theta _{{\hat {x}}'}\end{array}}$

(4.83)

La relación entre el vector de desplazamientos nodales ${\textstyle {{\boldsymbol {a}}'}_{i}}$ y el vector que contiene los GDLs en el punto O (${\textstyle {\bar {{\boldsymbol {a}}'}}_{i}}$) es

${{\boldsymbol {a}}'}_{i}={\boldsymbol {L}}_{i}{\bar {{\boldsymbol {a}}'}}_{i}$

(4.84.a)

donde

${\bar {{\boldsymbol {a}}'}}_{i}{=[u'}_{0_{i}}{,v'}_{0_{i}}{,w'}_{0_{i}},\theta _{{x'}_{i}},\theta _{{y'}_{i}},\theta _{{z'}_{i}}]^{T}\quad {\hbox{y}}\quad {\boldsymbol {L}}_{i}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&{-z'}_{c_{i}}&0&0\\0&0&1&{y'}_{c_{i}}&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right]$

(4.84.b)

En la Ec.(4.84b) hemos tomado ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}=\theta _{x'}}$, como se menciona en el Apartado 4.3.1.

Las fuerzas puntuales nodales se transforman como

${\bar {{\boldsymbol {p}}'}}_{i}={\boldsymbol {L}}_{i}^{T}{{\boldsymbol {p}}'}_{i}$

(4.85.a)

donde

${\begin{array}{l}{\bar {{\boldsymbol {p}}'}}_{i}=[F_{{x'}_{i}},F_{{y'}_{i}},F_{{z'}_{i}},M_{{x'}_{i}},M_{{y'}_{i}},M_{{z'}_{i}}]^{T}\\{{\boldsymbol {p}}'}_{i}=[F_{{x'}_{i}},F_{{\hat {y'}}_{i}},F_{{\hat {z'}}_{i}},M_{{\hat {x'}}_{i}},M_{{\hat {y'}}_{i}},M_{{\hat {z'}}_{i}}]^{T}\end{array}}$

(4.85.b)

La Ec.(4.85a) se deduce fácilmente si tenemos en cuenta que todas las componentes de ${\textstyle {{\boldsymbol {p}}'}_{i}}$ coinciden con las de ${\textstyle {{\boldsymbol {p}}'}_{i}}$, excepto los torsores ${\textstyle M_{{x'}_{i}}}$ y ${\textstyle M_{{\hat {x'}}_{i}}}$ que se relacionan mediante (Figura 4.17)

$M_{{x'}_{i}}=M_{{\hat {x'}}_{i}}{-z'}_{c}F_{{\hat {y'}}_{i}}{+y'}_{c}F_{{\hat {z'}}_{i}}$

(4.85.c)

Figura 4.17: Componentes de los vectores de fuerzas nodales puntuales ${{\boldsymbol {p}}'}_{i}$ y ${\bar {{\boldsymbol {p}}'}}_{i}$

La transformación de la matriz de rigidez local del elemento a ejes globales es como sigue. La matriz ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$ se transforma primero al sistema ${\textstyle x',y',z'}$ situado en el punto ${\textstyle O}$ sobre el eje neutro como

${\bar {\boldsymbol {K}}}_{ij}^{\prime (e)}={\boldsymbol {L}}_{i}^{T}{\boldsymbol {K}}_{ij}^{'(e)}{\boldsymbol {L}}_{j}\quad ,~~i,j=1,2$

(4.86)

Para elementos rectos ${\textstyle {\boldsymbol {L}}_{i}={\boldsymbol {L}}_{j}}$.

La matriz ${\textstyle {\bar {\boldsymbol {K}}}_{ij}^{\prime (e)}}$ se transforma finalmente al sistema cartesiano global ${\textstyle x,y,z}$ como

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{(e)}={\boldsymbol {T}}_{i}^{T}{\bar {\boldsymbol {K}}}_{ij}^{\prime (e)}{\boldsymbol {T}}_{j}\quad {\hbox{con}}\quad {\boldsymbol {T}}_{i}=[{\boldsymbol {e}}_{1_{i}},{\boldsymbol {e}}_{2_{i}},{\boldsymbol {e}}_{3_{i}}]$

(4.87)

donde los vectores ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{1_{i}}}$, ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{2_{i}}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{3_{i}}}$ se definen como se explica en el Apartado 4.4.1.

Las dos transformaciones son equivalentes a usar la siguiente matriz de deformaciones generalizadas

${\boldsymbol {B}}_{i}={{\boldsymbol {B}}'}_{i}{\boldsymbol {L}}_{i}{\boldsymbol {T}}_{i}$

(4.88.a)

con ${\textstyle {{\boldsymbol {B}}'}_{i}}$ dada por la Ec.(4.79). La matriz de rigidez global se calcula por

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{(e)}=\int _{l^{(e)}}{\boldsymbol {B}}_{i}^{\scriptscriptstyle T}{\hat {\boldsymbol {D}}}'{\boldsymbol {B}}_{j}dx'$

(4.88.b)

La transformación de fuerzas nodales equivalentes a ejes globales sigue pasos similares. Primero se transforman las componente del vector ${\textstyle {\boldsymbol {f}}^{'(e)}}$ de la Ec.(4.80) a los ejes ${\textstyle x',y',z'}$ por

${\bar {\boldsymbol {f}}}_{i}^{'(e)}={\boldsymbol {L}}_{i}^{T}{\boldsymbol {f}}_{i}^{\prime (e)}$

(4.89)

Las fuerzas nodales equivalentes ${\textstyle {\bar {\boldsymbol {f}}}_{i}^{(e)}}$ se transforman seguidamente al sistema de coordenadas global por

${\boldsymbol {f}}_{i}^{(e)}={\boldsymbol {T}}_{i}^{T}{\bar {\boldsymbol {f}}}_{i}^{'(e)}={\boldsymbol {T}}_{i}^{T}{\boldsymbol {L}}_{i}^{T}{\boldsymbol {f}}_{i}^{\prime (e)}$

(4.90)

4.5 ELEMENTO DE VIGA 3D DE TIMOSHENKO DE DOS NODOS CUASI-EXACTO

El elemento de viga exacto de Timoshenko de dos nodos del Apartado 2.9 se puede ampliar al caso 3D. El elemento resultante proporciona resultados nodales exactos en el análisis de la flexión de vigas planas rectas 3D bajo cargas actuando en los planos ${\textstyle x'z'}$ y ${\textstyle y'z'}$. Para cargas arbitrarias (incluyendo torsores) y geometría curva de la viga (discretizada con elementos rectos de dos nodos) los resultados dejan de ser “exactos”. Sin embargo, el elemento tiene un comportamiento excelente para vigas 3D gruesas y esbeltas y estructuras reticulares, y su precisión es normalmente mejor (para un mismo número de elementos) que la del elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos del apartado anterior.

El Cuadro 2 muestra la matriz de rigidez del elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos “cuasi-exacto”.

$~$ $\!\!\!\!{\boldsymbol {K}}_{11}^{\prime (e)}\!\!=\!\!\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\hat {D}}_{a} \over l^{(e)}}&0&0&0&0&0\\0&12\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}&0&0&0&\displaystyle 6\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}\\0&0&0&\displaystyle 12\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}&-\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0\\0&0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{t} \over l^{(e)}}&0&0\\0&0&-\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\displaystyle (4+\beta _{z'}){\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}&0\\0&\displaystyle 6\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}&0&0&0&(4+\beta _{y'}){\hat {D}}_{b_{z'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]\!\!\!\!\!\!$ $\!\!\!{\boldsymbol {K}}_{12}^{\prime (e)}\!=\!\left[{\begin{matrix}-\displaystyle {{\hat {D}}_{a} \over l^{(e)}}&0&0&0&0&0\\0&-12\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}&0&0&0&\displaystyle 6\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}\\0&0&\displaystyle -12\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&-\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0\\0&0&0&-\displaystyle {{\hat {D}}_{t} \over l^{(e)}}&0&0\\0&0&\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\displaystyle (2-\beta _{z'}){\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}&0\\0&-\displaystyle 6\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}&0&0&0&(2-\beta _{y'}){\hat {D}}_{b_{z'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]\!\!\!$ ${\boldsymbol {K}}_{22}^{\prime (e)}=\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\hat {D}}_{a} \over l^{(e)}}&0&0&0&0&0\\0&12\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}&0&0&0&-\displaystyle 6\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}\\0&0&\displaystyle 12\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0\\0&0&0&\displaystyle {{\hat {D}}_{t} \over l^{(e)}}&0&0\\0&0&\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\displaystyle (4+\beta _{z'}){\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}&0\\0&-\displaystyle 6\phi _{y'}{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}&0&0&0&(4+\beta _{y'}){\hat {D}}_{b_{z'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]$

$\displaystyle \beta _{y'}={\frac {12{\hat {D}}_{b_{z'}}}{{\hat {D}}_{s_{y'}}(l^{(e)})^{2}}}\quad ,\quad \beta _{z'}={\frac {12{\hat {D}}_{b_{y'}}}{{\hat {D}}_{s_{z'}}(l^{(e)})^{2}}}$

$\phi _{y'}={\frac {1}{(1+\beta _{y'})(l^{(e)})^{3}}}\quad ,\quad \phi _{z'}={\frac {1}{(1+\beta _{z'})(l^{(e)})^{3}}}$

${\boldsymbol {K}}_{21}^{\prime (e)}=[{\boldsymbol {K}}_{12}^{\prime (e)}]^{T}$ $~$

Cuadro 4.2: Elemento de viga 3D de Timoshenko de dos nodos cuasi-exacto. Matrices de rigidez locales

El vector de fuerzas nodales equivalentes ${\textstyle {\boldsymbol {f}}^{\prime (e)}}$ para ${\textstyle f_{{\hat {x}}'}}$, ${\textstyle f_{{\hat {y}}'}}$, ${\textstyle f_{{\hat {z}}'}}$ y ${\textstyle m_{{\hat {x}}'}}$ constantes y ${\textstyle m_{y'}=m_{z'}=0}$ es

${\boldsymbol {f}}^{\prime (e)}=\left\{{\begin{matrix}{\boldsymbol {f}}_{1}^{'(e)}\\{\boldsymbol {f}}_{2}^{'(e)}\end{matrix}}\right\}$

(4.91.a)

${\boldsymbol {f}}_{1}^{'(e)}={\Bigg [}{\frac {l^{(e)}}{2}}f_{x'},f_{{\hat {y'}}_{1}},f_{{\hat {z'}}_{1}},{\frac {l^{(e)}}{2}}m_{{\hat {x}}'},\left({\frac {l^{(e)}}{2}}f_{{\hat {y}}'}-\int _{l^{(e)}}N_{1}F_{{\hat {y}}'}dx'\right),$ $\left({\frac {l^{(e)}}{2}}f_{{\hat {z}}'}-\int _{l^{(e)}}N_{1}F_{{\hat {z}}'}dx'\right){\Bigg ]}^{T}$ (4.91.b) ${\boldsymbol {f}}_{2}^{'(e)}=\displaystyle {\Bigg [}{\frac {l^{(e)}}{2}}f_{{\hat {x}}'},\left(-f_{{\hat {y'}}_{1}}+\int _{l^{(e)}}f_{{\hat {y}}'}dx'\right),\left(-f_{{\hat {z'}}_{1}}+\int _{l^{(e)}}f_{{\hat {z}}'}dx'\right),{\frac {l^{(e)}}{2}}m_{{\hat {x}}'},$ $\displaystyle \left({\frac {l^{(e)}}{2}}f_{{\hat {y'}}_{1}}-\int _{l^{(e)}}N_{2}F_{{\hat {y}}'}dx'\right),\left({\frac {l^{(e)}}{2}}f_{{\hat {z'}}_{1}}-\int _{l^{(e)}}N_{2}F_{{\hat {z}}'}dx'\right){\Bigg ]}^{T}$ (4.91.c)

En la obtención de las Ecs.(4.91) hemos supuesto que ${\textstyle f_{x'}}$ y ${\textstyle m_{{\hat {x}}'}}$ son constantes a lo largo del elemento. También

$N_{1}=1-{\frac {x'}{l^{(e)}}}\quad ,\quad N_{2}={\frac {x'}{l^{(e)}}}\quad ,\quad F_{\alpha }=\int _{0}^{x'}f_{\alpha }dx'\quad ,\quad \alpha ={\hat {y}}',{\hat {z}}'$

(4.92)

En las Ecs.(4.91b,c), ${\textstyle f_{{\hat {y'}}_{1}},f_{{\hat {z'}}_{1}}}$ se deducen de las Ecs.(2.94b) como

$f_{{\hat {y'}}_{1}}={\frac {1}{l^{(e)}(1+\beta _{y'})}}\int _{l^{(e)}}(6N_{m}+\beta _{y'})F_{{\hat {y}}'}dx'$

(4.93.a)

$f_{{\hat {z'}}_{1}}={\frac {1}{l^{(e)}(1+\beta _{z'})}}\int _{l^{(e)}}(6N_{m}+\beta _{z'})F_{{\hat {z}}'}dx'$

(4.93.b)

donde ${\textstyle F_{{\hat {y}}'}}$ y ${\textstyle F_{{\hat {z}}'}}$ se deducen de la Ec.(2.87), ${\textstyle N_{m}=\left(1-{\frac {x'}{l^{(e)}}}\right){\frac {x'}{l^{(e)}}}}$ y ${\textstyle \beta _{y'},\beta _{z'}}$ se dan en la Figura 4.2.

La expresión de ${\textstyle {{\boldsymbol {f}}'}_{1}^{(e)}}$ y ${\textstyle {{\boldsymbol {f}}'}_{2}^{(e)}}$ para cargas distribuidas uniformes y triangulares y para cargas puntuales se puede deducir de la Tabla 2.2.

Si se desprecian los efectos de deformación de cortante, entonces ${\textstyle \beta _{y'}=\beta _{z'}=0}$ y los vectores ${\textstyle \mathbf {f} ^{\prime (e)}}$ y ${\textstyle {{\boldsymbol {f}}'}_{2}^{(e)}}$ de la Ec.(4.91) son

${{\boldsymbol {f}}'}_{1}^{(e)}={\frac {l^{(e)}}{2}}{\Bigg [}f_{x'},f_{{\hat {y}}'},f_{{\hat {z}}'},m_{{\hat {x}}'},-f_{{\hat {z}}'}{\frac {l^{(e)}}{6}},f_{{\hat {y}}'}{\frac {l^{(e)}}{6}}{\Bigg ]}^{T}$ (4.94.a) ${{\boldsymbol {f}}'}_{2}^{(e)}={\frac {l^{(e)}}{2}}{\Bigg [}f_{x'},f_{{\hat {y}}'},f_{{\hat {z}}'},m_{{\hat {x}}'},f_{{\hat {z}}'}{\frac {l^{(e)}}{6}},-f_{{\hat {y}}'}{\frac {l^{(e)}}{6}}{\Bigg ]}^{T}$ (4.94.b)

4.6 ELEMENTOS DE VIGA DE TIMOSHENKO CURVOS

La formulación anterior es aplicable a vigas 3D moderadamente curvas, es decir, cuando ${\textstyle {a \over R}\ll 1}$, donde ${\textstyle R}$ es el radio de curvatura de la línea de referencia de la viga y ${\textstyle a}$ es una dimensión característica de la sección.

La linea curva se aproxima por una interpolación isoparamétrica usando elementos 1D curvos de ${\textstyle n}$ nodos [On4]. El vector tangente unitario ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{1}}$ en un punto se obtiene como

${\boldsymbol {e}}_{\scriptscriptstyle 1}={{1} \over \vert {{\partial {\boldsymbol {x}}} \over \partial s}\vert }{{\partial {\boldsymbol {x}}} \over \partial {\boldsymbol {s}}}={{1} \over \vert \sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{n}{{\partial N_{i}} \over \partial s}x_{i}\vert }\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{n}{{\partial {N}_{i}} \over \partial s}x_{i}$

(4.95)

Para los nodos extremos compartidos por dos elementos, el vector tangente nodal ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{1_{i}}}$ se obtiene por un simple promedio.

Los vectores unitarios ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{2_{i}}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{3_{i}}}$ se definen nodalmente en las direcciones principales ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ para cada sección nodal respectivamente. La posición de los vectores ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$ dentro del elemento se obtiene mediante la Ec.(4.76).

Las expresiones del elemento se deducen de las de vigas rectas sustituyendo la derivada ${\textstyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}}$ por ${\textstyle {{\partial N_{i}} \over \partial s}}$ y ${\textstyle dx'}$ por ${\textstyle ds}$, donde ${\textstyle s}$ es la coordenada curvilínea. Las derivadas curvilíneas se calculan como

${{\partial N_{i}} \over \partial s}={{\partial N_{i}} \over \partial \xi }{{\partial \xi } \over \partial s}={1 \over J}{{\partial N_{i}} \over \partial \xi }$

(4.96)

donde ${\textstyle J={{\partial s} \over \partial \xi }}$ se obtiene de la descripción isoparamétrica empleando la Ec.(4.74) (ver también el Apartado 9.8.2). Las integrales del elemento se evalúan numéricamente teniendo en cuenta que ${\textstyle ds=Jd\xi }$.

La formulación curvilínea de vigas curvas coincide con la desarrollada en el Capítulo 9 como un caso particular de elementos de lámina de revolución curvos (Apartado 9.8). En el Apartado 4.12 se presenta una formulación general para vigas 3D curvas obtenida por degeneración de elementos de sólido.

4.7 VIGAS 3D DE EULER-BERNOULLI. TEORÍA DE SAINT-VENANT

Se pueden desarrollar elementos de viga 3D de Sain-Venant según la teoría de Euler-Bernoulli a partir de la formulación del apartado anterior, imponiendo simplemente que los giros locales ${\textstyle \theta _{y'}}$ y ${\textstyle \theta _{z'}}$ coincidan con las pendientes del eje neutro. Con el criterio de signos de la Figura 4.9,

$\theta _{z'}={{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}\quad {\hbox{ y }}\quad \theta _{y'}=-{{\partial {w'}_{c}} \over \partial x'}$

(4.97)

Sustituyendo estas expresiones en las Ecs.(4.27) se obtiene el campo de deformaciones locales como

${\begin{array}{l}\varepsilon _{x'}=\displaystyle {{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}-z'{{\partial {^{2}w'}_{c}} \over \partial x^{\prime 2}}-y'{{\partial {^{2}v'}_{c}} \over \partial x^{\prime 2}}\\[.5cm]\gamma _{x'y'}=\displaystyle \left[{{\partial \omega } \over \partial y'}{-(z'-z'}_{c})\right]{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\\[.5cm]\gamma _{x'z'}=\displaystyle \left[{{\partial \omega } \over \partial z'}{+(y'-y'}_{c})\right]{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\end{array}}$

(4.98)

es decir, las deformaciones de cortante son debidas únicamente a la torsión (un estado de flexión no induce deformaciones de cortante). Los vectores de deformaciones generalizadas locales y de esfuerzos son

${\begin{array}{l}\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'},{{\partial {^{2}w'}_{c}} \over \partial x^{\prime 2}},{{\partial {^{2}v'}_{c}} \over \partial x^{\prime 2}},{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right]^{\scriptscriptstyle T}\\[.7cm]\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=[N,~M_{y'},M_{z'},~M_{{\hat {x}}'}]^{\scriptscriptstyle T}\end{array}}$

(4.99)

La nueva forma de la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {S}}_{1}}$ de la Ec.(4.29) es

${\boldsymbol {S}}_{1}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&-z'&-y'&0\\0&0&0&0&0&A&\\0&0&0&0&0&B&\end{matrix}}\right]$

(4.100)

con ${\textstyle A={{\partial \omega } \over \partial y'}{-(z'-z'}_{c})}$ y ${\textstyle B={\partial \omega \over \partial z'}{+(y'-y'}_{c})}$. Se introducen cambios similares en ${\textstyle {\boldsymbol {S}}_{2}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {S}}_{1}}$ de las Ecs.(4.31) y (4.39b).

Los cortantes ${\textstyle Q_{y'}}$ y ${\textstyle Q_{z'}}$ se calculan a posteriori a partir de la distribución de tensiones tangenciales debidas a la flexión siguiendo procedimientos de Resistencia de Materiales [Ti2,3]. El PTV viene dado por la Ec.(4.73). Se requieren aproximaciones por elementos finitos de continuidad ${\textstyle C^{1}}$ para ${\textstyle {v'}_{c}}$ y ${\textstyle {w'}_{c}}$ debido a la presencia de sus segundas derivadas en ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$.

El elemento de viga 3D de Euler-Bernoulli más sencillo tiene dos nodos y emplea una interpolación lineal ${\textstyle C^{0}}$ para el desplazamiento axial ${\textstyle {u'}_{0}}$ y el giro torsor ${\textstyle \theta _{x'}}$, y una aproximación de Hermite de continuidad ${\textstyle C^{1}}$ para ${\textstyle {v'}_{c}}$

y ${\textstyle {w'}_{c}}$. La interpolación del campo de desplazamientos se escribe como

${\boldsymbol {u}}'=\left\{{\begin{matrix}{u'}_{0}\\{v'}_{c}\\{w'}c\\\theta _{{\hat {x}}'}\end{matrix}}\right\}=\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{\scriptscriptstyle 2}\left[{\begin{matrix}N_{i}&0&0&0&0&0\\0&N_{i}^{\scriptscriptstyle H}&0&0&0&{\bar {N}}_{i}^{\scriptscriptstyle H}\\0&0&N_{i}^{\scriptscriptstyle H}&0&-{\bar {N}}_{i}^{\scriptscriptstyle H}&0\\0&0&0&N_{i}&0&0\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}{\bar {u}}'_{0_{i}}\\{v'}_{c_{i}}\\{w'}_{c_{i}}\\\theta _{{\hat {x'}}_{i}}\\\theta _{{y'}_{i}}\\\theta _{{z'}_{i}}\\\end{matrix}}\right\}=\sum _{i={\scriptscriptstyle 1}}^{\scriptscriptstyle 2}{\boldsymbol {N}}_{i}{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}$

${~~~}$

(4.101)

donde ${\textstyle N_{i}={1 \over 2}(1+\xi \xi _{i})}$, ${\textstyle N_{i}^{\scriptscriptstyle H}}$ y ${\textstyle {\bar {N}}_{i}^{\scriptscriptstyle H}}$ son las funciones de forma cúbicas Hermíticas (Ec.(1.11a)). El signo negativo en ${\textstyle {\bar {N}}_{i}^{\scriptscriptstyle H}}$ en la tercera fila de ${\textstyle {\boldsymbol {N}}_{i}}$ es consecuencia de la definición de ${\textstyle \theta _{y'}}$ (Ec.(4.97)). Sustituyendo la Ec.(4.101) en (4.99) se obtiene

${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\sum \limits _{i=1}^{2}\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&0&0&0&0\\0&0&\displaystyle {{\partial ^{2}N_{i}^{H}} \over \partial x^{'2}}&0&\displaystyle -{{\partial ^{2}{\bar {N}}_{i}^{H}} \over \partial x^{'2}}&0\\0&\displaystyle {{\partial ^{2}N_{i}^{H}} \over \partial x^{'2}}&0&0&0&\displaystyle {{\partial ^{2}{\bar {N}}_{i}^{H}} \over \partial x^{'2}}\\0&0&0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&0\end{matrix}}\right]{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}=\sum \limits _{i=1}^{2}{{\boldsymbol {B}}'}_{i}{{\boldsymbol {a}}'}_{i}$

${~~~}$

(4.102)

La matriz de rigidez local del elemento se da en la Ec.(4.80). La integración explícita es posible y la expresión resultante coincide con la del análisis estructural matricial clásico (Cuadro 3). La matriz ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$ se puede deducir despreciando los efectos de la deformación de cortante (es decir, haciendo ${\textstyle \beta _{y'}=\beta _{z'}=0}$) en las expresiones del Cuadro 4.2. La transformación a ejes globales sigue los mismos pasos del Apartado 4.4.2.

El vector de fuerzas nodales equivalentes se presenta en la Ec.(4.80). Las cargas distribuidas inducen ahora momentos flectores debido a la interpolación Hermítica de ${\textstyle v_{c}^{\prime }}$ y ${\textstyle w_{c}^{\prime }}$, similarmente a los elementos de viga de Euler-Bernoulli. El vector ${\textstyle {\boldsymbol {f}}_{i}^{\prime (e)}}$ para una carga uniformemente distribuida coincide con las Ecs.(4.93).

La formulación de elementos de viga curvos de Euler-Bernoulli usando una descripción curvilínea sigue lo explicado en el Apartado 4.6.

El elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos se puede mejorar empleando una interpolación Hermítica de la geometría. Esto es una aproximación mejor para vigas curvas y normalmente se combina con una interpolación de Hermite para el desplazamiento axial. La aproximación de mayor orden hace más difícil obtener una forma explícita de la matriz de rigidez del elemento.

${\boldsymbol {K}}_{11}^{\prime (e)}=\displaystyle {\frac {1}{(l^{(e)})^{3}}}\left[{\begin{matrix}\displaystyle {\hat {D}}_{a}(l^{(e)})^{2}&0&0&0&0&0\\0&12{\hat {D}}_{b_{z'}}&0&0&0&\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}\\0&0&\displaystyle 12{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&-\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0\\0&0&0&\displaystyle {\hat {D}}_{t}(l^{(e)})^{2}&0&0\\0&0&-\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\displaystyle 4{\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}&0\\0&\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}&0&0&0&4{\hat {D}}_{b_{z'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]$ , ${\boldsymbol {K}}_{12}^{\prime (e)}=\displaystyle {\frac {1}{(l^{(e)})^{3}}}\left[{\begin{matrix}-\displaystyle {\hat {D}}_{a}(l^{(e)})^{2}&0&0&0&0&0\\0&-12{\hat {D}}_{b_{z'}}&0&0&0&\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}\\0&0&\displaystyle -12{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&-\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0\\0&0&0&-\displaystyle {\hat {D}}_{t}(l^{(e)})^{2}&0&0\\0&0&\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\displaystyle 2{\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}&0\\0&-\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}&0&0&0&2{\hat {D}}_{b_{z'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]$ ${\boldsymbol {K}}_{22}^{\prime (e)}=\displaystyle {\frac {1}{(l^{(e)})^{3}}}\left[{\begin{matrix}\displaystyle {\hat {D}}_{a}(l^{(e)})^{2}&0&0&0&0&0\\0&12{\hat {D}}_{b_{z'}}&0&0&0&-\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}\\0&0&\displaystyle 12{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0\\0&0&0&\displaystyle {\hat {D}}_{t}(l^{(e)})^{2}&0&0\\0&0&\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\displaystyle 4{\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}&0\\0&-\displaystyle 6{\hat {D}}_{b_{z'}}l^{(e)}&0&0&0&4{\hat {D}}_{b_{z'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]$ ${\boldsymbol {K}}_{21}^{'(e)}=[{\boldsymbol {K}}_{12}^{'(e)}]^{T}\quad ,\quad {\bar {\boldsymbol {K}}}_{ij}^{'(e)}={\boldsymbol {L}}^{T}{\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime }{\boldsymbol {L}}\quad ,\quad {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {L}}_{i}={\boldsymbol {L}}_{j}$ (Ec.(4.84b))

Cuadro 4.3: Matriz de rigidez local de un elemento de viga 3D de Euler-Bernoulli de dos nodos

Los elementos de viga de Euler-Bernoulli, por su propia naturaleza, están libres del efecto de bloqueo por cortante, aunque en su versión curva pueden sufrir del bloqueo de membrana inducido por los efectos axiales. El remedio es usar una aproximación de mayor orden para el desplazamiento axial e integración uniforme reducida para toda la matriz de rigidez (Apartado 9.15).

Los elementos de viga 3D de Euler-Bernoulli coinciden en su versión plana con los de arco plano que se estudian en el Apartado 9.9.3.2 como un caso particular de los elementos de de revolución curvos delgados.

4.8 EMPARRILLADOS PLANOS

Es habitual encontrar estructuras formadas por un ensamblaje de vigas tal que:

• las vigas están unidas por sus centros de gravedad situados en el mismo plano global ${\textstyle xy}$;
• las vigas están orientadas de tal manera que el plano ${\textstyle xy}$ coincide con el plano de simetría ${\textstyle x'y'}$ (${\textstyle {z'}_{=}=0}$) de todas las vigas. El eje principal ${\textstyle z'}$ es paralelo al eje ${\textstyle z}$ global.

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Figura 4.18: Modelo de emparrillado plano. Sección equivalente de una viga del emparrillado

Este tipo de estructura se llama emparrillado plano. Los modelos de emparrillado plano se usan habitualmente para el análisis de ensamblajes tipo losa-viga en puentes y forjados de edificios, entre otras aplicaciones. La Figura 4.18 muestra un ejemplo esquemático de un emparrillado plano esviado.

La Figura 4.19 muestra los ejes globales para una viga en un emparrillado plano. Cada viga está sometida a fuerzas concentradas o distribuidas en la dirección ${\textstyle z}$ actuando sobre el eje elástico (incluida la flexión en el plano ${\textstyle x'z'}$) y a torsores alrededor del eje ${\textstyle {\hat {x}}'}$. Por lo tanto, las variables cinemáticas satisfacen

${u'}_{0}=v'=\theta _{z'}=0$

(4.103)

El campo de desplazamientos se expresa como

${\boldsymbol {u}}{'=[w'}_{c},\theta _{{\hat {x}}'},\theta _{y'}]^{T}$

(4.104)

El vector de deformaciones generalizadas locales y el vector de esfuerzos son

${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\left[\left(\displaystyle {{\partial {w'}_{c}} \over \partial x}+\theta _{y'}\right),{{\partial \theta _{y'}} \over \partial y'},\displaystyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right]^{\scriptscriptstyle T}$ (4.105) ${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=[Q_{z'},M_{y'},M_{{\hat {x}}'}]^{\scriptscriptstyle T}$ (4.106)

La matriz constitutiva generalizada es

${\hat {\boldsymbol {D}}}'=\left[{\begin{matrix}{\hat {D}}_{s_{z'}}&0&\vdots &0\\0&{\hat {D}}_{b_{y'}}&\vdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\vdots &{\hat {D}}_{t}\end{matrix}}\right]$

(4.107)

Figura 4.19: Ejes locales y globales de una viga en un emparrillado plano

La expresión del PTV se da en la Ec.(4.73). La interpolación de los movimientos en el elemento de emparrillado plano de dos nodos se escribe por la Ec.(4.77) con

${\boldsymbol {a}}^{\prime (e)}{_{i}=[w'}_{c_{i}},\theta _{{\hat {x'}}_{i}},\theta _{{y'}_{i}}]^{\scriptscriptstyle T}$

(4.108)

La matriz de deformaciones generalizadas es

${{\boldsymbol {B}}'}_{i}=\left[{\begin{matrix}\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0&N_{i}\\0&0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial y'}\\0&\displaystyle {{\partial N_{i}} \over \partial x'}&0\end{matrix}}\right]$

(4.109)

La matriz local de rigidez ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}}$ de un elemento de viga de emparrillado plano de Timoshenko de dos nodos se deduce del Cuadro 1 como

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=\left[{\begin{matrix}\alpha _{ij}{\hat {D}}_{sz'}&0&\beta _{i}{\hat {D}}_{sz'}\\0&\alpha _{ij}{\hat {D}}_{t}&0\\\beta _{j}{\hat {D}}_{sz'}&0&\left(\displaystyle {{{\hat {D}}_{sz'}} \over 4}+\alpha _{ij}{\hat {D}}_{by'}\right)\\\end{matrix}}\right]$

(4.110.a)

con

$\alpha _{ij}={(-1)^{i+j} \over l^{(e)}}\,,\,\beta _{i}={(-1)^{i} \over 2}\quad i,j=1,2$

(4.110.b)

El Cuadro 4 muestra la matriz de rigidez local de los elementos de viga de Timoshenko y Euler-Bernoulli de dos nodos cuasi-exactos para emparrillados planos. Estas matrices se pueden deducir de las expresiones de los Cuadros 2 y 3, respectivamente.

Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos cuasi-exacto para emparrillado plano

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=\left[{\begin{matrix}12\phi _{z'}\alpha _{ij}{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&\displaystyle 6\phi _{z'}{\hat {\beta }}_{i}D_{b_{y'}}l^{(e)}\\[.3cm]0&\displaystyle {\alpha _{ij} \over l^{(e)}}{\hat {D}}_{t}&0\\[.3cm]\displaystyle 6\phi _{z'}\beta _{j}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&\left(c_{j}+\phi _{z'}\alpha _{ij}\right){\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]\quad i,j=1,2$

$\phi _{z'}={\frac {1}{(1+\beta _{z'})(l^{(e)})^{3}}}\quad ,\quad \beta _{z'}={\frac {12{\hat {D}}_{b_{y'}}}{{\hat {D}}_{s_{z'}}(l^{(e)})^{2}}}$

Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos cuasi-exacto para emparrillado plano

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=\displaystyle {\frac {1}{(l^{(e)})^{3}}}\left[{\begin{matrix}12\alpha _{ij}{\hat {D}}_{b_{y'}}&0&\displaystyle 6\beta _{i}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}\\[.3cm]0&\displaystyle {\alpha _{ij} \over l^{(e)}}{\hat {D}}_{t}&0\\[.3cm]\displaystyle 6\beta _{j}{\hat {D}}_{b_{y'}}l^{(e)}&0&c_{j}\beta _{j}{\hat {D}}_{b_{y'}}(l^{(e)})^{2}\\\end{matrix}}\right]\quad i,j=1,2$

En ambos casos

$\alpha _{ij}=(-1)^{i+j}\quad ,\quad \beta _{i}=(-1)^{i}\quad ,\quad c_{j}={\begin{cases}4&j=1\\2&j=2\end{cases}}$

Cuadro 4.4: Emparrillado plano. Matrices de rigidez de los elementos de viga de Timoshenko y Euler-Bernoulli de dos nodos cuasi-exactos

La matriz de rigidez global viene dada por las Ecs.(4.86)–(4.87) con

${\boldsymbol {L}}_{i}={\boldsymbol {L}}_{j}=\left[{\begin{matrix}1&{y'}_{c_{i}}&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\quad {\hbox{y}}\quad {\boldsymbol {T}}_{i}={\boldsymbol {T}}_{j}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&C&-S\\0&S&C\end{matrix}}\right]$

(4.111)

donde ${\textstyle C=\cos \alpha ,S=\operatorname {sen} \alpha }$ y ${\textstyle \alpha }$ es el ángulo que el eje neutro (${\textstyle x'}$) forma con el eje ${\textstyle x}$ global (Figura 4.18).

El vector de fuerzas nodales equivalentes para cargas distribuidas se calcula en ejes globales como

${\boldsymbol {f}}_{i}^{(e)}={\boldsymbol {T}}_{i}{\boldsymbol {L}}_{i}^{T}{\boldsymbol {f}}_{i}^{\prime (e)}\quad {\hbox{con}}\quad {\boldsymbol {f}}_{i}^{\prime (e)}=\int _{l^{(e)}}N_{i}\left\{{\begin{matrix}f_{{\hat {z}}'}\\m_{{\hat {x}}'}\\m_{y'}\end{matrix}}\right\}dx'$

(4.112)

Para carga uniformemente distribuida, ${\textstyle {\boldsymbol {f}}_{i}^{\prime (e)}={l^{(e)} \over 2}[f_{{\hat {z}}'},m_{{\hat {x}}'},m_{y'}]^{T}}$.

Recuérdese que las fuerzas verticales ${\textstyle f_{{\hat {z}}'}}$ y el torsor distribuido ${\textstyle m_{{\hat {x}}'}}$ actúan en el eje elástico ${\textstyle {\hat {x}}'}$ (Figura 4.15).

4.9 EJEMPLOS DEL COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE VIGA 3D DE TIMOSHENKO

El primer ejemplo es el análisis de una viga en voladizo circular de sección rectangular con una carga puntual actuando en el extremo libre. La Figura 4.20 muestra la geometría y las diferentes soluciones para la flecha en el extremo con las siguientes mallas de elementos de viga 3D de Timoshenko: diez elementos de dos nodos (lineales) y un solo elemento de seis nodos (quíntico). La solución numérica en el segundo caso coincide prácticamente con la analítica [Ji,Ti3].

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Figura 4.20: Viga en voladizo con carga puntual sobre el extremo libre. Flecha en el extremo libre para mallas de diez elementos de dos nodos y un elemento de seis nodos de Timoshenko. Dimensiones en pulgadas y fuerzas en libras

El segundo ejemplo es la viga helicoidal biempotrada mostrada en la Figura 4.21. Se considera la carga por peso propio. La Tabla 4.2 muestra la convergencia de la flecha central y los máximos y mínimos de algunos esfuerzos para diferentes mallas de elementos de viga 3D de Timoshenko: lineal recto ${\textstyle (n=2)}$ y cuadrático ${\textstyle (n=3)}$, cúbico ${\textstyle (n=4)}$, cuártico ${\textstyle (n=5)}$ y quíntico ${\textstyle (n=6)}$ curvos. Nótese la mayor precisión de los elementos curvos para mallas gruesas (en particular para predecir el torsor máximo).

La eficiencia computacional del elemento curvo se puede mejorar condensando los GDLs internos antes de proceder a la solución global.

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Figura 4.21: Viga biempotrada helicoidal de sección cuadrada bajo peso propio. $E=2.1\times 10^{6}$  Kg/cm$^{2}$, $\nu =0.5$ y ${\hbox{peso especifico}}=2.5$  T/m$^{3}$

Tabla. 4.2 Viga biempotrada helicoidal de sección cuadrada bajo peso propio. Convergencia de la flecha central y máximos y mínimos de algunos esfuerzos usando diferentes mallas de elementos de viga 3D de Timoshenko de dos, tres, cuatro, cinco y seis nodos

		Número de elementos
Variable	No. de nodos	2	8	16	32
	2	-0.282	-0.341	-0.360	-0.365
$w$	3	-0.054	-0.367	-0.366	-0.367
$(\beta =120^{\scriptscriptstyle {o}})$	4	-0.286	-0.367	-0.367	-0.367
	5	-0.361	-0.367	-0.367	-0.367
	6	-0.366	-0.367	-0.367	-0.367
	2	2.171	2.181	2.171	2.170
$N_{\scriptscriptstyle {max}}$	3	2.060	2.147	2.153	2.156
$(\beta =240^{\scriptscriptstyle {o}}$)	4	2.138	2.157	2.157	2.158
	5	2.169	2.158	2.158	2.158
	6	2.160	2.158	2.158	2.158
	2	1.501	1.572	1.691	1.601
$Q_{{\bar {z}}_{max}}$	3	1.688	1.628	1.617	1.613
$(\beta =0^{\scriptscriptstyle {o}}$)	4	1.625	1.613	1.612	1.612
	5	1.599	1.612	1.612	1.612
	6	1.610	1.612	1.612	1.612
	2	-0.262	-0.072	0.081	0.162
$T_{\scriptscriptstyle {max}}$	3	0.103	0.251	0.256	0.255
$(\beta =240^{\scriptscriptstyle {o}}$)	4	0.249	0.257	0.255	0.255
	5	0.249	0.255	0.255	0.255
	6	0.251	0.255	0.255	0.255
	2	0.581	0.753	0.801	0.810
$M_{{\bar {y}}_{max}}$	3	0.514	0.798	0.815	0.816
$(\beta =120^{\scriptscriptstyle {o}}$)	4	0.763	0.816	0.816	0.816
	5	0.813	0.816	0.816	0.816
	6	0.816	0.816	0.816	0.816
	2	-2.132	-2.181	-2.151	-2.110
$M_{{\bar {y}}_{min}}$	3	-1.515	-2.025	-2.058	-2.060
$(\beta =0^{\scriptscriptstyle {o}}$)	4	-1.815	-2.059	-2.061	-2.060
	5	-2.027	-2.060	2.060	2.060
	6	-2.060	-2.060	2.060	2.060

4.10 VIGAS CON SECCIÓN DE PARED DELGADA ABIERTA

Cuando una viga de pared delgada se somete a un torsor, se generan tensiones tangenciales. A su vez, estas tensiones causan una deformación de la sección fuera del plano denominada alabeo. Aunque la magnitud de los desplazamientos de alabeo es normalmente pequeña, pueden tener influencia en el comportamiento torsional de la estructura.

Los efectos de alabeo son particularmente relevantes en secciones de pared delgada abierta sometidas a torsión no uniforme, o a torsión uniforme coaccionada. En ambos casos, la tasa de torsión varía a lo largo del eje de la viga. Esto contrasta con la teoría de Saint-Venant estudiada en el Apartado 4.3 que supone que la tasa de torsión es constante a lo largo de la viga.

El alabeo también puede aparecer en secciones de pared delgada cerrada sometidas a torsión no uniforme. Estos efectos son menos relevantes que para las secciones abiertas y este problema no se considerará aquí. El lector interesado puede consultar a la literatura sobre el tema [BB,BC,BLD,BT2,OR,Pi,Vl].

A continuación desarrollaremos una formulación de elementos finitos para análisis de vigas con sección de pared delgada abierta sometidas a efectos axiles y flectores y que tenga en cuenta el alabeo. Se supone que la cinemática sigue la teoría de vigas de Timoshenko (Capítulo 2).

4.10.1 Descripción geométrica

Consideremos una viga recta de sección de pared delgada abierta de longitud ${\textstyle L}$ con propiedades geométricas y del material independientes de la coordenada ${\textstyle x'}$. Supondremos que el eje neutro ${\textstyle x'}$ y los ejes principales ${\textstyle y'}$ y ${\textstyle z'}$ son conocidos (origen en el punto ${\textstyle O}$), así como la posición del centro de esfuerzos cortantes y las coordenadas del eje elástico local (${\textstyle {y'},0,0}$). La pared delgada se define por una superficie media parametrizada por la coordenada ${\textstyle s}$ con ${\textstyle 0\leq s\leq L_{s}}$ y por el espesor de la pared ${\textstyle t}$ que se supone constante por simplicidad. Los puntos extremos en ${\textstyle s=0}$ y ${\textstyle s=L_{s}}$ son ${\textstyle D}$ y ${\textstyle F}$, respectivamente (Figura 4.22).

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Figura 4.22: Sección tubular de pared delgada abierta

La posición de un punto arbitrario ${\textstyle p}$ en la línea media se define en el sistema cartesiano fijo ${\textstyle {\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$ por

${\boldsymbol {r}}{_{p}=y'}_{p}(s){\boldsymbol {j}}{+z'}_{p}(s){\boldsymbol {k}}$

(4.113)

y

$ds=(dy_{p}^{\prime 2}+dz_{p}^{\prime 2})^{1/2}$

(4.114)

El vector tangente a la línea media en ${\textstyle p}$ es (por componentes)

${\boldsymbol {t}}={\partial {\boldsymbol {r}}_{p} \over \partial s}={\partial {y'}_{p} \over \partial s}{\boldsymbol {j}}+{\partial {z'}_{p} \over \partial s}{\boldsymbol {k}}$

(4.115)

El vector normal unitario en ${\textstyle p}$ se define como

${\boldsymbol {n}}={\boldsymbol {i}}\times {\vec {\boldsymbol {t}}}=n_{y'}{\boldsymbol {j}}+n_{z'}{\boldsymbol {k}}$

(4.116.a)

con

$n_{y'}=-{\partial {z'}_{p} \over \partial s}\quad ,n_{z'}={\partial {y'}_{p} \over \partial s}$

(4.116.b)

La posición de un punto arbitrario ${\textstyle q}$ en el espesor se define por la coordenada de espesor ${\textstyle \zeta }$ (Figura 4.22b). En el sistema cartesiano fijo

${\boldsymbol {r}}_{q}={\boldsymbol {r}}_{p}+\zeta {\boldsymbol {n}}\quad ;\quad -{t \over 2}\leq \zeta \leq {t \over 2}$

(4.117)

Las coordenadas del punto ${\textstyle q}$ (${\textstyle {y'}_{q}z'_{q}_{q})\equiv (y',z')}$ se pueden expresar en el sistema ${\textstyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}$ como

$y'(s,\zeta {)=y'}_{p}(s)+\zeta n_{y'}(s)\quad ;\quad z'(s,\zeta {)=z'}_{p}(s)+\zeta n_{z'}(s)$

(4.118)

Finalmente, definimos el vector ${\textstyle {\boldsymbol {c}}}$ que une el centro de esfuerzos cortantes ${\textstyle C}$ y el punto ${\textstyle p}$ sobre la línea media (Figura 4.22b). El vector tangente ${\textstyle {\boldsymbol {t}}}$ también se puede obtener en función del vector ${\textstyle {\boldsymbol {c}}}$ como ${\textstyle {\boldsymbol {t}}={\frac {d{\boldsymbol {c}}}{ds}}}$.

4.10.2 Hipótesis cinemáticas. Teoría de Timoshenko

Como ya se ha mencionado, un torsor actuando en una sección de paredes delgadas abierta puede producir un desplazamiento axial significativo debido al alabeo. Si el alabeo se coacciona debido, por ejemplo, a la presencia de rigidizadores o extremos empotrados la torsión inducirá una tensión axil ${\textstyle \sigma _{x'}(x',s,\zeta )}$ que se deberá añadir a las tensiones axiles producidas por la flexión.

Los desplazamientos del punto arbitrario ${\textstyle q}$ debidos a la torsión se pueden expresar como

$u'=\omega (s,\zeta )\displaystyle {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\quad ,\quad u_{t}=-(c_{n}+\zeta )\theta _{{\hat {x}}'}\quad ,\quad u_{n}=c_{t}\theta _{{\hat {x}}'}$

(4.119)

donde, como es habitual, ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ es la tasa de torsión; ${\textstyle u',u_{t}}$ y ${\textstyle u_{n}}$ indican los desplazamiento de torsión en los ejes locales ${\textstyle x',t,n}$, respectivamente; ${\textstyle c_{n}}$ y ${\textstyle c_{t}}$ son las proyecciones del vector c en los ejes ${\textstyle t}$ y ${\textstyle n}$, respectivamente y ${\textstyle \zeta }$ es la coordenada del punto ${\textstyle q}$ en la dirección normal (Figura 4.22b).

Las Ecs.(4.119) muestran claramente que la torsión induce una variación lineal del desplazamiento tangencial $u_{t}$ en el espesor de la pared.

La relación entre los desplazamientos ${\textstyle v',w'}$ y ${\textstyle u_{t},u_{n}}$ es

$v'=u_{n}n_{y'}-u_{t}n_{z'}\qquad ,\qquad w'=u_{n}n_{z'}+u_{t}n_{y'}$

(4.120)

Los desplazamientos totales se obtienen sumando los desplazamientos debidos a los efectos axiles y flectores de la teoría de vigas de Timoshenko, a los desplazamientos de torsión. De las Ecs.(4.25), (4.119) y (4.120) se obtiene el vector de desplazamientos locales como

${\boldsymbol {u}}'=\left\{{\begin{matrix}u'\\[.3cm]v'\\[.3cm]w'\end{matrix}}\right\}={\underset {\hbox{ axial}}{\left\{{\begin{matrix}{u'}0\\[.3cm]0\\[.3cm]0\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\hbox{ flexion}}{\left\{{\begin{matrix}z'\theta _{y'}-y'\theta _{z}'\\[.3cm]{v'}_{c}\\[.3cm]{w'}_{c}\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\hbox{torsion no uniforme}}{\left\{{\begin{matrix}\omega \displaystyle {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\\[.3cm]-[c_{t}n_{y'}+(c_{n}+\zeta )n_{z'}]\theta _{{\hat {x}}'}\\[.3cm][c_{t}n_{z'}-(c_{n}+\zeta )n_{y'}]\theta _{{\hat {x}}'}\end{matrix}}\right\}}}$

(4.121)

Una diferencia clave con la formulación de Saint-Venant es que el giro torsor ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ no es una función lineal y, por consiguiente, ${\textstyle {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x^{\prime 2}}\not =0}$. Por lo tanto, la torsión origina deformaciones y tensiones axiles no nulas como se muestra a continuación.

4.10.3 Función de alabeo y deformaciones y tensiones debidas a la torsión

Consideremos una viga de sección de pared delgada abierta bajo torsión. Los desplazamientos inducidos por la torsión se dan en las Ecs.(4.119).

La función de alabeo ${\textstyle \omega }$ se define de manera que en un estado de torsión, la deformación de cortante ${\textstyle \gamma _{x'\zeta }}$ es cero en toda la sección, y la deformación de cortante ${\textstyle \gamma _{x's}}$ es cero en la línea central, es decir

$\gamma _{x'\zeta }=0\quad \forall \quad s\quad {\hbox{ y }}\zeta$ (4.122) $\gamma _{x's}=0\quad \forall \quad s\quad {\hbox{ para }}\zeta =0$ (4.123)

La hipótesis (4.122) y la Ec.(4.119) llevan a

$\gamma _{x'\zeta }={\partial u' \over \partial \zeta }+{\partial u_{n} \over \partial x'}=\left({\partial \omega \over \partial \zeta }+c_{t}\right){\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}=0$

(4.124)

La Ec.(4.124) implica que ${\textstyle {\partial \omega \over \partial \zeta }+c_{t}=0}$. Integrando en ${\textstyle \zeta }$ da

$\omega (s,\zeta )=g(s)-c_{t}(s)\zeta$

(4.125)

La hipótesis (4.123) y las Ecs.(4.119) llevan a

$\gamma _{x's}\vert _{\zeta =0}=\left({\partial u' \over \partial s}+{\partial u_{t} \over \partial x'}\right)_{\zeta =0}=\left({\partial \omega \over \partial s}{\Big |}_{\zeta =0}-c_{n}\right){\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}=0$

(4.126)

Por lo que,

${\partial \omega \over \partial s}{\Big |}_{\zeta =0}-c_{n}=0\quad {\hbox{y}}\quad \omega (s,0)=\omega _{s}(s)=\int _{0}^{s}c_{n}\,ds$

(4.127)

Combinando las Ecs.(4.125) y (4.127) se deduce

$g(s)=\omega _{s}(s)+\omega _{D}$

(4.128)

donde ${\textstyle \omega _{D}}$ es una constante (típicamente ${\textstyle \omega _{D}=\omega (0,0)}$). La función ${\textstyle \omega _{s}}$ en la Ec.(4.128) se denomina coordenada de área sectorial (Figura 4.23). El cálculo de ${\textstyle \omega _{s}}$ y ${\textstyle \omega _{D}}$ se detalla en el Apéndice F.

Las Ecs.(4.125) y (4.128) llevan a la siguiente expresión de la función de alabeo

$\displaystyle \omega (s,\zeta )=\omega _{s}(s)+\omega _{D}-c_{t}(s)\zeta$

(4.129)

lo que conduce a (teniendo en cuenta que ${\textstyle {\partial \omega _{s} \over \partial s}=c_{n}}$ de la Ec.(4.127))

$\displaystyle {\partial \omega \over \partial s}=c_{n}-{\partial c_{t} \over \partial s}\zeta$

(4.130)

Figura 4.23: Coordenada de área sectorial $\omega _{s}$

El campo de deformaciones debido a la torsión se obtiene de las Ecs.(4.119) y (4.130) como

${\begin{array}{l}\displaystyle \varepsilon _{x'}={\frac {\partial u'}{\partial x'}}=\omega (s,\zeta ){\partial ^{2}\theta _{x'} \over \partial x^{\prime 2}}\\[.3cm]\displaystyle \gamma _{x's}={\frac {\partial u'}{\partial s}}+{\frac {\partial u_{t}}{\partial x'}}=\left[{\frac {\partial \omega }{\partial s}}-(c_{n}+\zeta )\right]{\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}=-\zeta \left(1+{\partial c_{t} \over \partial s}\right){\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\end{array}}$

(4.131)

La expresión de ${\textstyle \gamma _{x's}}$ se puede reescribir usando las siguientes relaciones

${\partial c_{t} \over \partial s}={\partial \over \partial s}({\boldsymbol {c}}^{T}\cdot {\boldsymbol {t}})={\partial \mathbf {c} ^{T} \over \partial s}{\boldsymbol {t}}+\mathbf {c} ^{T}{\partial \mathbf {t} \over \partial s}=\mathbf {t} ^{T}{\boldsymbol {t}}+{\boldsymbol {c}}^{T}{\partial \mathbf {t} \over \partial s}=1+{c_{n} \over R}$

(4.132)

En la obtención de la Ec.(4.132) hemos usado las identidades ${\textstyle {\boldsymbol {t}}={\partial \mathbf {c} \over \partial s}}$ y ${\textstyle {\partial \mathbf {t} \over \partial s}={1 \over R}{\boldsymbol {n}}}$ donde ${\textstyle R}$ es el radio de curvatura de la pared (Figura 4.23) y ${\textstyle {\boldsymbol {c}}^{T}\cdot {\boldsymbol {n}}=c_{n}}$.

Las deformaciones no nulas debidas a la torsión se expresan finalmente como

${\begin{array}{l}\displaystyle \varepsilon _{x'}=\omega {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x^{\prime 2}}\\[.3cm]\displaystyle \gamma _{x's}=-\zeta \left(2+{c_{n} \over R}\right){\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\end{array}}$

(4.133)

Para una sección de paredes delgadas formada por un ensamblaje de segmentos rectos ${\textstyle R=\infty }$ y ${\textstyle \gamma _{x's}=-2\zeta {\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}}$.

Las deformaciones de torsión se añaden a las deformaciones axil y de flexión como en la torsión de Saint-Venant. Esto se detalla en el próximo apartado.

Las tensiones inducidas por la torsión se deducen de las Ecs.(4.133) y (4.1) como

$\sigma _{x'}^{\omega }=E\varepsilon _{x'}=E\omega {\frac {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{\prime 2}}}$

(4.134.a)

$\tau _{x's}=G\gamma _{x's}=-G\zeta \left(2+{\frac {c_{n}}{R}}\right){\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{\prime }}}$

(4.134.b)

En la Ec.(4.134b) hemos supuesto que ${\textstyle G_{y'}=G_{z'}=G}$.

El índice ${\textstyle \omega }$ en ${\textstyle \sigma _{x'}^{\omega }}$ denota que esta tensión axil se debe a los efectos de alabeo. Recuérdese que esta tensión es cero en la teoría de Saint-Venant. La tensión ${\textstyle \sigma _{x'}^{\omega }}$ varía linealmente con el espesor mediante la dependencia de ${\textstyle \zeta }$ con la función de alabeo ${\textstyle \omega }$ (Ec.(4.129)). En la práctica ${\textstyle \omega }$ se supone generalmente constante en el espesor y también ${\textstyle \sigma _{x'}^{\omega }}$ (Apartado 4.10.7 y [BC,OR,Pi,Ti3]).

La Ec.(4.134b) muestra que la tensión tangencial ${\textstyle \tau _{x's}}$ (o ${\textstyle \tau _{s}}$ por simplicidad) varía linealmente sobre el espesor de la pared. Esto es una diferencia clave con las secciones de pared delgada cerradas, en donde $\tau _{s}$ es constante sobre el espesor (Apartado 4.3.5).

La relación entre las deformaciones y las tensiones de cortante en los ejes ${\textstyle x',y',z'}$ y ${\textstyle x',t,n}$ es

${\begin{array}{l}\gamma _{x'y'}=\gamma _{x's}n_{z'}\quad ,\quad \gamma _{x'z'}=-\gamma _{x's}n_{y'}\\[.4cm]\tau _{x'y'}=\tau _{x's}n_{z'}\quad ,\quad \tau _{x'z'}=-\tau _{x's}n_{y'}\end{array}}$

(4.135)

También

$\tau _{x's}=\tau _{x'y'}n_{z'}-\tau _{x'z'}n_{y'}\quad ,\quad \gamma _{x's}=\gamma _{x'y'}n_{z'}-\gamma _{x'z'}n_{y'}$

(4.136)

En el Apartado 4.10.7 se dan más detalles del cálculo de las tensiones debidas a la torsión en secciones de pared delgada abiertas.

4.10.4 Esfuerzos y ecuación constitutiva generalizada

Las tensiones no nulas son la suma de las tensiones inducidas por los efectos axiles, de flexión y de torsión, es decir

${\boldsymbol {\varepsilon }}'={\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\[.3cm]\gamma _{x'y'}\\[.3cm]\gamma _{x'z'}\end{matrix}}\right\}}={\underset {\hbox{ axial}}{\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'}\\[.3cm]0\\[.3cm]0\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\hbox{ flexion}}{\left\{{\begin{matrix}z'\displaystyle {{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'}-y'\displaystyle {{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'}\\[.3cm]\displaystyle {{\partial {v'}_{c}} \over \partial x'}-\theta _{z'}\\[.3cm]\displaystyle {{\partial {w'}_{c}} \over \partial x'}+\theta _{y'}\end{matrix}}\right\}}}+{\underset {\hbox{ torsion}}{\left\{{\begin{matrix}\omega \displaystyle {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x^{'2}}\\[.3cm]-\zeta \left(2+\displaystyle {c_{n} \over R}\right)n_{z'}\displaystyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\\[.3cm]\zeta \left(2+\displaystyle {c_{n} \over R}\right)n_{y'}\displaystyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\end{matrix}}\right\}}}$

(4.137)

La relación tensión-deformación coincide con la Ec.(4.1) con ${\textstyle {\boldsymbol {D}}'}$ dada por la Ec.(4.2). Los esfuerzos se definen como

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\left\{{\begin{matrix}N\\Q_{y'}\\Q_{z'}\\M_{y'}\\M_{z'}\\M_{\omega }\\M_{{\hat {x}}'}\end{matrix}}\right\}=\iint _{A}\left\{{\begin{matrix}\sigma _{x'}\\\tau _{x'y'}\\\tau _{x'z'}\\[.15cm]z'\sigma _{x'}\\-y'\sigma _{x'}\\\omega \sigma _{x'}\\-\zeta \left(2+{c_{n} \over R}\right)\tau _{x's}\end{matrix}}\right\}dA$

(4.138)

donde ${\textstyle M_{\omega }}$ se denomina bimomento (Figura 4.24) [BC,OR,Ti3].

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Figura 4.24: Bimomento $M_{\omega }$ en una sección en T

Sustituyendo la tensión tangencial ${\textstyle \tau _{x's}}$ en función de ${\textstyle \tau _{x'y'}}$ y ${\textstyle \tau _{x'z'}}$ mediante la Ec.(4.136) y usando la relación tensión-deformación (Ec.(4.1)) en (4.138) se obtiene

${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'={\hat {\boldsymbol {D}}}'{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'$

(4.139)

donde ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$ es el vector de deformaciones generalizadas y ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}'}$ es la matriz constitutiva generalizada dados por

$\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'},\left(\!-\theta _{z'}\!\!\right),\left(\!+\theta _{y'}\!\!\right),{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'},{{\partial \theta _{z'}} \over \partial x'},{\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x^{'2}},{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right]^{T}$

(4.140.a)

y

${\hat {{\boldsymbol {D}}'}}=\left[{\begin{matrix}{\hat {D}}_{a}&{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\hat {\boldsymbol {D}}}_{f}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&{\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}\end{matrix}}\right]$

(4.140.b)

donde ${\textstyle {\hat {D}}_{a}}$ y ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {D}}}_{f}}$ se obtienen por las Ecs.(4.36) y la matriz de torsión constitutiva es

${\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}=\left[{\begin{matrix}{\hat {D}}_{w}&{0}\\{0}&{\hat {D}}_{t}\end{matrix}}\right]$

(4.141.a)

con

$\displaystyle {\hat {D}}_{\omega }=\iint _{A}\omega ^{2}E\,dA\quad ,\quad \displaystyle {\hat {D}}_{t}=\iint _{A}\zeta ^{2}\left(2+{c_{n} \over R}\right)^{2}G\,dA$

(4.141.b)

En la expresión de ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ hemos supuesto que ${\textstyle G_{y'}=G_{z'}=G}$.

Para material homogéneo

${\hat {D}}_{t}=GJ\quad {\hbox{y }}{\hat {D}}_{\omega }=EI_{\omega }$

(4.142)

donde ${\textstyle J=\iint _{A}\zeta ^{2}\left(2+{c_{n}^{2} \over R}\right)dA}$ es la inercia torsional y ${\textstyle I_{\omega }=\int \!\!\int _{A}\omega ^{2}dA}$ es el módulo de inercia de alabeo. La Figura 4.27 muestra los valores de ${\textstyle J}$ y ${\textstyle I_{w}}$ de varias secciones.

Para una sección curva de espesor uniforme

$J\simeq {1 \over 3}L_{s}{\frac {t^{3}}{3}}\quad {\hbox{y }}\quad {\hat {D}}_{t}\simeq {\frac {G}{3}}\sum \limits _{i=1}^{n}L_{s}{\frac {t^{3}}{3}}$

(4.143.a)

donde ${\textstyle L_{s}}$ es la longitud de la línea media (Figura 4.22). Estas expresiones son exactas para una sección circular [OR,Ti3].

Para secciones abiertas de pared delgada homogéneas formadas por ${\textstyle n}$ segmentos rectos de espesor ${\textstyle t_{i}}$ y longitud ${\textstyle l_{i}}$ [OR,Ti3],

$J={1 \over 3}\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}^{3}l_{i}\quad {\hbox{y }}\quad {\hat {D}}_{t}={\frac {G}{3}}\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}^{3}l_{i}$

(4.143.b)

La tensión tangencial máxima en cada segmento ocurrirá en los bordes situados a una distancia ${\textstyle \pm t/2}$ de la línea media. Su valor se deduce de la Ec.(4.134b) para ${\textstyle \zeta =\pm {\frac {t}{2}}}$ y ${\textstyle R=\infty }$ y la Ec.(4.139) como

$\tau _{s}^{\max }=\pm Gt{\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}=\pm Gt{\frac {M_{{\hat {x}}'}}{{\hat {D}}_{t}}}$

(4.144)

Claramente, la tensión tangencial máxima se encuentra en el segmento de mayor espesor.

Ejemplo 4.3:

Comparación de secciones de pared delgada abiertas y cerradas.

El comportamiento torsional de secciones de pared delgada cerradas es bastante diferente del de las secciones abiertas. Para secciones cerradas, la tensión tangencial se distribuye uniformemente en el espesor de la pared (Figura 4.25), mientras que en las secciones abiertas se tiene una distribución lineal. La rigidez torsional ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ es proporcional al cuadrado del área encerrada para secciones cerradas (Ec.(4.53)) mientras que es proporcional al cubo del espesor en secciones abiertas (Ec.(4.143a) [BC].

Figura 4.25: Tubos de pared delgada cerrados y abiertos

Considérense, por ejemplo, dos anillos de radio ${\textstyle R_{m}}$ y espesor ${\textstyle t}$ idénticos pero uno abierto y el otro cerrado (Figura 4.25). La rigidez torsional de las secciones abierta ${\textstyle {\hat {D}}_{t}^{cerrado}}$ y cerrada ${\textstyle {\hat {D}}_{t}^{abierto}}$ se dan en las Ecs.(4.53) y (4.143a), respectivamente, como ${\textstyle {\hat {D}}_{t}^{cerrado}=2\pi GR_{m}^{3}t}$ y ${\textstyle {\hat {D}}_{t}^{abierto}=2\pi GR_{m}t^{3}/3}$. Su cociente es

${\frac {{\hat {D}}_{t}^{cerrado}}{{\hat {D}}_{t}^{abierto}}}=3\left({\frac {R_{m}}{t}}\right)^{2}$

Si las dos secciones están sometidas al mismo torsor ${\textstyle M_{{\hat {x}}'}}$, las tensiones tangenciales máximas en la sección abierta ${\textstyle \tau _{\max }^{abierto}}$ y cerrada ${\textstyle \tau _{\max }^{cerrado}}$ se obtienen de las Ecs.(4.144) y (4.54), respectivamente como

$\tau _{\max }^{abierto}={\frac {M_{{\hat {x}}'}t}{{\hat {D}}_{t}^{abierto}}}={\frac {3M_{{\hat {x}}'}}{2\pi R_{m}t^{2}}}\quad ,\quad \tau _{\max }^{cerrado}={\frac {M_{{\hat {x}}'}}{2\pi R_{m}^{2}t}}$

Su cociente se puede expresar como

${\frac {\tau _{\max }^{abierto}}{\tau _{\max }^{cerrado}}}=3\left({\frac {R_{m}}{t}}\right)$

Para una sección típica de pared delgada con ${\textstyle R_{m}=20t}$ la rigidez torsional de la sección cerrada será 1200 veces más grande que la de la sección abierta. Bajo el mismo torsor, la tensión tangencial máxima en la sección abierta será 60 veces mayor que en la sección cerrada. En otras palabras, la sección cerrada puede soportar 60 veces más torsor para alcanzar un nivel de tensiones igual al de la abierta [BC].

4.10.5 Principio de trabajos virtuales

El PTV para una carga distribuida es

$\iiint _{V}\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}^{'T}{\boldsymbol {\sigma }}'\,dV-\!\int _{l}\delta {\boldsymbol {u}}^{\prime \scriptscriptstyle T}{\boldsymbol {t}}'dx'=0$

(4.145)

El trabajo virtual interno se puede escribir usando las Ecs.(4.137)–(4.139) como

$\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}^{\prime T}{\boldsymbol {\sigma }}'\,dV=\!\!\int _{L}{\bigg (}\delta {\hat {\varepsilon }}_{x'}^{\prime }N_{x'}+\delta \left({\frac {\partial {v'}_{c}}{\partial x'}}-\theta _{z'}\right)Q_{y'}+\delta \left({\frac {\partial {w'}_{c}}{\partial x'}}+\theta _{y'}\right)Q_{z'}$ $+{\partial \delta \theta _{y'} \over \partial x'}M_{y'}+{\partial \delta \theta _{z'} \over \partial x'}M_{z'}+{\underline {{\partial ^{2}\delta \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x^{'2}}M_{\omega }}}+{\underline {{\partial \delta \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}M_{{\hat {x}}'}}}{\bigg )}\,dx'$ $=\int _{L}\delta {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\prime T}{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'\,dx'$

(4.146)

donde ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$ y ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'}$ se definen en las Ecs.(4.138) y (4.140a).

Los términos subrayados en la Ec.(4.146) se deben a efectos torsionales.

El trabajo externo para cargas distribuidas se escribe como

$\delta W=\int _{L}\delta {{\boldsymbol {u}}'}^{T}{\boldsymbol {t}}'\,dx'=\int _{L}{\bigg [}\delta {{\boldsymbol {u}}'}^{T}{\boldsymbol {t}}'+{\partial \delta \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}f_{\omega }{\bigg ]}\,dx'$

(4.147.a)

con los vectores ${\textstyle \delta {\boldsymbol {u}}'}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {t}}'}$ definidos como en la Ec.(4.64) y

$\displaystyle f_{\omega }=\iint _{A}\omega f_{x'}dA$

(4.147.b)

La expresión de ${\textstyle \delta W}$ para cargas puntuales y momentos concentrados es

$\delta W=\sum \limits _{i}\left[\delta {{\boldsymbol {u}}'}_{i}^{T}{{\boldsymbol {p}}'}_{i}+\delta \left({\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}\right)_{i}F_{\omega _{i}}\right]$

(4.148.a)

donde ${\textstyle {{\boldsymbol {p}}'}_{i}}$ está definido en la Ec.(4.64) y

${\begin{array}{l}F_{\omega _{i}}=\omega F_{{x'}_{i}}\end{array}}$

(4.148.b)

El subíndice ${\textstyle i}$ en las anteriores ecuaciones denota el punto del eje ${\textstyle x'}$ donde se aplica la carga axial ${\textstyle F_{{x'}_{i}}}$.

4.10.6 Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con sección de pared delgada abierta

La formulación de elementos de viga 3D de Timoshenko con sección de pared delgada abierta se puede obtener superponiendo los efectos axil, de flexión (con y sin deformación de cortante) y de torsión. Se requiere continuidad ${\textstyle C^{1}}$ para aproximar el giro de torsión ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$, ya que en el PTV aparecen sus segundas derivadas (Ec.(4.146)). Esto se puede implementar con elementos rectos de dos nodos escogiendo ${\textstyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}}/{\partial x'}}}$ como el séptimo GDL nodal y una interpolación Hermítica cúbica estándar para ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$.

La interpolación del campo de desplazamientos se escribe como

${\boldsymbol {u}}'=\sum \limits _{i=1}^{2}{\boldsymbol {N}}_{i}{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime }$

(4.149.a)

con

${\boldsymbol {u}}^{\prime }=\left[{u'}_{0}{,v'}_{c}{,w'}_{c},\theta _{{\hat {x}}'},\theta _{y'},\theta _{z'}\right]^{T}$

(4.149.b)

${\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}=\left[{u'}_{0_{i}}{,v'}_{c_{i}}{,w'}_{c_{i}},\theta _{{\hat {x'}}_{i}},\theta _{{y'}_{i}},\theta _{{z'}_{i}},{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial {x'}_{i}}\right]^{T}$

(4.149.c)

y

${\boldsymbol {N}}_{i}={\begin{bmatrix}N_{i}&0&0&0&0&0&0\\0&N_{i}&0&0&0&0&0\\0&0&N_{i}&0&0&0&0\\0&0&0&N_{i}^{H}&0&0&{\bar {N}}_{i}^{H}\\0&0&0&0&N_{i}&0&0\\0&0&0&0&0&N_{i}&0\\\end{bmatrix}}$

(4.149.d)

donde ${\textstyle N_{i}}$ es la función de forma lineal estándar y ${\textstyle N_{i}^{H},{\bar {N}}_{i}^{H}}$ son las funciones de forma Hermíticas cúbicas (Ecs.(1.11a)).

La relación entre las deformaciones generalizadas y los movimientos nodales se escribe como

${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\sum \limits _{i=1}^{2}{{\boldsymbol {B}}'}_{i}{{\boldsymbol {a}}'}_{i}\quad {\hbox{donde}}\quad {{\boldsymbol {B}}'}_{=}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}\\\end{bmatrix}}$

(4.150)

con ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{a_{i}}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{f_{i}}}$ dado por la Ec.(4.82b) y

${\boldsymbol {B}}_{t_{i}}={\begin{bmatrix}0&0&0&\displaystyle {\partial ^{2}N_{i}^{H} \over \partial x_{i}^{'2}}&0&0&\displaystyle {\partial ^{2}{\bar {N}}_{i}^{H} \over \partial x_{i}^{'2}}\\[.3cm]0&0&0&\displaystyle {\partial N_{i}^{H} \over \partial x_{i}^{'}}&0&0&\displaystyle {\partial {\bar {N}}_{i}^{H} \over \partial x_{i}^{'}}\end{bmatrix}}$

(4.151)

La matriz de rigidez del elemento se obtiene como se explica en el Apartado 4.4.1. Sus diferentes términos coinciden con los del Cuadro 1, con la excepción de los siguientes términos que completan la matriz de rigidez ${\textstyle 14\times 14}$ del elemento en cuestión (7 GDLs por nodo)

${\begin{array}{l}\displaystyle {k'}_{4,4}={{12{\hat {D}}_{\omega }} \over (l^{(e)})^{3}}+{{6{\hat {D}}_{t}} \over 5l^{(e)}},\quad {k'}_{4,7}={{6{\hat {D}}_{\omega }} \over (l^{(e)})^{2}}+{{{\hat {D}}_{t}} \over 10}\\[.3cm]\displaystyle {k'}_{4,11}{=-k'}_{4,4},\quad {k'}_{4,14}{=k'}_{4,7},\quad {k'}_{7,7}={{4{\hat {D}}_{\omega }} \over l^{(e)}}+{{2l^{(e)}{\hat {D}}_{t}} \over 15}\\[.3cm]\displaystyle {k'}_{7,11}{=-k'}_{4,7},\quad {k'}_{7,14}={{2{\hat {D}}_{\omega }} \over l^{(e)}}-{{l^{(e)}{\hat {D}}_{t}} \over 30},\quad {k'}_{11,11}{=k'}_{4,4}\\[.3cm]\displaystyle {k'}_{11,14}{=-k'}_{4,7},\quad {k'}_{14,14}{=k'}_{7,7}\end{array}}$

(4.152)

con ${\textstyle {k'}_{ij}{=k'}_{ji}}$.

Se puede escoger una interpolación diferente para ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$ que conduce a resultados nodales “exactos” usando funciones de forma hiperbólicas como se describe en [BD5].

La transformación de los primeros seis GDLs nodales a ejes globales es idéntica a lo descrito en el Apartado 4.4.2. La transformación de ${\textstyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over {\partial x'}}}$ es más enrevesada para estructuras reticuladas y barras rectas de sección variable [GP,Gu,Sh]. El grado de compatibilidad nodal entre dos elementos depende del cumplimiento de la siguiente ecuación [BD5]

$\left({{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right)_{i}^{(a)}=c\left({{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right)_{i}^{(b)}$

(4.153)

donde ${\textstyle c\leq 1}$ y los subíndices ${\textstyle a}$ y ${\textstyle b}$ denotan valores en cada uno de los dos elementos adyacentes. Se han propuesto diferentes valores de ${\textstyle c}$ sobre la base de análisis por el MEF locales para vigas reticuladas con secciones en ${\textstyle H}$ y en ${\textstyle U}$ [Sh]. Una alternativa es suponer que las cantidades nodales ${\textstyle {{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}}$ son discontinuas entre elementos y que hay tantas variables de alabeo en un nodo como elementos conectados a él [Ak,BD5].

4.10.7 Cálculo de tensiones debidas a la torsión en secciones de pared delgada abiertas

Las tensiones axil y tangencial inducidas por la torsión en vigas de pared delgada abiertas se pueden calcular mediante la Ec.(4.134). Para paredes rectas (${\textstyle R\to \infty }$) y

$\tau _{x's}=-2\zeta G{\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}$

(4.154)

Los valores máximos ocurren en los bordes de las paredes (${\textstyle \zeta =\pm {\frac {t}{2}}}$), es decir

$\max \vert \tau _{x's}\vert =tG{\bigg |}{\partial \theta _{{\hat {x}}'} \over \partial x'}{\bigg |}$

(4.155)

Esta tensión tangencial se llama a veces tensión tangencial de Saint-Venant (${\textstyle \tau _{x's}^{sv}}$), indicando que no incluye la tensión tangencial inducida por la tensión axil debida al alabeo.

La tensión axil inducida por el alabeo se puede calcular usando las Ecs.(4.134a) y (4.138) como

$\sigma _{x'}^{\omega }(s,\zeta )=\omega (s,\zeta )E{\frac {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{'2}}}=\omega (s,\zeta ){\frac {E}{{\hat {D}}_{\omega }}}M_{\omega }$

(4.156)

con ${\textstyle \omega (s,\zeta )=g(s)-c_{t}(s)\zeta }$ (Ec.(4.125)).

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Figura 4.26: (a) Distribución de $g(s)$, $\sigma _{x'}^{\omega }(s,0)$, $S_{\omega }(s)$ y (b) $\tau _{x's}^{\omega }(s)$ para tres secciones de pared delgada abiertas

Si ${\textstyle g(s)\not =0}$, la contribución del término ${\textstyle c_{t}\xi }$ es generalmente despreciable. La Figura 4.26 muestra la distribución de ${\textstyle g(s)}$ y ${\textstyle \sigma _{x'}^{\omega }(s,0)}$ para tres secciones. El cálculo completo para una de las secciones se presenta en el Ejemplo 4.4. Los valores máximos de ${\textstyle \sigma _{x'}^{\omega }}$ se encuentran usualmente en los extremos de la sección (puntos D en la Figura 4.27) y son independientes de ${\textstyle \zeta }$. Si ${\textstyle g(s)=0}$ estos valores se encuentran en los puntos extremos y en las esquinas. En general podemos escribir

$\max \vert \sigma _{x'}^{\omega }\vert =\beta _{1}E\vert {\frac {\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{'2}}}\vert$

(4.157)

La Figura 4.27 muestra el valor y la posición de ${\textstyle \beta _{1}}$ (y por consiguiente de ${\textstyle \max \vert \sigma _{x'}^{\omega }\vert }$) para diferentes secciones.

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Figura 4.27: Inercia torsional ($J$), módulo de inercia de alabeo ($I_{\omega }$) y valor y posición de las tensiones máximas debidas al alabeo para diferentes secciones de pared delgada abiertas

Tensión tangencial debida a la tensión axil de alabeo σ_x'^ω

La tensión axil ${\textstyle \sigma _{x'}^{\omega }}$ induce un campo de tensiones tangenciales adicional. La llamada tensión tangencial de alabeo (${\textstyle \tau _{x's}^{\omega }}$) se puede calcular integrando las ecuaciones de equilibrio locales a posteriori. El método sigue los razonamientos usados para calcular la distribución de tensiones tangenciales en vigas planas bajo cargas de flexión (Apartado 3.7 y Apéndice D). Las ecuaciones de equilibrio son

${\partial \sigma _{x'}^{\omega } \over \partial x'}+{\partial \tau _{x's}^{\omega } \over \partial s}=0\quad {\hbox{con}}\quad \tau _{x's}^{\omega }=0\quad {\hbox{at }}s=0,L_{s}$

(4.158)

Introduciendo la Ec.(4.156) en (4.158) da

${\partial \tau _{x's}^{\omega } \over \partial s}=-\omega (s,\zeta )E{\frac {\partial ^{3}\theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{'3}}}$

(4.159)

Es usual despreciar la variación sobre el espesor de las tensiones tangenciales de alabeo. En ese caso, la Ec.(4.159) se reescribe (usando la Ec.(4.125)) para dar

$\tau _{x's}^{\omega }(s,\zeta )=-S_{\omega }(s)E{\frac {\partial ^{3}\theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{'3}}}\quad {\hbox{with}}\quad S_{\omega }(s)=\int _{0}^{s}g(s)ds$

(4.160)

Consecuentemente, las tensiones tangenciales debidas al alabeo son nulas si ${\textstyle g(s)=0}$. Los valores máximos se encuentran en los puntos en los que ${\textstyle S_{\omega }}$ toma un valor máximo, es decir

$\max \vert \tau _{x's}^{\omega }\vert =\beta _{2}E\vert {\frac {\partial ^{3}\theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x^{'3}}}\vert$

(4.161)

La Figura 4.27 muestra el valor y la posición de ${\textstyle \beta _{2}}$ (y ${\textstyle \max \vert \tau _{x's}^{\omega }\vert }$) para diferentes secciones.

La tensión tangencial total debida a la torsión es la suma de la tensión tangencial de Saint-Venant (Ec.(4.154)) y la tensión tangencial de alabeo (Ec.(4.160)).

La Figura 4.28 muestra la distribución de ${\textstyle \tau _{x's}}$ en una sección abierta de pared delgada.

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Figura 4.28: Tensión tangencial a lo largo del espesor en una sección de pared delgada abierta. La tensión tangencial total debida a la torsión es la suma de la tensión tangencial de Saint-Venant y la tensión tangencial de alabeo

Ejemplo 4.4: Cálculo de ${\textstyle \omega }$, ${\textstyle S_{\omega }}$ y ${\textstyle I_{\omega }}$ para una sección en doble L.

- Solución

Consideremos una sección de pared delgada en forma de doble ${\textstyle L}$ como la que se muestra en la figura siguiente:

Distribución de $\omega _{s}(s)$Distribución de ω s ( s ) {\displaystyle \omega {s}(s)}

Segmento DA: ${\textstyle 0\leq s\leq b}$ ; ${\textstyle -b\leq y\leq 0}$ ; ${\textstyle z=-{\frac {h}{2}}}$

$ds=dy\quad ,\quad c_{n}=-{\frac {h}{2}}\quad ,\quad \omega _{s}(s)=\int _{0}^{s}c_{n}ds=-{\frac {h}{2}}s$

Segmento AB: ${\textstyle b\leq s\leq b+h}$ ; ${\textstyle y=0}$ ; ${\textstyle -{\frac {h}{2}}\leq z\leq {\frac {h}{2}}}$

$ds=dz\quad ,\quad c_{n}=0\quad ,\quad \omega _{s}(s=b)=-{\frac {h}{2}}b$

Segmento BF: ${\textstyle b+h\leq s\leq b+2h}$ ; ${\textstyle 0\leq y\leq b}$ ; ${\textstyle z={\frac {h}{2}}}$

$ds=dy\quad ,\quad c_{n}={\frac {h}{2}}\quad ,\quad \omega _{s}(s)=-{\frac {h}{2}}b+\int _{b+h}^{s}{\frac {h}{2}}ds=-{\frac {h}{2}}b+{\frac {h}{2}}(s-b-h)$

Valor medio: ${\textstyle \omega _{m}=-\omega _{D}}$

$\omega _{m}={\frac {1}{2b+h}}\int _{0}^{2b+h}\omega _{s}ds=-{\frac {bh(b+h)}{2L_{s}}}$

Área sectorial ${\textstyle \omega }$ y ${\textstyle S_{\omega }}$:

$\omega (s,\zeta )=g(s)-c_{t}(s)\zeta \quad {\hbox{con}}\quad g(s)=\omega _{s}(s)+\omega _{D}$

Despreciando la variación en el espesor, ${\textstyle \omega (s)=g(s)}$ y ${\textstyle S_{\omega }(s,0)=\int _{0}^{s}g(s)ds}$.

Módulo de inercia sectorial: ${\textstyle I_{\omega }=\int _{A}\omega ^{2}dA={\frac {th^{2}b^{3}}{12}}\left({\frac {b+2h}{2b+h}}\right)}$

La contribución del término ${\textstyle -c_{t}\zeta }$ de ${\textstyle \omega (s,\zeta )}$ en ${\textstyle I_{\omega }}$ es despreciable. Su valor es ${\textstyle I_{\omega }={\frac {t^{3}}{12}}\left({\frac {2b^{3}}{3}}+{\frac {h^{3}}{12}}\right)}$

Las siguientes figuras muestran la distribución de ${\textstyle \omega _{s}(s),g(s)}$ y ${\textstyle S_{\omega }(s)}$ en la sección en doble L considerada.

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4.11 ELEMENTOS DE VIGA DE PARED DELGADA ABIERTA DE TIMOSHENKO QUE CONSIDERAN LA TENSIÓN TANGENCIAL DEBIDA A LA TORSIÓN

4.11.1 Ecuaciones básicas

Las tensiones tangenciales inducidas por la torsión pueden ser importantes en vigas cortas empotradas y en vigas de pared delgada abierta con material compuesto. Estos términos se pueden tener en cuenta en la teoría presentada anteriormente siguiendo razonamientos similares a los usados para introducir el efecto de la deformación de cortante en la teoría clásica de vigas. La tasa de torsión (${\textstyle \phi _{\omega }}$) se define ahora como suma del cambio del giro de torsión ${\textstyle \left({\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}\right)}$ y una tasa adicional (${\textstyle \phi _{s}}$) inducida por las tensiones tangenciales debidas a la torsión, es decir

$\phi _{\omega }={\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}+\phi _{s}$

(4.162)

La tasa ${\textstyle \phi _{s}}$ se puede interpretar como (el valor negativo de) la deformación de cortante ${\textstyle \gamma _{t}}$ introducida por los efectos de torsión (Figura 4.29). Claramente, si ${\textstyle \phi _{s}=0}$, entonces ${\textstyle \phi _{\omega }={\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}}$ y se recupera la definición clásica de la tasa de torsión de la Ec.(4.25) [Va,VOO].

El campo de desplazamientos inducido por los efectos de torsión se escribe en ejes locales ${\textstyle x',t,n}$ en la nueva teoría como

$u'=\omega \phi _{\omega }\quad ,\quad u_{t}=-(c_{n}+\zeta )\theta _{{\hat {x}}'}\quad ,\quad u_{n}=c_{t}\theta _{{\hat {x}}'}$

(4.163)

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Figura 4.29: Efecto de la deformación de cortante debida a la torsión ($\gamma _{t}$) en la tasa de torsión ($\phi _{\omega }$)

La única diferencia con la Ec.(4.119) es la definición del desplazamiento axial. Nótese que ${\textstyle \phi _{\omega }}$ se toma ahora como una variable independiente.

Las deformaciones inducidas por la torsión (denominadas ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{t}^{\prime }}$) son

${{\boldsymbol {\varepsilon }}'}_{t}==\left\{{\begin{matrix}\displaystyle \omega {\frac {\partial \phi _{\omega }}{\partial x'}}\\\displaystyle {\partial \omega \over \partial s}\phi _{\omega }-(c_{n}+\zeta ){\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}\\\displaystyle {\partial \omega \over \partial \zeta }\phi _{\omega }+c_{t}{\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}\end{matrix}}\right\}$

(4.164)

Usando la Ec.(4.130) y suponiendo ${\textstyle {\partial \omega \over \partial \zeta }=-c_{t}}$ y ${\textstyle {\partial c_{t} \over \partial s}=1}$ se obtiene

${{\boldsymbol {\varepsilon }}'}_{t}==\left\{{\begin{matrix}\displaystyle \omega {\frac {\partial \phi _{\omega }}{\partial x'}}\\\displaystyle c_{n}\phi _{s}-\zeta \left(\phi _{\omega }+{\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}\right)\\c_{t}\left({\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}-\phi _{\omega }\right)\end{matrix}}\right\}={\boldsymbol {S}}_{t}{\hat {{\boldsymbol {\varepsilon }}'}}_{t}$

(4.165.a)

con

${\boldsymbol {S}}_{t}=\left[{\begin{matrix}\omega &0&0\\0&-2\zeta &c_{n}\\0&0&c_{t}\end{matrix}}\right]\quad ,\quad {\hat {{\boldsymbol {\varepsilon }}'}}_{=}=\left\{{\begin{matrix}\kappa _{w}\\\kappa _{x's}\\\gamma _{t}\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial \phi _{\omega }}{\partial x'}}\\{\frac {1}{2}}\left(\phi _{\omega }+{\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}\right)\\{\frac {\partial \theta _{{\hat {x}}'}}{\partial x'}}-\phi _{\omega }\end{matrix}}\right\}$

(4.165.b)

Los esfuerzos debidos a la torsión son (aceptando que ${\textstyle {\frac {c_{n}}{R}}=0}$)

${\hat {{\boldsymbol {\sigma }}'}}_{=}=\left\{{\begin{matrix}M_{\omega }\\M_{{\hat {x}}'}\\M_{t}\end{matrix}}\right\}=\iint _{A}\left\{{\begin{matrix}\omega \sigma _{x'}\\-2\zeta \tau _{x's}\\c_{t}\tau _{x'\zeta }+c_{n}\tau _{x's}\end{matrix}}\right\}dA=\iint _{A}[{\boldsymbol {S}}_{t}]^{T}{\boldsymbol {\sigma }}_{t}^{\prime }dA$

(4.166)

La ecuación constitutiva se supone de la forma

${{\boldsymbol {\sigma }}'}_{=}=\left\{{\begin{matrix}\sigma _{x'}\\\tau _{x's}\\\tau _{x'\zeta }\end{matrix}}\right\}=\left[{\begin{matrix}E&0&0\\0&G&0\\0&0&G\end{matrix}}\right]=\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\\gamma _{x's}\\\gamma _{x'\zeta }\end{matrix}}\right\}={\boldsymbol {D}}'{{\boldsymbol {\varepsilon }}'}_{t}$

(4.167)

Sustituyendo esta ecuación en (4.166) se obtiene

${\hat {{\boldsymbol {\sigma }}'}}_{=}={\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}{\hat {{\boldsymbol {\varepsilon }}'}}_{t}\quad {\hbox{con}}\quad {\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}=\iint _{A}[{\boldsymbol {S}}_{t}]^{T}{\boldsymbol {D}}'{\boldsymbol {S}}_{t}dA$

(4.168)

Una simple multiplicación da

${\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}=\iint _{A}\left[{\begin{matrix}E\omega ^{2}&0&0\\0&4\zeta ^{2}G&-2\zeta c_{n}G\\0&-2\zeta c_{n}G&|c|^{2}G\end{matrix}}\right]dA\quad {\hbox{con}}\quad |c|^{2}=c_{n}^{2}+c_{t}^{2}$

(4.169)

Una comparación de las Ecs.(4.141a) y (4.169) muestra los términos introducidos por la deformación de cortante en la matriz constitutiva de torsión. Para material homogéneo

${\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}=\left[{\begin{matrix}{\hat {D}}_{\omega }&0&0\\0&{\hat {D}}_{t}&0\\0&0&{\hat {D}}_{s_{t}}\end{matrix}}\right]$

(4.170)

donde ${\textstyle {\hat {D}}_{\omega }}$ y ${\textstyle {\hat {D}}_{t}}$ coinciden con las expresiones de la Ec.(141b) ${\textstyle \displaystyle \left({\hbox{para }}{\frac {c_{n}}{R}}=0\right)}$ y ${\textstyle \displaystyle {\hat {D}}_{s_{t}}=\iint _{A}|c|^{2}GdA}$. Usando las Ecs.(4.167), (4.165b) y (4.168) se deduce que los efectos de torsión contribuyen los siguientes términos al PTV

$\iiint _{V}\left(\delta \varepsilon _{x'}\sigma _{x'}+\delta \varepsilon _{x's}\tau _{x's}+\delta \varepsilon _{x'\zeta }\tau _{x'\zeta }\right)dAdx'=$ $=\int _{L}\left(\delta \kappa _{\omega }M_{\omega }+\delta \gamma _{t}M_{t}+\delta \kappa _{s}M_{{\hat {x}}'}\right)dx'=\int _{L}\delta {\hat {{\boldsymbol {\varepsilon }}'}}_{t}{{\boldsymbol {\sigma }}'}_{t}dx'$

(4.171)

Si ${\textstyle \phi _{s}=0}$ entonces ${\textstyle \gamma _{t}=0}$, ${\textstyle \kappa _{s}={{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}}$, ${\textstyle \kappa _{\omega }={{\partial ^{2}\theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x^{\prime 2}}}$ y el PTV recupera la expresión de la Ec.(4.146) para los términos de torsión.

Nótese que en el PTV sólo aparece la derivada primera del ángulo de torsión ${\textstyle \theta _{{\hat {x}}'}}$. Esto permite emplear una interpolación de continuidad $C^{0}$ para todas las variables de movimiento. Estas variables incluyen la tasa de torsión ${\textstyle \phi _{\omega }}$ como un GDL adicional.

4.11.2 Discretización por elementos finitos

La interpolación de los movimientos para un elemento de viga de dos nodos se escribe como

${\boldsymbol {u}}^{'}=\sum \limits _{e}N_{i}{\boldsymbol {a}}_{i}^{'(e)}\quad {\hbox{con}}\quad {\boldsymbol {a}}^{'(e)}{_{i}=[u'}_{0_{i}}{,v'}_{c_{i}}{,w'}_{c_{i}},\theta _{{\hat {x'}}_{i}},\theta _{{y'}_{i}},\theta _{{z'}_{i}},\phi _{\omega _{i}}]^{T}$

(4.172)

En la Ec.(4.172) ${\textstyle N_{i}}$ son las funciones de forma 1D lineales estándar (Figura 2.4).

Las deformaciones generalizadas se expresan en función de los GDLs nodales como

${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\sum _{i=1}^{2}{{\boldsymbol {B}}'}i{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}$

(4.173.a)

con

${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}'=\left[{{\partial {u'}_{0}} \over \partial x'},\left({\frac {\partial {v'}_{c}}{\partial x'}}-\theta _{z'}\right),\left({\frac {\partial {w'}_{c}}{\partial x'}}+\theta _{y'}\right),{{\partial \theta _{y'}} \over \partial x'},{{\partial \theta _{z'}} \over \partial z'},{{\partial \phi _{\omega }} \over \partial x'},\right.$ $\left.{\frac {1}{2}}\left(\phi _{\omega }+{{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}\right),\left({{\partial \theta _{{\hat {x}}'}} \over \partial x'}-\phi _{\omega }\right)\right]^{T}$

(4.173.b)

y

${{\boldsymbol {B}}'}_{=}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}\\\cdots \\{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}\\\end{bmatrix}}$

(4.173.c)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{a_{i}}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{f_{i}}^{\prime }}$ se obtienen ampliando las expresiones de la Ec.(4.79) con una columna de ceros y ${\textstyle {\boldsymbol {B}}_{t_{i}}^{\prime }}$ son las contribuciones de la torsión a la matriz de de deformaciones generalizadas dadas por

${\boldsymbol {B}}_{t_{i}}^{\prime }={\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&\displaystyle {\partial N_{i} \over \partial x^{'}}\\[.4cm]0&0&0&\displaystyle {\frac {1}{2}}{\partial N_{i} \over \partial x^{'}}&0&0&\displaystyle {\frac {1}{2}}N_{i}\\[.4cm]0&0&0&\displaystyle {\partial N_{i} \over \partial x^{'}}&0&0&-N_{i}\end{bmatrix}}$

(4.174)

La matriz de rigidez del elemento tiene la forma estándar

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=\int _{l^{(e)}}{\boldsymbol {B}}_{i}^{\prime T}{\hat {\boldsymbol {D}}}'{\boldsymbol {B}}'_{j}\,dx'\quad ,\quad i,j=1,2$

(4.175.a)

donde

${\hat {\boldsymbol {D}}}'=\left[{\begin{matrix}{\hat {D}}_{a}&{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}\\[.15cm]{\boldsymbol {0}}&{\hat {\boldsymbol {D}}}_{f}&{\boldsymbol {0}}\\[.15cm]{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&{\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}\end{matrix}}\right]$

(4.175.b)

Introduciendo las Ecs.(4.173c) y (4.175b) en (4.175a) da

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{\prime (e)}=\int _{l^{(e)}}\left[{\boldsymbol {B}}_{a_{i}}^{T}{\hat {D}}_{a}{\boldsymbol {B}}_{a_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{f_{i}}^{T}{\hat {\boldsymbol {D}}}_{f}{\boldsymbol {B}}_{f_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{t_{i}}^{T}{\hat {\boldsymbol {D}}}_{t}{\boldsymbol {B}}_{t_{j}}\right]dx'$

(4.176)

El bloqueo de cortante inducido por los efectos de flexión y torsión se puede eliminar en el elemento de viga de dos nodos usando una cuadratura reducida de un punto para integrar todos los términos de la matriz de rigidez del elemento.

Se puede seguir el mismo procedimiento para desarrollar elementos de viga 3D de pared delgada abierta de tres y cuatro nodos que tengan en cuenta los efectos de la deformación de cortante debidos a la torsión. El comportamiento del elemento cuadrático mejora usando una cuadratura reducida de dos puntos. El elemento cúbico tiene un comportamiento excelente usando una cuadratura completa de cuatro puntos [Va,VOS].

Se pueden encontrar otros procedimientos numéricos y analíticos para el análisis de vigas de pared delgada abierta que tengan en cuenta la deformación de cortante inducida por la torsión en [BT2,BW2,FM2, Ko2,KP,KSK,Le,LL3,PK,ST].

4.11.3 Ejemplos

Viga de material compuesto laminado en voladizo sometida a torsor en el extremo

La Figura 4.30 muestra una viga en voladizo de material compuesto laminado de ${\textstyle L=1000}$ mm con sección en doble T. Tanto la pared central como las dos alas tienen siete capas con orientaciones simétricas [0,90,0,90,0,90,0] con respecto al eje de la viga. Hemos considerado dos casos de carga: (a) un torsor de 1 KN${\textstyle \times }$mm actuando en el extremo libre, y (b) una carga vertical de 1KN actuando también en el extremo libre. Ambos problemas se han resuelto con diferentes mallas de elementos de viga lineales de dos nodos y cuadráticos de tres nodos con integración completa y reducida y con elementos cúbicos de cuatro nodos con integración completa. Se han analizado los mismos problemas con una malla de 550 cuadriláteros de lámina plana DKQ (Apartado 8.12.3) mostrada en la Figura 4.30 para obtener una solución de referencia a efectos de comparación.

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Figura 4.30: Viga en voladizo en doble T. Geometría y malla de 500 cuadriláteros de lámina plana DKQ usada como solución de referencia [VA]

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Figura 4.31: Viga en doble T de material compuesto en voladizo. Resultados para el cociente del giro de torsión $\theta _{A}^{b}/\theta _{A}^{s}$ bajo un torsor en el extremo (a) y cociente de flechas $w_{A}^{b}/w_{A}^{s}$ para carga puntual en el extremo (b) en función del coeficiente de esbeltez ($\lambda$) para mallas de un elemento lineal (L), cuadrático (Q) y cúbico (C) con integración completa (F) y reducida (R). $(\cdot )^{b}$: solución de viga; $(\cdot )^{s}$: solución con 500 elementos de lámina DKQ

La Figura 4.31 muestra el cociente entre los resultados de viga y lámina plana para el ángulo de torsión (para la carga de torsión) y la flecha (para la carga vertical) en el extremo, en función del coeficiente de esbeltez ${\textstyle \lambda =L/h}$ para la malla de un solo elemento. El gráfico muestra que

• El elemento de viga lineal de dos nodos con integración completa de dos puntos (L-F) se bloquea para vigas esbeltas. La cuadratura reducida de un punto (L-R) elimina el bloqueo de cortante y proporciona resultados excelentes para vigas cortas y esbeltas.
• El elemento de viga cuadrático de tres nodos con integración completa de tres puntos (Q-F) presenta un ligero bloqueo para vigas esbeltas. Se obtienen resultados excelentes para todos los casos empleando la cuadratura reducida de dos puntos uniforme (Q-R).
• El elemento de viga cúbico de cuatro nodos con integración completa de cuatro puntos (C-F) no bloquea y da resultados precisos para vigas cortas y esbeltas.

La Figura 4.32 muestra la convergencia de los cocientes de flechas y giros en el extremo para una viga esbelta (${\textstyle \lambda =20}$) con el número de elementos para todos los casos estudiados. Todas las soluciones convergen a los valores de referencia.

Nótese que se ha usado ${\textstyle \theta \equiv \theta _{{\hat {x}}'}}$ en las Figuras 4.31 y 4.32 por simplicidad.

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Figura 4.32: Viga esbelta de doble T en voladizo ($\lambda =20$) de material compuesto laminado. Cargas como en Figura 4.31. Convergencia de los cocientes de la flecha y el giro de torsión en el extremo con el número de elementos de viga (NEL). $(\cdot )^{b}$ y $(\cdot )^{s}$ denotan las soluciones de viga y lámina

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Figura 4.33: Viga en U en voladizo bajo cargas puntuales en el extremo. Geometría y cargas. Dimensiones: $h=200{\hbox{ mm}};b=60{\hbox{ mm}};t=10{\hbox{ mm}};L=2000{\hbox{ mm}}$

Vigas en U en voladizo y empotradas bajo cargas puntuales en el extremo

El siguiente ejemplo es el análisis de una viga en voladizo con sección en U de material compuesto laminado sometida a dos cargas puntuales actuando en el extremo libre. La Figura 4.33 muestra la geometría de la viga y las propiedades del material. El problema se ha resuelto con los siguientes tres elementos:

• Malla de 20 elementos de viga de pared delgada abierta de Timoshenko de dos nodos teniendo en cuenta las tensiones tangenciales debidas a la torsión con integración reducida uniforme de un punto (Apartado 4.11).

• Malla de 20 elementos de viga de pared delgada abierta de Euler-Bernoulli de tres nodos basada en la teoría de Saint-Venant (Apartado 4.7).

• Malla de 550 cuadriláteros de lámina DKQ de nueve nodos (Apartado 8.12.3).

El problema se ha resuelto para los dos materiales y cargas siguientes:

Material homogéneo isótropo (acero).

${\textstyle E=210000}$ MPa  , ${\textstyle \nu =0,30}$

Cargas: ${\textstyle P_{y'}=25000}$ N , ${\textstyle P_{z'}=-25000}$ N

Material compuesto laminado. Laminado de 10 capas [90,0${\textstyle _{4}]_{s}}$ de matriz de cristal epoxi con las siguientes propiedades:

$E_{1}=53780$MPa   ,  ${\textstyle E_{2}=17930}$ MPa  ,  ${\textstyle \nu _{12}=0,25}$
$G_{12}=G_{11}=8960$MPa   ,  ${\textstyle G_{23}=3450}$ MPa
Cargas: ${\textstyle P_{y'}=250}$ N,${\textstyle P_{z'}=-250}$ N

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Figura 4.34: Viga en U en voladizo homogénea bajo cargas puntuales en el extremo. Distribución de la flecha del centro de esfuerzos cortantes (a) y del ángulo de torsión (b). Resultados para mallas de 20 elementos de viga de Timoshenko y de Euler-Bernoulli (Saint-Venant) de dos nodos y de 500 cuadriláteros de lámina DKQ (mostrada en la figura). Los resultados están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la malla de elementos DKQ

Tabla. 4.3 Viga en U en voladizo bajo cargas puntuales en el extremo. Valor máximo de los desplazamientos verticales y laterales del centro de esfuerzos cortantes ($v_{c}$ y $w_{c}$) y del giro de torsión ($\theta _{{\hat {x}}'}$)

	~
	Elemento de viga de		Elemento de viga de		Elemento de lámina
	Euler-Bernoulli/Saint-Venant		Timoshenko de dos nodos		DKQ
	(Apartado 4.7)		(Apartado 4.10)		~
	Material	Material	Material	Material	Material	Material
	Homogéneo	Compuesto	Homogéneo	Compuesto	Homogéneo	Compuesto
$v_{c}$mm	301.86	13.648	301.91	13.662	304.68	13.676
$w_{c}$mm	-16.998	-0.766	-17.219	-0.787	-18.667	-0.790
$\theta _{{\hat {x}}'}$rad	-0.692	-0.062	-0.545	-0.044	-0.512	-0.045

Tabla. 4.4 Viga homogénea en U biempotrada bajo cargas puntuales excéntricas actuando en el centro. Valor máximo de los desplazamientos verticales y laterales del centro de esfuerzos cortantes ($v_{c}$ y $w_{c}$) y del giro de torsión ($\theta _{{\hat {x}}'}$)

	~
	Elemento de viga de		Elemento de viga de		Elemento de lámina
	Euler-Bernoulli/Saint-Venant		Timoshenko de dos nodos		DKQ
	de dos nodos (Apartado 4.7)		(Apartado 4.10)		~
	Material	Material	Material	Material	Material	Material
	Homogéneo	Compuesto	Homogéneo	Compuesto	Homogéneo	Compuesto
$v_{c}$mm	0.472	0.213	0.473	0.217	0.492	0.233
$w_{c}$mm	-0.0266	-0.01197	-0.0321	-0.01733	-0.0328	-0.01762
$\theta _{{\hat {x}}'}$rad	-0.0173	-0.01560	-0.0051	-0.00281	-0.0052	-0.00292

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Figura 4.35: Viga en U biempotrada homogénea bajo cargas puntuales excéntricas actuando en el centro. Distribución de la flecha en centro de esfuerzos cortantes (a) y del ángulo de torsión (b) para mallas de 20 elementos de viga de Timoshenko y de Euler-Bernoulli (Saint-Venant) de dos nodos y de 500 cuadriláteros de lámina DKQ (mostrada en la figura). Los resultados están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la malla de elementos DKQ

La Figura 4.34 muestra la distribución de la flecha del centro de esfuerzos cortantes y del ángulo de torsión para material homogéneo para los tres elementos considerados. Los resultados están normalizados con la flecha y el giro máximos obtenidos con la malla de elementos de lámina DKQ. Los resultados para material compuesto laminado son prácticamente coincidentes con los de la Figura 4.34.

El elemento de viga de Timoshenko de dos nodos proporciona resultados muy precisos. Nótese la discrepancia en los resultados del ángulo de torsión para el elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos basado en la teoría de Saint-Venant.

La Tabla 4.3 muestra los valores máximos de los desplazamientos laterales y verticales del centro de esfuerzos cortantes y el giro de torsión para los tres elementos considerados con secciones de material homogéneo y material compuesto laminado. Las distribuciones son prácticamente coincidentes para los tres elementos.

La Figura 4.35 y la Tabla 4.4 muestran una serie de resultados similares para una viga en U biempotrada de las mismas dimensiones. Las conclusiones son las mismas que para la viga en voladizo.

Como conclusión general, el sencillo elemento de barra 3D de Timoshenko de dos nodos con integración reducida de un punto tiene un comportamiento excelente para el análisis de vigas abiertas de pared delgada.

4.12 ELEMENTOS DE VIGA 3D DEGENERADOS

Los elementos de viga 3D también se pueden obtener imponiendo las siguientes restricciones a los elementos de sólido 3D [On4]:

1. Variación lineal de los desplazamientos en cada sección (hipótesis de sección plana de Saint-Venant),
2. Las dimensiones de la sección no cambian (lo que limita los GDLs nodales),
3. Hipótesis de tensión plana en ejes locales ${\textstyle (\sigma _{y'}=\sigma _{z'}=\gamma _{y'z'}=0)}$.

El proceso es análogo al explicado para obtener elementos de lámina degenerados en el Capítulo 10.

El punto de partida es un elemento prismático. Por simplicidad sólo consideraremos hexaedros (Figura 4.36). Esto limita la formulación a vigas con sección rectangular. Se pueden modelar otras secciones empleando una sección rectangular de igual área y las mismas propiedades de inercia.

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Figura 4.36: (a) Elemento hexaédrico cuadrático de veinte nodos y (b) Elemento de viga 3D cuadrático de tres nodos degenerado

4.12.1 Descripción de la geometría y el campo de desplazamientos

El eje de referencia de la viga se define como la línea que une los centros de gravedad de las secciones. Se define en cada nodo un sistema de coordenadas curvilíneo local ${\textstyle x',y',z'}$ de tal manera que ${\textstyle x'}$ es tangente al eje de la viga e ${\textstyle y',z'}$ son las direcciones principales de inercia (Figura 4.36). La geometría se expresa en forma isoparamétrica como

${{\boldsymbol {x}}=\left\{{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right\}=\sum _{i=1}^{n}N_{i}(\xi )\left({\boldsymbol {x}}_{i}+{\eta a_{i} \over 2}{\boldsymbol {e}}_{2_{i}}+{\zeta b_{i} \over 2}{\boldsymbol {e}}_{3_{i}}\right)}$

(4.177)

donde ${\textstyle n}$ es el número de elementos, ${\textstyle N_{i}(\xi )}$ es la función de forma 1D Lagrangiana del nodo ${\textstyle i}$ [On4], ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{i}=[x_{i},y_{i},z_{i}]^{\scriptscriptstyle T}}$ contiene las coordenadas cartesianas del nodo, ${\textstyle a_{i}}$ y ${\textstyle b_{i}}$ son las dimensiones de la sección en el nodo y ${\textstyle \eta }$, ${\textstyle \zeta }$ son las coordenadas naturales transversales (Figura 4.36).

El campo de desplazamientos se define siguiendo la hipótesis de la teoría de vigas de Timoshenko para el giro de la sección como

${\boldsymbol {u}}=\!\left\{{\begin{matrix}u\\v\\w\end{matrix}}\right\}=\sum _{i=1}^{n}N_{i}(\xi )\!\left[{\boldsymbol {u}}_{i}+{\boldsymbol {T}}_{i}\!\left(\!\left\{{\begin{matrix}-\theta _{{z'}_{i}}\\0\\\theta _{{x'}_{i}}\end{matrix}}\right\}\!\left\{{\begin{matrix}\theta _{{y'}_{i}}\\-\theta _{{x'}_{i}}\\0\end{matrix}}\right\}\right)\!\right]=$ $=\sum \limits _{i=1}^{n}{\boldsymbol {N}}_{i}{\boldsymbol {a}}^{\prime (e)_{i}}$

(4.178.a)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}=[u_{i},v_{i},w_{i},\theta _{{x'}_{i}},\theta _{{y'}_{i}},\theta _{{z'}_{i}}]^{\scriptscriptstyle T}}$, y

${\boldsymbol {N}}_{i}=\left[N_{i}(\xi ){\boldsymbol {I}}_{3},{\boldsymbol {T}}_{i}\left({{\eta a_{i}} \over 2}{\boldsymbol {I}}_{\eta }{+}{{\xi b_{i}} \over 2}{\boldsymbol {I}}_{\zeta }\right)\right]$

(4.178.b)

con

${\boldsymbol {I}}_{\eta }=\left[{\begin{matrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{matrix}}\right],\quad {\boldsymbol {I}}_{\zeta }=\left[{\begin{matrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right],\quad {\boldsymbol {T}}_{i}=[{\boldsymbol {e}}_{1i},{\boldsymbol {e}}_{2i},{\boldsymbol {e}}_{3i}]$

(4.178.c)

Nótese que las componentes de los vectores ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{1i},{\boldsymbol {e}}_{2i}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{3i}}$ se expresan en el sistema de coordenadas global.

El vector ${\textstyle {\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}}$ contiene los tres desplazamientos globales del nodo ${\textstyle i}$: ${\textstyle u_{i}}$, ${\textstyle v_{i}}$, ${\textstyle w_{i}}$ y los tres giros locales: ${\textstyle \theta _{{x'}_{i}}}$, ${\textstyle \theta _{{y'}_{i}}}$, ${\textstyle \theta _{{z'}_{i}}}$ (definidos en forma vectorial).

4.12.2 Campo de deformaciones

Teniendo en cuenta que los desplazamientos se expresan en ejes diferentes, las deformaciones locales (${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}'}$) y globales (${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$) en un punto se relacionan por

${\boldsymbol {\varepsilon }}'=\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{x'}\\\gamma _{x'y'}\\\gamma _{x'z'}\end{matrix}}\right\}={\boldsymbol {S}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}$

(4.179.a)

donde ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ es el vector de deformaciones estándar de la elasticidad 3D [On4,ZTZ]

${\boldsymbol {\varepsilon }}=[\varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z},\gamma _{xy},\gamma _{xz},\gamma _{yz}]^{\scriptscriptstyle {T}}\!=\!\left[{\partial u \over \partial x},{\partial v \over \partial y},{\partial w \over \partial z},{\partial u \over \partial y}\!+\!{\partial v \over \partial x},{\partial u \over \partial z}\!+\!{\partial w \over \partial x},{\partial v \over \partial z}\!+\!{\partial w \over \partial y}\right]^{T}$

(4.179.b)

y

${\boldsymbol {S}}\!=\!\left[{\begin{matrix}(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x})^{2}&(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y})^{2}&(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z})^{2}&e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}&e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}&e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}\\&&&&&\\2e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{x}&2e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{y}&2e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{z}&(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{x}+e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{y})\!&\!(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{x}+e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{z})\!&\!(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{y}+e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {2}}^{z})&\\&&&&&\\2e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{x}&2e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{y}&2e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{z}&(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{x}+e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{y})\!&\!(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{x}+e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{z})\!&\!(e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{y}+e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y}e_{\scriptscriptstyle {3}}^{z})&\end{matrix}}\right]$

(4.179.c)

donde ${\textstyle e_{\scriptscriptstyle {1}}^{x},e_{\scriptscriptstyle {1}}^{y},e_{\scriptscriptstyle {1}}^{z}}$ son las componentes en ejes globales de ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{1}}$ en el punto en el que se calculan las deformaciones. Estas componentes se pueden obtener por interpolación de los valores nodales. Lo mismo aplica para las componentes de ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{2}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$.

Las componentes de deformación global se obtienen en función de los movimientos nodales como sigue.

Primero, se obtienen las derivadas de los desplazamientos globales con respecto a las coordenadas naturales como

${\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial \xi }=\sum _{i=1}^{n}{\partial N_{i} \over \partial \xi }\left[{\boldsymbol {u}}_{i}+{\boldsymbol {T}}_{i}\left({\eta a_{i} \over 2}\left\{{\begin{matrix}-\theta _{{z'}_{i}}\\0\\\theta _{{x'}_{i}}\end{matrix}}\right\}+{\zeta b_{i} \over 2}\left\{{\begin{matrix}\theta _{{y'}_{i}}\\-\theta _{{x'}_{i}}\\0\end{matrix}}\right\}\right)\right]$

${\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial \eta }=\sum _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}N_{i}{\boldsymbol {T}}_{i}\left\{{\begin{matrix}-\theta _{{z'}_{i}}\\0\\\theta _{{x'}_{i}}\end{matrix}}\right\};\qquad {\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial \zeta }=\sum _{i=1}^{n}{b_{i} \over 2}N_{i}{\boldsymbol {T}}_{i}\left\{{\begin{matrix}\theta _{{y'}_{i}}\\-\theta _{{x'}_{i}}\\0\end{matrix}}\right\}$

(4.180)

Las derivadas de los desplazamientos globales con respecto a las coordenadas cartesianas y naturales se relacionan por la inversa de la matriz jacobiana 3D ${\textstyle {\boldsymbol {J}}}$ como

$\left[{\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial x},{\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial y},{\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial z}\right]={\boldsymbol {J}}^{-1}\left[{\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial \xi },{\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial \eta },{\partial {\boldsymbol {u}} \over \partial \zeta }\right]^{T}$

(4.181.a)

donde

${\boldsymbol {J}}=\left[{\partial {\boldsymbol {x}} \over \partial \xi },{\partial {\boldsymbol {x}} \over \partial \eta },{\partial {\boldsymbol {x}} \over \partial \zeta }\right]^{T}\quad {\hbox{with}}\quad {\boldsymbol {x}}=[x,y,z]^{T}$

(4.181.b)

Los elementos de la matriz jacobiana ${\textstyle {\boldsymbol {J}}}$ se calculan de la descripción isoparamétrica (4.177) como

${\begin{array}{l}\displaystyle {\partial {\boldsymbol {x}} \over \partial \xi }=\sum _{i=1}^{n}{\partial N_{i} \over \partial \xi }\left({\boldsymbol {x}}_{i}+{\eta a_{i} \over 2}{\boldsymbol {e}}_{2_{i}}+{\zeta b_{i} \over 2}{\boldsymbol {e}}_{3_{i}}\right)\\[.3cm]\displaystyle {\partial {\boldsymbol {x}} \over \partial \eta }=\sum _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}N_{i}{\boldsymbol {e}}_{2_{i}};\qquad {\partial {\boldsymbol {x}} \over \partial \zeta }=\sum _{i=1}^{n}{b_{i} \over 2}N_{i}{\boldsymbol {e}}_{3_{i}}\end{array}}$

(4.182)

La matriz de deformaciones globales ${\textstyle {\boldsymbol {B}}}$ se obtiene sustituyendo la interpolación de los desplazamientos (4.178a) en (4.179b). La expresión completa se muestra en el Cuadro 5. Usando este resultado y la Ec.(4.179a) se obtiene la relación entre las deformaciones locales y los movimientos locales como

${{\boldsymbol {\varepsilon }}'=\sum _{i=1}^{n}{\bar {\boldsymbol {B}}}'{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}}={{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{i}{\boldsymbol {a}}^{\prime (e)}$

(4.183.a)

con

${{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{i}=\left\{{\begin{matrix}{{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{ab_{i}}\\{{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{s_{i}}\end{matrix}}\right\}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {B}}_{i};\quad {{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{ab_{i}}={\boldsymbol {S}}_{1}{\boldsymbol {B}}_{i};\quad {{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{s_{i}}={\boldsymbol {S}}_{2}{\boldsymbol {B}}_{i}$

(4.183.b)

donde ${\textstyle {{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{ab_{i}}}$ y ${\textstyle {{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{s_{i}}}$ contienen las contribuciones axil-flector y de cortante a la matriz de deformaciones locales y ${\textstyle {\boldsymbol {S}}_{1}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {S}}_{2}}$ son la primera y últimas dos filas de la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {S}}}$ de la Ec.(4.179c), respectivamente.

${\boldsymbol {\varepsilon }}~=~[\varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z},\varepsilon _{xy},\varepsilon _{xz},\varepsilon _{yz}]^{T}~=~\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {B}}_{i}{\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {a}}^{\prime (e)}$

${\boldsymbol {B}}~=~\left[{\boldsymbol {B}}_{1},{\boldsymbol {B}}_{2},\cdots \cdots \cdots ,{\boldsymbol {B}}_{n}\right],\qquad {\boldsymbol {a}}_{i}^{\prime (e)}~=~[u_{i},v_{i},w_{i},\theta _{x_{i}^{\prime }},\theta _{y_{i}^{\prime }},\theta _{z_{i}^{\prime }}]^{T}$

${\boldsymbol {B}}_{i}\!=\!\left[{\begin{matrix}N_{i}^{1}&0&0&({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{11}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{12}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{13}\\0&N_{i}^{2}&0&({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{21}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{22}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{23}\\0&0&N_{i}^{3}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{31}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{32}&({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{33}\\N_{i}^{2}&N_{i}^{1}&0&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{11}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{21}\right]&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{12}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{22}\right]&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{13}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{23}\right]&\\N_{i}^{3}&0&N_{i}^{1}&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{11}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{31}\right]&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{12}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{32}\right]&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{13}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{33}\right]&\\0&N_{i}^{3}&N_{i}^{2}&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{21}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{31}\right]&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{22}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{2})_{32}\right]&\left[({\boldsymbol {G}}_{i}^{3})_{23}+({\boldsymbol {G}}_{i}^{1})_{33}\right]&\end{matrix}}\right]$

$N_{i}^{j}~=~J_{j_{1}}^{-1}{{\partial N_{i}} \over \partial \xi };\qquad {\boldsymbol {G}}_{i}^{j}~=~N_{i}^{j}{\hat {\boldsymbol {T}}}_{i}+{{a_{i}} \over 2}J_{j_{2}}^{-1}N_{i}{\boldsymbol {T}}_{i}{\boldsymbol {T}}_{\eta }{+}{{b_{i}} \over 2}J_{j_{3}}^{-1}N_{i}{\boldsymbol {T}}_{i}{\boldsymbol {T}}_{\xi }$

${\hat {\boldsymbol {T}}}_{i}~=~{\boldsymbol {T}}_{i}+{{\eta a_{i}} \over 2}{\boldsymbol {I}}_{\eta }{+}{{\zeta b_{i}} \over 2}{\boldsymbol {I}}_{\xi },\qquad {\boldsymbol {T}}_{i}~=~[{\boldsymbol {e}}_{1_{i}},~{\boldsymbol {e}}_{2_{i}},~{\boldsymbol {e}}_{3_{i}}]$

${\boldsymbol {I}}_{\eta }~=~\left[{\begin{matrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0&\\\end{matrix}}\right],\qquad {\boldsymbol {I}}_{\zeta }~=~\left[{\begin{matrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0&\end{matrix}}\right],\qquad {\begin{array}{ll}J_{ij}^{-1}:&{\hbox{ termino}}~ij~{\hbox{ de la matriz}}\\&{\hbox{ jacobiana inversa}}\end{array}}$

Cuadro 4.5: Matriz de deformaciones globales de un elemento de viga 3D degenerado

Los giros nodales se expresan a continuación en ejes globales, obteniéndose la relación final entre las deformaciones locales y los movimientos globales como

${{\boldsymbol {\varepsilon }}'=\sum _{i=1}^{n}{{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{i}~{\boldsymbol {Q}}_{i}{\boldsymbol {a}}_{i}^{\scriptscriptstyle {(e)}}=\sum _{i=1}^{n}{{\boldsymbol {B}}'}_{i}~{\boldsymbol {a}}^{\scriptscriptstyle {(e)}}}$

(4.184.a)

donde

${{\boldsymbol {B}}'}_{i}=\left\{{\begin{matrix}{{\boldsymbol {B}}'}_{ab_{i}}\\{{\boldsymbol {B}}'}_{s_{i}}\end{matrix}}\right\}\quad {\hbox{con}}\quad {{\boldsymbol {B}}'}_{ab_{i}}={{\bar {\boldsymbol {B}}}'}_{mb_{i}}{\boldsymbol {Q}}_{i}\quad ,\quad {{\boldsymbol {B}}'}_{s_{i}}={\bar {{\boldsymbol {B}}'}}_{s_{i}}{\boldsymbol {Q}}_{i}$

(4.184.b)

con

${\boldsymbol {Q}}_{i}=\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {I}}_{3}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {T}}_{i}\end{matrix}}\right]$

(4.184.c)

En lo anterior ${\textstyle {\boldsymbol {a}}_{i}^{(e)}=[u_{i},v_{i},w_{i},\theta _{x_{i}},\theta _{y_{i}},\theta _{z_{i}}]^{\scriptscriptstyle T}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {T}}_{i}}$ es la matriz de transformación de la Ec.(4.178c). La Ec.(4.184a) relaciona las deformaciones locales y los movimientos nodales globales.

La ecuación constitutiva se expresa en ejes locales mediante la Ec.(4.1). Esta formulación permite considerar secciones de la viga de material heterogéneo, tal y como se explica en el apartado siguiente.

4.12.3 Matriz de rigidez y vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento

Sustituyendo las Ec.(4.178a) y (4.183a) y la ecuación constitutiva (4.1) en la expresión de PTV (Ec.(4.63)) se obtiene la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento en ejes globales como

$\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{ij}^{(e)}=\iiint _{V^{(e)}}\left[{\boldsymbol {B}}_{ab_{i}}^{\prime ^{T}}~{\boldsymbol {D}}'~{{\boldsymbol {B}}'}_{ab_{j}}+{\boldsymbol {B}}_{s_{i}}^{\prime ^{T}}~{\boldsymbol {D}}'~{{\boldsymbol {B}}'}_{s_{j}}\right]dV={\boldsymbol {K}}_{ab_{ij}}^{(e)}+{\boldsymbol {K}}_{s_{ij}}^{(e)}$ (4.185.a) $\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{i}^{(e)}=\iiint _{V^{(e)}}{\boldsymbol {N}}_{i}^{T}~{\boldsymbol {b}}\,dV+\iint _{A^{(e)}}{\boldsymbol {N}}_{i}^{T}{\boldsymbol {t}}\,dA+{\boldsymbol {p}}_{i}^{(e)}$ (4.185.b)

donde ${\textstyle V^{(e)}}$ es el volumen del elemento sólido original. ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ab}^{(e)}}$ y ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{s}^{(e)}}$ son las contribuciones de los efectos de axil-flexión y de cortante a la matriz de rigidez global, respectivamente, ${\textstyle {\boldsymbol {b}}}$ son las fuerzas de volumen (peso propio), t son las fuerzas distribuidas actuando en alguna de las caras del elemento (${\textstyle \eta =\pm {1}}$ o ${\textstyle \xi {-\pm }1}$) y ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}^{(e)}}$ son vectores de fuerzas puntuales nodales. Todas las componentes se definen en ejes globales como

${\begin{array}{l}{\boldsymbol {b}}=[b_{x},b_{y},b_{z},0,0,0]^{\scriptscriptstyle T}\\{\boldsymbol {t}}=[f_{x},f_{y},f_{z},m_{x},m_{y},m_{z}]^{\scriptscriptstyle T}\\{\boldsymbol {p}}_{i}=[F_{x_{i}},F_{y_{i}},F_{z_{i}},M_{x_{i}},M_{y_{i}},M_{z_{i}}]^{\scriptscriptstyle T}\end{array}}$

(4.186)

Si las fuerzas distribuidas ${\textstyle {\boldsymbol {t}}}$ actúan en el eje de la viga, entonces la integral de área de la Ec.(4.185b) se sustituye por una integral de línea sobre la longitud del elemento y ${\textstyle \eta =\zeta =0}$ en la expresión de ${\textstyle N_{i}}$ de la Ec.(4.178b).

La integración explícita sobre la sección para elementos curvos tiene algunas dificultades. Es sin embargo posible siguiendo procedimientos similares a los explicados en el Capítulo 10 para elementos de lámina degenerados. Para vigas rectas, puede calcularse de forma analítica la matriz de rigidez del elemento. Para un elemento de viga de dos nodos la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes tiene expresiones idénticas a las obtenidas en el Apartado 4.4 partiendo de la teoría de vigas 3D. En la práctica, se emplea una cuadratura de Gauss 3D para la integración de las matrices y vectores del elemento; es decir

${\boldsymbol {K}}_{ij}^{(e)}=\sum _{p=1}^{n_{\xi }}\sum _{q=1}^{n_{\eta }}\sum _{r=1}^{n_{\zeta }}\left({\boldsymbol {B}}_{i}^{\prime ^{T}}~{\boldsymbol {D}}'~{{\boldsymbol {B}}'}_{j}\vert {\boldsymbol {J}}^{(e)}\vert \right)_{p,q,r}~W_{p}W_{q}W_{r}$ ${\boldsymbol {f}}_{i}^{(e)}=\sum _{p=1}^{n_{\xi }}\sum _{q=1}^{n_{\eta }}\sum _{r=1}^{n_{\zeta }}\left({\boldsymbol {N}}_{i}^{T}~{\boldsymbol {b}}\vert {\boldsymbol {J}}^{(e)}\vert ~\right)_{p,q,r}~W_{p}W_{q}W_{r}+$ (4.187) $+\sum \limits _{p=1}^{n_{\xi }}[{\boldsymbol {N}}_{i}^{\scriptscriptstyle T}{\boldsymbol {t}}\vert {\boldsymbol {J}}\vert ]_{P,\eta =0,~\zeta =0}W_{p}$

donde ${\textstyle n_{\xi },~n_{\eta }~n_{\zeta }}$ son los puntos de integración en las direcciones ${\textstyle \xi ,\eta ,\zeta }$, respectivamente y ${\textstyle W_{p},W_{q},W_{r}}$ son los pesos correspondientes. Para material homogéneo es habitual escoger ${\textstyle n_{\eta }=n_{\zeta }=2}$. Para vigas de material heterogéneo es necesaria una cuadratura de mayor orden (o incluso integración por celdas). Para una sección de material compuesto laminado es suficiente una integración por capas.

El bloqueo de cortante se evita usando una cuadratura reducida para integrar la matriz de rigidez de cortante ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{s}^{(e)}}$ Típicamente se escoge ${\textstyle n_{\xi }=1}$ y ${\textstyle n_{\xi }=2}$ para los elementos de viga degenerados de dos y tres nodos, como en vigas planas. Para elementos rectos ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{ab}^{(e)}}$ es usual emplear una cuadratura completa (${\textstyle \eta _{\xi }=2}$ y ${\textstyle \eta _{\xi }=3}$ para elementos de viga de dos y tres nodos, respectivamente). Se recomienda la integración uniforme reducida para todos los términos de la matriz de rigidez en el caso curvo para aliviar el bloqueo debido a los efectos axiles (Apartados 9.5 y 10.11.1).

Esta formulación se puede adaptar a la teoría de Euler-Bernoulli haciendo ${\textstyle \theta _{z'}={\partial v' \over \partial x'},\quad \theta _{x'}=-{\partial w' \over \partial x'}}$, satisfaciendo así la condición de ortogonalidad del giro de la normal. Esto lleva a la desaparición de las deformaciones de cortante debidas a la flexión, e introduce la necesidad de aproximaciones de continuidad ${\textstyle C^{1}}$ para los desplazamientos locales ${\textstyle v'}$ y ${\textstyle w'}$, ya que aparecen sus segundas derivadas en la expresión de la deformación axil. Se puede seguir utilizando una interpolación de continuidad ${\textstyle C^{0}}$ para el desplazamiento axial ${\textstyle u'}$. Esto se puede implementar definiendo la interpolación de los desplazamientos en los ejes locales seguida de su transformación a ejes globales. El elemento de viga de Euler-Bernoulli degenerado de dos nodos más simple emplea una aproximación cúbica Hermítica para ${\textstyle v'}$ y ${\textstyle w'}$ y un campo lineal para ${\textstyle u'}$. Para material homogéneo, sección constante y carga uniforme, la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes coinciden con las expresiones obtenidas mediante la teoría de vigas 3D clásica (Apartado 4.7).

4.13 CONCLUSIONES

En este capítulo hemos estudiado la formulación de elementos de viga 3D, válidos para el análisis de vigas de material compuesto, usando las teorías de Timoshenko y Euler-Bernoulli. Se ha presentado la teoría de torsión libre de Saint-Venant y la más sofisticada teoría de torsión que tiene en cuenta los efectos de alabeo en secciones de pared delgada abiertas. El elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con un único punto de integración es probablemente la opción más útil para el análisis de todo tipo de vigas 3D.

Los elementos de viga 3D obtenidos por degeneración de elementos sólidos 3D pueden ser una opción interesante en algunos casos.

Es posible acoplar los elementos de viga 3D con elementos de placa o de lámina. Esto es de utilidad para el análisis de estructuras de placas y láminas rigidizadas con vigas. Este tema se estudia en el Apartado 10.21.